En física , una transformación covariante es una regla que especifica cómo ciertas entidades, como vectores o tensores , cambian bajo un cambio de base . La transformación que describe los nuevos vectores base como una combinación lineal de los viejos vectores base se define como una transformación covariante . Convencionalmente, los índices que identifican los vectores base se colocan como índices más bajos y, por lo tanto, todas las entidades que se transforman de la misma manera. La inversa de una transformación covariante es una transformación contravariante . Siempre que un vector deba ser invariantebajo un cambio de base, es decir debe representar el mismo objeto geométrico o físico teniendo la misma magnitud y dirección que antes, sus componentes deben transformarse según la regla contravariante. Convencionalmente, los índices que identifican los componentes de un vector se colocan como índices superiores y también lo son todos los índices de entidades que se transforman de la misma manera. La suma de los índices coincidentes por pares de un producto con los mismos índices superior e inferior son invariantes bajo una transformación.
Un vector en sí mismo es una cantidad geométrica, en principio, independiente (invariante) de la base elegida. Un vector v se da, digamos, en componentes v i sobre una base elegida e i . Sobre otra base, digamos e ′ j , el mismo vector v tiene diferentes componentes v ′ j y
Como vector, v debe ser invariante con respecto al sistema de coordenadas elegido e independiente de cualquier base elegida, es decir, su dirección y magnitud del "mundo real" deben aparecer iguales independientemente de los vectores de base. Si realizamos un cambio de base transformando los vectores e i en los vectores base e j , también debemos asegurarnos de que las componentes v i se transformen en las nuevas componentes v j para compensar.
La transformación necesaria de v se denomina regla de transformación contravariante .
Un vector v , y vectores de base tangente local { e x , e y } y { e r , e φ } .
Coordinar representaciones de v .
En el ejemplo que se muestra, un vector se describe mediante dos sistemas de coordenadas diferentes: un sistema de coordenadas rectangular (la cuadrícula negra) y un sistema de coordenadas radial (la cuadrícula roja). Se han elegido vectores base para ambos sistemas de coordenadas: e x y e y para el sistema de coordenadas rectangulares, y e r y e φ para el sistema de coordenadas radiales. Los vectores de base radial e r y e φ aparecen rotados en sentido antihorario con respecto a los vectores de base rectangular e x y e y . La transformación covariante, realizada a los vectores base, es por tanto una rotación en sentido antihorario, rotando desde los primeros vectores base a los segundos vectores base.
Las coordenadas de v deben transformarse en el nuevo sistema de coordenadas, pero el vector v en sí, como objeto matemático, permanece independiente de la base elegida, apareciendo apuntar en la misma dirección y con la misma magnitud, invariante al cambio de coordenadas. . La transformación contravariante asegura esto, compensando la rotación entre las diferentes bases. Si vemos v desde el contexto del sistema de coordenadas radiales, parece que gira más en el sentido de las agujas del reloj desde los vectores base e r y e φ . en comparación con su apariencia en relación con los vectores de base rectangular e x y e y . Por lo tanto, la transformación contravariante necesaria av en este ejemplo es una rotación en el sentido de las agujas del reloj.
Ejemplos de transformación covariante
La derivada de una función se transforma covariantemente
La forma explícita de una transformación covariante se introduce mejor con las propiedades de transformación de la derivada de una función. Considere una función escalar f (como la temperatura en una ubicación en un espacio) definida en un conjunto de puntos p , identificables en un sistema de coordenadas dado(tal colección se llama variedad ). Si adoptamos un nuevo sistema de coordenadasluego para cada i , la coordenada original se puede expresar en función de las nuevas coordenadas, por lo que Se puede expresar la derivada de f en coordenadas antiguas en términos de las nuevas coordenadas, usando la regla de la cadena de la derivada, como
Esta es la forma explícita de la regla de transformación covariante . La notación de una derivada normal con respecto a las coordenadas a veces usa una coma, como sigue
donde el índice i se coloca como un índice más bajo, debido a la transformación covariante.
Los vectores básicos se transforman de forma covariable
Un vector se puede expresar en términos de vectores básicos. Para un determinado sistema de coordenadas, podemos elegir los vectores tangentes a la cuadrícula de coordenadas. Esta base se denomina base de coordenadas.
Para ilustrar las propiedades de la transformación, considere nuevamente el conjunto de puntos p , identificables en un sistema de coordenadas dado dónde ( colector ). Una función escalar f , que asigna un número real a cada punto p en este espacio, es una función de las coordenadas. Una curva es una colección de puntos c de un parámetro , digamos con el parámetro de curva λ, c (λ). Un vector tangente v a la curva es la derivadaa lo largo de la curva con la derivada tomada en el punto p considerado. Tenga en cuenta que podemos ver el vector tangente v como un operador (la derivada direccional ) que se puede aplicar a una función
El paralelo entre el vector tangente y el operador también se puede calcular en coordenadas
o en términos de operadores
donde hemos escrito , los vectores tangentes a las curvas que son simplemente la propia cuadrícula de coordenadas.
