Cónicas degeneradas |
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En geometría , una cónica degenerada es una cónica (una curva plana de segundo grado , definida por una ecuación polinómica de grado dos) que no es una curva irreducible . Esto significa que la ecuación definitoria se puede factorizar sobre los números complejos (o más generalmente sobre un campo algebraicamente cerrado ) como el producto de dos polinomios lineales. [nota 1]
Usando la definición alternativa de la cónica como la intersección en el espacio tridimensional de un plano y un cono doble , una cónica se degenera si el plano pasa por el vértice de los conos.
En el plano real, una cónica degenerada puede ser dos líneas que pueden o no ser paralelas, una sola línea (ya sea dos líneas coincidentes o la unión de una línea y la línea en el infinito ), un solo punto (de hecho, dos complejas líneas conjugadas ), o el conjunto nulo (dos veces la línea en el infinito o dos líneas conjugadas complejas paralelas).
Todas estas cónicas degeneradas pueden ocurrir en lápices de cónicas. Es decir, si dos cónicas reales no degeneradas se definen mediante ecuaciones polinomiales cuadráticas f = 0 y g = 0 , las cónicas de las ecuaciones af + bg = 0 forman un lápiz, que contiene una o tres cónicas degeneradas. Para cualquier cónica degenerada en el plano real, se puede elegir f y g de modo que la cónica degenerada dado pertenece al lápiz determinan.
Ejemplos de
La sección cónica con ecuación está degenerado ya que su ecuación se puede escribir como , y corresponde a dos líneas de intersección que forman una "X". Esta cónica degenerada ocurre como el caso límiteen el lápiz de hipérbolas de ecuaciones El caso límite es un ejemplo de una cónica degenerada que consta de dos veces la línea en el infinito.
Del mismo modo, la sección cónica con ecuación , que tiene un solo punto real, es degenerado, como es factorizable como sobre los números complejos . La cónica consta así de dos rectas conjugadas complejas que se cruzan en el único punto real,, de la cónica.
El lápiz de elipses de ecuaciones degenera, por , en dos líneas paralelas y, por , en una línea doble.
El lápiz de círculos de ecuaciones degenera para en dos líneas, la línea en el infinito y la línea de la ecuación .
Clasificación
Sobre el plano proyectivo complejo hay solo dos tipos de cónicas degeneradas: dos líneas diferentes, que necesariamente se cruzan en un punto, o una línea doble. Cualquier cónica degenerada puede transformarse mediante una transformación proyectiva en cualquier otra cónica degenerada del mismo tipo.
En el plano real afín la situación es más complicada. Una cónica real degenerada puede ser:
- Dos rectas que se cruzan, como
- Dos líneas paralelas, como
- Una línea doble (multiplicidad 2), como
- Dos rectas conjugadas complejas que se cruzan (solo un punto real), como
- Dos rectas conjugadas complejas paralelas (sin punto real), como
- Una sola línea y la línea en el infinito
- Dos veces la línea en el infinito (no hay un punto real en el plano afín )
Para dos cónicas degeneradas cualesquiera de la misma clase, hay transformaciones afines que mapean la primera cónica con la segunda.
Discriminante
Las cónicas reales no degeneradas se pueden clasificar como elipses, parábolas o hipérbolas por el discriminante de la forma no homogénea., que es el determinante de la matriz
la matriz de la forma cuadrática en . Este determinante es positivo, cero o negativo ya que la cónica es, respectivamente, una elipse, una parábola o una hipérbola.
De manera análoga, una cónica se puede clasificar como no degenerada o degenerada según el discriminante de la forma cuadrática homogénea en. [1] [2] : p.16 Aquí la forma afín se homogeneiza para
el discriminante de esta forma es el determinante de la matriz
La cónica es degenerada si y solo si el determinante de esta matriz es igual a cero. En este caso, tenemos las siguientes posibilidades:
- Dos rectas que se cruzan (una hipérbola degenerada en sus dos asíntotas) si y solo si (ver primer diagrama).
- Dos rectas paralelas (una parábola degenerada) si y solo si . Estas líneas son distintas y reales si (ver segundo diagrama), coincidente si , e inexistente en el plano real si .
