En matemáticas , la dualidad Alvis-Curtis es una operación de dualidad sobre los caracteres de un grupo reductor sobre un campo finito , introducida por Charles W. Curtis ( 1980 ) y estudiada por su alumno Dean Alvis ( 1979 ). Kawanaka ( 1981 , 1982 ) introdujo una operación de dualidad similar para las álgebras de Lie.
La dualidad Alvis-Curtis tiene orden 2 y es una isometría en caracteres generalizados.
Carter (1985 , 8.2) analiza la dualidad Alvis-Curtis en detalle.
Definición
El doble ζ * de un carácter ζ de un grupo finito G con un par BN dividido se define como
Aquí la suma es sobre todos los subconjuntos J del conjunto R de raíces simples del sistema de Coxeter de G . El personaje ζ
P Jes el truncamiento de ζ al subgrupo parabólico P J del subconjunto J , dado restringiendo ζ a P J y luego tomando el espacio de invariantes del radical unipotente de P J , y ζG
P Jes la representación inducida de G . (La operación de truncamiento es el functor adjunto de la inducción parabólica ).
Ejemplos de
- El dual del carácter trivial 1 es el carácter Steinberg .
- Deligne y Lusztig (1983) demostraron que el dual de un personaje de Deligne-Lusztig Rθ
Tes ε G ε T Rθ
T. - El dual de un carácter cuspidal χ es (–1) | Δ | χ, donde Δ es el conjunto de raíces simples.
- El dual del personaje Gelfand – Graev es el carácter que toma valor | Z F | q l sobre los elementos unipotentes regulares y desapareciendo en otros lugares.
Referencias
- Alvis, Dean (1979), "The duality operation in the character ring of a finite Chevalley group", Bulletin of the American Mathematical Society , New Series, 1 (6): 907–911, doi : 10.1090 / S0273-0979-1979 -14,690-1 , ISSN 0002 a 9.904 , MR 0546315
- Carter, Roger W. (1985), Grupos finitos de tipo Lie. Clases conjugadas y personajes complejos. , Matemáticas puras y aplicadas (Nueva York), Nueva York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-90554-7, MR 0794307
- Curtis, Charles W. (1980), "Truncamiento y dualidad en el anillo de caracteres de un grupo finito de tipo Lie", Journal of Algebra , 62 (2): 320–332, doi : 10.1016 / 0021-8693 (80) 90185 -4 , ISSN 0021 a 8693 , MR 0563231
- Deligne, Pierre ; Lusztig, George (1982), "Dualidad para representaciones de un grupo reductivo sobre un campo finito", Journal of Algebra , 74 (1): 284-291, doi : 10.1016 / 0021-8693 (82) 90023-0 , ISSN 0021 -8693 , MR 0644236
- Deligne, Pierre ; Lusztig, George (1983), "Dualidad para representaciones de un grupo reductivo sobre un campo finito. II", Journal of Algebra , 81 (2): 540-545, doi : 10.1016 / 0021-8693 (83) 90202-8 , ISSN 0021-8693 , MR 0700298
- Kawanaka, Noriaki (1981), "Transformaciones de Fourier de funciones invariantes con soporte nilpotente en un álgebra de Lie simple finita" , Academia de Japón. Actas. Serie A. Ciencias matemáticas , 57 (9): 461–464, doi : 10.3792 / pjaa.57.461 , ISSN 0386-2194 , MR 0637555
- Kawanaka, N. (1982), "Transformadas de Fourier de funciones invariantes con soporte nilpotente en un álgebra de Lie simple sobre un campo finito", Inventiones Mathematicae , 69 (3): 411–435, doi : 10.1007 / BF01389363 , ISSN 0020-9910 , Señor 0679766 , S2CID 119866092