Si adoptamos un nuevo sistema de coordenadas luego para cada i , la antigua coordenada puede expresarse en función del nuevo sistema, por lo que Dejar ser la base, los vectores tangentes en este nuevo sistema de coordenadas. Podemos expresaren el nuevo sistema aplicando la regla de la cadena en x . En función de las coordenadas encontramos la siguiente transformación
que de hecho es lo mismo que la transformación covariante para la derivada de una función.
Transformación contravariante
Los componentes de un vector (tangente) se transforman de una manera diferente, denominada transformación contravariante. Considere un vector tangente v y llame a sus componentes sobre una base . Sobre otra base llamamos a los componentes , entonces
en el cual
Si expresamos los nuevos componentes en términos de los antiguos, entonces
Esta es la forma explícita de una transformación llamada transformación contravariante y notamos que es diferente y solo la inversa de la regla covariante. Para distinguirlos de los vectores covariantes (tangentes), el índice se coloca en la parte superior.
Las formas diferenciales se transforman de manera contraria
Un ejemplo de transformación contravariante viene dado por una forma diferencial df . Para f en función de las coordenadas, gl se puede expresar en términos de. Los diferenciales dx se transforman de acuerdo con la regla de la contravariante ya que
Propiedades duales
Las entidades que se transforman de forma covariable (como vectores base) y las que se transforman de forma contravariable (como componentes de un vector y formas diferenciales) son "casi iguales" y, sin embargo, son diferentes. Tienen propiedades "duales". Lo que hay detrás de esto se conoce matemáticamente como el espacio dual que siempre va junto con un espacio vectorial lineal dado .
Tome cualquier espacio vectorial T.Una función f en T se llama lineal si, para cualquier vector v , wy escalar α:
Un ejemplo simple es la función que asigna a un vector el valor de uno de sus componentes (llamada función de proyección ). Tiene un vector como argumento y asigna un número real, el valor de un componente.
Todas estas funciones lineales con valores escalares juntas forman un espacio vectorial, llamado espacio dual de T. La suma f + g es nuevamente una función lineal para f y g lineales , y lo mismo es válido para la multiplicación escalar α f .
Dada una base para T, podemos definir una base, llamada base dual para el espacio dual de forma natural tomando el conjunto de funciones lineales mencionadas anteriormente: las funciones de proyección. Cada función de proyección (indexada por ω) produce el número 1 cuando se aplica a uno de los vectores base. Por ejemplo, da un 1 en y cero en otros lugares. Aplicando esta función lineal a un vector , da (usando su linealidad)
así que solo el valor de la primera coordenada. Por esta razón se le llama función de proyección .
Hay tantos vectores de base dual como hay vectores base , por lo que el espacio dual tiene la misma dimensión que el propio espacio lineal. Es "casi el mismo espacio", excepto que los elementos del espacio dual (llamados vectores duales ) se transforman de forma covariante y los elementos del espacio vectorial tangente se transforman de forma contravariable.
A veces se introduce una notación adicional donde el valor real de una función lineal σ en un vector tangente u se da como
dónde es un número real. Esta notación enfatiza el carácter bilineal de la forma. Es lineal en σ ya que es una función lineal y es lineal en u ya que es un elemento de un espacio vectorial.
Componentes del tensor covariante y contravariante
Sin coordenadas
Un tensor de tipo ( r , s ) se puede definir como una función multilineal de valor real de r duales vectores y s vectores. Dado que los vectores y los vectores duales pueden definirse sin depender de un sistema de coordenadas, un tensor definido de esta manera es independiente de la elección de un sistema de coordenadas.
La notación de un tensor es
para vectores duales (formas diferenciales) ρ , σ y vectores tangentes. En la segunda notación, la distinción entre vectores y formas diferenciales es más obvia.
Con coordenadas
Debido a que un tensor depende linealmente de sus argumentos, está completamente determinado si uno conoce los valores sobre una base y
Los números se denominan componentes del tensor sobre la base elegida .
Si elegimos otra base (que es una combinación lineal de la base original), podemos usar las propiedades lineales del tensor y encontraremos que los componentes del tensor en los índices superiores se transforman como vectores duales (tan contravariantes), mientras que los inferiores los índices se transformarán como la base de los vectores tangentes y, por lo tanto, son covariantes. Para un tensor de rango 2, podemos verificar que
- tensor covariante
- tensor contravariante
Para un tensor covariante y contravariante mixto de rango 2
- tensor covariante y contravariante mixto