- Un solo punto (una elipse degenerada) si y solo si .
- Una sola línea (y la línea en el infinito) si y solo si y y no son ambos cero. Este caso siempre se presenta como una cónica degenerada en un lápiz de círculos . Sin embargo, en otros contextos no se considera una cónica degenerada, ya que su ecuación no es de grado 2.
El caso de líneas coincidentes ocurre si y solo si el rango de la matriz 3 × 3 es 1; en todos los demás casos degenerados su rango es 2. [3] : p.108
Relación con la intersección de un plano y un cono
Las cónicas, también conocidas como secciones cónicas para enfatizar su geometría tridimensional, surgen como la intersección de un plano con un cono . La degeneración ocurre cuando el plano contiene el vértice del cono o cuando el cono degenera en un cilindro y el plano es paralelo al eje del cilindro. Consulte la sección Cónica # Casos degenerados para obtener más detalles.
Aplicaciones
Las cónicas degeneradas, como ocurre con las variedades algebraicas degeneradas en general, surgen como límites de las cónicas no degeneradas y son importantes en la compactación de los espacios modulares de las curvas .
Por ejemplo, el lápiz de curvas ( sistema lineal unidimensional de cónicas ) definido por es no degenerado para pero está degenerado por concretamente, es una elipse para dos líneas paralelas para y una hipérbola con - en todas partes, un eje tiene una longitud 2 y el otro tiene una longitud que es infinito para
Tales familias surgen naturalmente: dados cuatro puntos en posición lineal general (no hay tres en una línea), hay un lápiz de cónicas a través de ellos ( cinco puntos determinan una cónica , cuatro puntos dejan un parámetro libre), de los cuales tres están degenerados, cada uno que consta de un par de líneas, correspondientes a laformas de elegir 2 pares de puntos a partir de 4 puntos (contando mediante el coeficiente multinomial ).
Video externo | |
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Sistema lineal tipo I , ( Coffman ). |
Por ejemplo, dados los cuatro puntos el lápiz de cónicas a través de ellos se puede parametrizar como cediendo el siguiente lápiz; en todos los casos el centro está en el origen: [nota 2]
- hipérbolas que se abren a izquierda y derecha;
- las líneas verticales paralelas
- elipses con un eje mayor vertical;
- un círculo (con radio );
- elipses con un eje mayor horizontal;
- las líneas horizontales paralelas
- hipérbolas que se abren hacia arriba y hacia abajo,
- las líneas diagonales
- (dividiendo por y tomando el limite como rendimientos )
- Esto luego gira alrededor de ya que los lápices son una línea proyectiva .
Tenga en cuenta que esta parametrización tiene una simetría, donde invertir el signo de a invierte x e y . En la terminología de ( Levy 1964 ), este es un sistema lineal de cónicas de Tipo I, y está animado en el video vinculado.
Una aplicación sorprendente de tal familia se encuentra en ( Faucette 1996 ) que da una solución geométrica a una ecuación cuártica al considerar el lápiz de las cónicas a través de las cuatro raíces de la cuártica, e identificando las tres cónicas degeneradas con las tres raíces de la cúbica resolutiva. .
El teorema del hexágono de Pappus es el caso especial del teorema de Pascal , cuando una cónica degenera en dos líneas.
Degeneración
En el plano proyectivo complejo, todas las cónicas son equivalentes y pueden degenerar en dos líneas diferentes o en una línea doble.
En el plano afín real:
- Las hipérbolas pueden degenerar en dos líneas que se cruzan (las asíntotas), como en oa dos líneas paralelas: o a la doble linea como a va a 0.
- Las parábolas pueden degenerar en dos líneas paralelas: o la doble linea como una va a 0; pero, debido a que las parábolas tienen un punto doble en el infinito, no pueden degenerar en dos líneas que se cruzan.
- Las elipses pueden degenerar en dos líneas paralelas: o la doble linea como una va a 0; pero, debido a que tienen puntos complejos conjugados en el infinito que se convierten en un punto doble en la degeneración, no pueden degenerar en dos líneas que se cruzan.
