Grupo electrógeno de un grupo
En álgebra abstracta , un conjunto generador de un grupo es un subconjunto del conjunto de grupos de modo que cada elemento del grupo puede expresarse como una combinación (bajo la operación de grupo) de un número finito de elementos del subconjunto y sus inversos .
En otras palabras, si S es un subconjunto de un grupo G , entonces ⟨ S ⟩, el subgrupo generado por S , es el más pequeño subgrupo de G que contiene todos los elementos de S , que es igual a la intersección más de todos los subgrupos que contienen los elementos de S ; equivalentemente, ⟨ S ⟩ es el subgrupo de todos los elementos de G que se pueden expresar como el producto finito de elementos en S y sus inversos. (Tenga en cuenta que las inversas solo son necesarias si el grupo es infinito; en un grupo finito, la inversa de un elemento se puede expresar como una potencia de ese elemento).
Si G = ⟨ S ⟩, entonces se dice que S genera G , y los elementos de S llamados generadores o generadores de grupo . Si S es el conjunto vacío, entonces ⟨ S ⟩ es el grupo trivial { e }, ya que consideramos que el vacío producto a ser la identidad.
Cuando sólo hay un único elemento x en S , ⟨ S ⟩ se escribe generalmente como ⟨ x ⟩. En este caso, ⟨ x ⟩ es el subgrupo cíclico de las potencias de x , un grupo cíclico , y nos dicen que este grupo es generado por x . Equivalente a decir un elemento x genera un grupo está diciendo que ⟨ x ⟩ es igual a todo el grupo G . Para grupos finitos , también equivale a decir que x tiene orden | G |.
Si G es un grupo topológico entonces un subconjunto S de G se denomina un conjunto de generadores topológicos si ⟨ S ⟩ es denso en G , es decir, el cierre de ⟨ S ⟩ es todo el grupo G .
Si S es finito, a continuación, un grupo G = ⟨ S ⟩ se llama finitamente generado . La estructura de grupos abelianos generados finitamente en particular se describe fácilmente. Muchos teoremas que son verdaderos para grupos generados finitamente fallan para grupos en general. Se ha demostrado que si un grupo finito es generado por un subconjunto S, entonces cada elemento del grupo puede expresarse como una palabra del alfabeto S de longitud menor o igual que el orden del grupo.
