En matemáticas , la paradoja de Cramer o la paradoja de Cramer-Euler [1] es la afirmación de que el número de puntos de intersección de dos curvas de orden superior en el plano puede ser mayor que el número de puntos arbitrarios que normalmente se necesitan para definir una de tales curva. Lleva el nombre del matemático ginebrino Gabriel Cramer .
Esta paradoja es el resultado de una comprensión ingenua o una mala aplicación de dos teoremas:
- Teorema de Bézout (el número de puntos de intersección de dos curvas algebraicas es igual al producto de sus grados, siempre que se cumplan ciertas condiciones necesarias).
- Teorema de Cramer (una curva de grado n está determinada por n ( n + 3) / 2 puntos, asumiendo nuevamente que se cumplen ciertas condiciones).
Observe que para todo n ≥ 3, n 2 ≥ n ( n + 3) / 2, por lo que parecería ingenuamente que para el grado tres o superior podría haber suficientes puntos compartidos por cada una de las dos curvas que esos puntos deberían determinar cualquiera de los curvas de forma única.
La resolución de la paradoja es que en ciertos casos degenerados n ( n + 3) / 2 puntos no son suficientes para determinar una curva de manera única.
Historia
La paradoja fue publicada por primera vez por Colin Maclaurin . [2] [3] Cramer y Leonhard Euler mantuvieron correspondencia sobre la paradoja en cartas de 1744 y 1745 y Euler explicó el problema a Cramer. [4] Se ha hecho conocido como la paradoja de Cramer después de aparecer en su libro de 1750 Introducción a l'analyse des lignes courbes algébriques , aunque Cramer citó a Maclaurin como la fuente de la declaración. [5] Aproximadamente al mismo tiempo, Euler publicó ejemplos que mostraban una curva cúbica que no estaba definida únicamente por 9 puntos [4] [6] y discutió el problema en su libro Introductio in analysin infinitorum . El resultado fue publicado por James Stirling y explicado por Julius Plücker . [1]
No hay paradoja para líneas y cónicas no degeneradas.
Para las curvas de primer orden (es decir, las líneas ), la paradoja no ocurre, porque n = 1 entonces n 2 = 1 < n ( n + 3) / 2 = 2. En general, dos líneas distintas L 1 y L 2 se cruzan en una sola punto P a menos que las líneas tengan el mismo gradiente (pendiente), en cuyo caso no se cruzan en absoluto. Un solo punto no es suficiente para definir una línea (se necesitan dos); a través del punto P pasan no sólo las dos líneas dadas, sino también un número infinito de otras líneas.
De manera similar, dos cónicas no degeneradas se cruzan como máximo en 4 puntos finitos en el plano real, que es menor que el 3 2 = 9 dado como máximo por el teorema de Bézout, y se necesitan 5 puntos para definir una cónica no degenerada.
El ejemplo de Cramer para curvas cúbicas
En una carta a Euler, Cramer señaló que las curvas cúbicas x 3 - x = 0 y y 3 - y = 0 se cruzan exactamente en 9 puntos (cada ecuación representa un conjunto de tres líneas paralelas x = −1, x = 0, x = +1; e y = −1, y = 0, y = +1 respectivamente). Por tanto, 9 puntos no son suficientes para determinar unívocamente una curva cúbica en casos degenerados como estos.
Resolución
Una ecuación bivariada de grado n tiene 1 + n ( n + 3) / 2 coeficientes, pero el conjunto de puntos descritos por la ecuación se conserva si la ecuación se divide por uno de los coeficientes, dejando un coeficiente igual a 1 y solo n ( n + 3) / 2 coeficientes para caracterizar la curva. Dados n ( n + 3) / 2 puntos ( x i , y i ), cada uno de estos puntos se puede usar para crear una ecuación separada sustituyéndola en la ecuación polinomial general de grado n , dando n ( n + 3) / 2 ecuaciones lineales en los n ( n + 3) / 2 coeficientes desconocidos. Si este sistema no es degenerado en el sentido de tener un determinante distinto de cero , los coeficientes desconocidos se determinan de forma única y, por lo tanto, la ecuación polinómica y su curva se determinan de forma única. Pero si este determinante es cero, el sistema está degenerado y los puntos pueden estar en más de una curva de grado n .
Referencias
- ↑ a b Weisstein, Eric W. "Paradoja de Cramér-Euler". De MathWorld - Un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Cramer-EulerParadox.html
- ^ Maclaurin, Colin (1720). Geometria Organica . Londres.
- ^ Tweedie, Charles (enero de 1891). "V. — La" geometría orgánica "de Colin Maclaurin: un estudio histórico y crítico" . Transacciones de la Royal Society de Edimburgo . 36 (1–2): 87–150 . Consultado el 28 de septiembre de 2012 .
- ^ a b Struik, DJ (1969). Un libro de consulta en matemáticas, 1200-1800 . Prensa de la Universidad de Harvard. pag. 182. ISBN 0674823559.
- ^ Tweedie, Charles (1915). "Un estudio de la vida y los escritos de Colin Maclaurin". La Gaceta Matemática . 8 (119): 133-151. JSTOR 3604693 .
- ^ Euler, L. "Sur une contradiction apparente dans la doctrine des lignes courbes". Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 4, 219-233, 1750