Representación cuspidal
En teoría de números , las representaciones cuspidales son ciertas representaciones de grupos algebraicos que ocurren discretamente en espacios. El término cúspide se deriva, a cierta distancia, de las formas cúspides de la teoría clásica de formas modulares . En la formulación contemporánea de las representaciones automórficas , las representaciones toman el lugar de las funciones holomorfas ; estas representaciones pueden ser de grupos algebraicos adélicos .
Cuando el grupo es el grupo lineal general , las representaciones de las cúspides están directamente relacionadas con las formas de las cúspides y las formas de Maass . Para el caso de las formas de cúspide, cada forma propia de Hecke ( nueva forma ) corresponde a una representación de cúspide.
Sea G un grupo algebraico reductivo sobre un cuerpo numérico K y sea A los adeles de K . El grupo G ( K ) se incrusta diagonalmente en el grupo G ( A ) enviando g en G ( K ) a la tupla ( g p ) p en G ( A ) con g = g p para todos los primos (finitos e infinitos) p . Sea Z elcentro de G y sea ω un carácter unitario continuo desde Z ( K ) \ Z( A ) × hasta C × . Fije una medida de Haar en G ( A ) y denote con L 2 0 ( G ( K ) \ G ( A ), ω) el espacio de Hilbert de funciones medibles de valor complejo , f , en G ( A ) que satisfagan
El espacio vectorial L 2 0 ( G ( K ) \ G ( A ), ω) se llama el espacio de formas de cúspide con carácter central ω en G ( A ). Una función que aparece en tal espacio se llama función cuspidal .
Una función cúspide genera una representación unitaria del grupo G ( A ) en el espacio complejo de Hilbert generado por la traslación derecha de f . Aquí la acción de g ∈ G ( A ) sobre está dada por
donde la suma es sobre subrepresentaciones irreducibles de L 2 0 ( G ( K ) \ G ( A ), ω) y m π son números enteros positivos (es decir, cada subrepresentación irreducible ocurre con multiplicidad finita ). Una representación cúspide de G ( A ) es tal subrepresentación ( π , V π ) para algún ω .