Las cónicas degeneradas pueden degenerar aún más a cónicas degeneradas más especiales, como lo indican las dimensiones de los espacios y los puntos en el infinito.
- Dos rectas que se cruzan pueden degenerar en dos rectas paralelas, girando hasta ser paralelas, como en o en una línea doble girando entre sí alrededor de un punto, como en en cada caso como a va a 0.
- Dos líneas paralelas pueden degenerar en una línea doble moviéndose entre sí, como en como a va a 0, pero no puede degenerar en líneas no paralelas.
- Una línea doble no puede degenerar a los otros tipos.
- Otro tipo de degeneración ocurre para una elipse cuando se exige que la suma de las distancias a los focos sea igual a la distancia interfocal; por tanto, tiene un eje semi-menor igual a cero y tiene una excentricidad igual a uno. El resultado es un segmento de línea (degenerado porque la elipse no es diferenciable en los extremos) con sus focos en los extremos. Como órbita , esta es una trayectoria elíptica radial .
Puntos a definir
Una cónica general se define por cinco puntos : dados cinco puntos en posición general , hay una cónica única que los atraviesa. Si tres de estos puntos se encuentran en una línea, entonces la cónica es reducible y puede ser única o no. Si no hay cuatro puntos colineales, entonces cinco puntos definen una cónica única (se degenera si tres puntos son colineales, pero los otros dos puntos determinan la otra línea única). Sin embargo, si cuatro puntos son colineales, entonces no hay una cónica única que los atraviese: una línea pasa por los cuatro puntos y la línea restante pasa por el otro punto, pero el ángulo no está definido, dejando 1 parámetro libre. Si los cinco puntos son colineales, la línea restante está libre, lo que deja libres 2 parámetros.
Dados cuatro puntos en posición lineal general (no hay tres colineales; en particular, no hay dos coincidentes), hay exactamente tres pares de líneas (cónicas degeneradas) que los atraviesan, que en general se intersecarán, a menos que los puntos formen un trapezoide (uno par es paralelo) o un paralelogramo (dos pares son paralelos).
Dados tres puntos, si no son colineales, hay tres pares de líneas paralelas que los atraviesan: elija dos para definir una línea y el tercero para que pase la línea paralela, según el postulado paralelo .
Dados dos puntos distintos, hay una línea doble única que los atraviesa.
Notas
- ^ Algunos autores consideran las cónicas sin puntos reales como degeneradas, pero esta no es una convención comúnmente aceptada. [ cita requerida ]
- ^ Una parametrización más simple viene dada porque son las combinaciones afines de las ecuaciones y correspondientes a las líneas verticales paralelas y las líneas horizontales, y da como resultado que las cónicas degeneradas caigan en los puntos estándar de
Referencias
- ↑ ( Lasley, Jr. 1957 )
- ^ ( España 2007 )
- ↑ ( Pettofrezzo 1978 )
- Coffman, Adam, Sistemas lineales de cónicas
- Faucette, William Mark (enero de 1996), "Una interpretación geométrica de la solución del polinomio cuartico general", The American Mathematical Monthly , 103 (1): 51–57, CiteSeerX 10.1.1.111.5574 , JSTOR 2975214
- Lasley, Jr., JW (mayo de 1957), "On Degenerate Conics", The American Mathematical Monthly , Asociación Matemática de América , 64 (5): 362-364, JSTOR 2309606
- Levy, Harry (1964), Geometrías proyectivas y relacionadas , Nueva York: The Macmillan Co., págs. X + 405
- Milne, JJ (enero de 1926), "Note on Degenerate Conics", The Mathematical Gazette , The Mathematical Association, 13 (180): 7-9, JSTOR 3602237
- Pettofrezzo, Anthony (1978) [1966], Matrices and Transformations , Dover, ISBN 978-0-486-63634-4
- España, Barry (2007) [1957], Analytical Conics , Dover, ISBN 0-486-45773-7
- "7.2 La ecuación cuadrática general" , Tablas y fórmulas matemáticas estándar de CRC (30ª ed.)