Copo de nieve de Koch
El copo de nieve de Koch (también conocido como la curva de Koch, la estrella de Koch o la isla de Koch [1] [2] ) es una curva fractal y uno de los primeros fractales que se han descrito. Se basa en la curva de Koch, que apareció en un artículo de 1904 titulado "Sobre una curva continua sin tangentes, construible a partir de la geometría elemental" [3] del matemático sueco Helge von Koch .
El copo de nieve de Koch se puede construir iterativamente, en una secuencia de etapas. La primera etapa es un triángulo equilátero, y cada etapa sucesiva se forma agregando curvas hacia afuera a cada lado de la etapa anterior, formando triángulos equiláteros más pequeños. Las áreas encerradas por las sucesivas etapas en la construcción del copo de nieve convergen a 8/5 veces el área del triángulo original, mientras que los perímetros de las sucesivas etapas aumentan sin límite. En consecuencia, el copo de nieve encierra un área finita, pero tiene un perímetro infinito .
El copo de nieve de Koch se puede construir comenzando con un triángulo equilátero y luego alterando recursivamente cada segmento de línea de la siguiente manera:
El copo de nieve de Koch es el límite al que se acerca a medida que se siguen indefinidamente los pasos anteriores. La curva de Koch descrita originalmente por Helge von Koch se construye usando solo uno de los tres lados del triángulo original. En otras palabras, tres curvas de Koch forman un copo de nieve de Koch.
De manera similar, se puede crear una representación basada en la curva de Koch de una superficie nominalmente plana segmentando repetidamente cada línea en un patrón de dientes de sierra de segmentos con un ángulo dado. [4]
Cada iteración multiplica el número de lados del copo de nieve de Koch por cuatro, por lo que el número de lados después de n iteraciones viene dado por:
