Un proceso cicloestacionario es una señal que tiene propiedades estadísticas que varían cíclicamente con el tiempo. [1] Un proceso cicloestacionario puede verse como múltiples procesos estacionarios intercalados . Por ejemplo, la temperatura máxima diaria en la ciudad de Nueva York se puede modelar como un proceso cicloestacionario: la temperatura máxima el 21 de julio es estadísticamente diferente de la temperatura el 20 de diciembre; sin embargo, es una aproximación razonable que la temperatura del 20 de diciembre de diferentes años tenga estadísticas idénticas. Así, podemos ver el proceso aleatorio compuesto por temperaturas máximas diarias como 365 procesos estacionarios intercalados, cada uno de los cuales adquiere un nuevo valor una vez al año.
Definición
Hay dos enfoques diferentes para el tratamiento de los procesos cicloestacionarios. [2] El enfoque probabilístico consiste en ver las mediciones como una instancia de un proceso estocástico . Como alternativa, el enfoque determinista es ver las mediciones como una única serie de tiempo , a partir de la cual se puede definir una distribución de probabilidad para algún evento asociado con la serie de tiempo como la fracción de tiempo en que ocurre el evento durante la vida útil de la serie de tiempo. En ambos enfoques, se dice que el proceso o la serie de tiempo es cicloestacionario si y solo si sus distribuciones de probabilidad asociadas varían periódicamente con el tiempo. Sin embargo, en el enfoque determinista de series de tiempo, hay una definición alternativa pero equivalente: se dice que una serie de tiempo que no contiene componentes aditivos de onda sinusoidal de fuerza finita exhibe ciclostacionalidad si y solo si existe alguna transformación no lineal invariante en el tiempo de la serie de tiempo que produce componentes aditivos de onda sinusoidal de fuerza positiva.
Ciclostacionalidad de sentido amplio
Un caso especial importante de señales cicloestacionarias es el que exhibe ciclosestacionaria en las estadísticas de segundo orden (por ejemplo, la función de autocorrelación ). Estas se denominan señales cicloestacionarias de sentido amplio y son análogas a los procesos estacionarios de sentido amplio . La definición exacta difiere dependiendo de si la señal se trata como un proceso estocástico o como una serie temporal determinista.
Proceso estocástico cicloestacionario
Un proceso estocástico de media y función de autocorrelación:
donde la estrella denota conjugación compleja , se dice que es cicloestacionario de sentido amplio con punto si ambos y son cíclicos en con punto es decir: [2]
Por tanto, la función de autocorrelación es periódica en t y puede ampliarse en series de Fourier :
dónde se llama función de autocorrelación cíclica y es igual a:
Las frecuencias se llaman frecuencias cíclicas .
Los procesos estacionarios de sentido amplio son un caso especial de procesos cicloestacionarios con solo .
Series de tiempo cicloestacionarias
Una señal que es solo una función del tiempo y no una ruta de muestra de un proceso estocástico puede exhibir propiedades cicloestacionarias en el marco del punto de vista de la fracción de tiempo . De esta forma, la función de autocorrelación cíclica se puede definir mediante: [2]
Si la serie de tiempo es una ruta de muestra de un proceso estocástico, es . Si la señal es más ergódica , todas las rutas de muestreo exhiben el mismo promedio de tiempo y, por lo tanto,en el sentido del error cuadrático medio .
Comportamiento en el dominio de la frecuencia
La transformada de Fourier de la función de autocorrelación cíclica a la frecuencia cíclica α se denomina espectro cíclico o función de densidad de correlación espectral y es igual a:
El espectro cíclico a una frecuencia cíclica cero también se denomina densidad espectral de potencia media . Para un proceso cicloestacionario gaussiano, su función de distorsión de velocidad se puede expresar en términos de su espectro cíclico. [3]
Vale la pena señalar que un proceso estocástico cicloestacionario con transformada de Fourier puede tener componentes de frecuencia correlacionados separados por múltiplos de , desde:
con que denota la función delta de Dirac . Diferentes frecuencias de hecho, siempre no están correlacionados para un proceso estacionario de sentido amplio, ya que solo para .
Ejemplo: señal digital modulada linealmente
Un ejemplo de señal cicloestacionaria es la señal digital modulada linealmente :
dónde son iid variables aleatorias. La forma de onda, con transformada de Fourier , es el pulso de apoyo de la modulación.
Asumiendo y , la función de autocorrelación es:
La última suma es una suma periódica , por lo tanto, una señal periódica en t . De esta manera, es una señal cicloestacionaria con período y función de autocorrelación cíclica:
con indicando convolución . El espectro cíclico es:
Los pulsos típicos de coseno elevado adoptados en las comunicaciones digitales frecuencias cíclicas distintas de cero.
Modelos cicloestacionarios
Es posible generalizar la clase de modelos de media móvil autorregresivos para incorporar el comportamiento cicloestacionario. Por ejemplo, Troutman [4] trató las autorregresiones en las que los coeficientes de autorregresión y la varianza residual ya no son constantes sino que varían cíclicamente con el tiempo. Su trabajo sigue una serie de otros estudios de procesos cicloestacionarios dentro del campo del análisis de series de tiempo . [5] [6]
Aplicaciones
- La ciclostacionalidad se utiliza en telecomunicaciones para aprovechar la sincronización de señales ;
- En Econometría , la ciclostacionalidad se utiliza para analizar el comportamiento periódico de los mercados financieros;
- La teoría de las colas utiliza la teoría cicloestacionaria para analizar las redes de computadoras y el tráfico de automóviles;
- La ciclostacionalidad se utiliza para analizar señales mecánicas producidas por máquinas rotativas y recíprocas.
Ciclostabilidad de señales mecánicas en tiempo de ángulo
Las señales mecánicas producidas por máquinas rotativas o recíprocas están notablemente bien modeladas como procesos cicloestacionarios. La familia cicloestacionaria acepta todas las señales con periodicidades ocultas, ya sea de tipo aditivo (presencia de componentes tonales) o de tipo multiplicativo (presencia de modulaciones periódicas). Este es el caso del ruido y la vibración producidos por engranajes, cojinetes, motores de combustión interna, turboventiladores, bombas, hélices, etc. El modelado explícito de señales mecánicas como procesos cicloestacionarios se ha encontrado útil en varias aplicaciones, como en el ruido. , vibración y aspereza (NVH) y en monitoreo de condición . [7] En este último campo, se ha encontrado que la ciclostacionalidad generaliza el espectro de la envolvente , una técnica de análisis popular utilizada en el diagnóstico de fallas en los rodamientos.
Una peculiaridad de las señales de las máquinas rotativas es que el período del proceso está estrictamente vinculado al ángulo de rotación de un componente específico: el "ciclo" de la máquina. Al mismo tiempo, debe conservarse una descripción temporal que refleje la naturaleza de los fenómenos dinámicos que se rigen por ecuaciones diferenciales de tiempo. Por tanto, se utiliza la función de autocorrelación ángulo-tiempo ,
dónde significa ángulo, para el instante de tiempo correspondiente al ángulo y por retraso de tiempo. Los procesos cuya función de autocorrelación ángulo-tiempo exhiben un componente periódico en ángulo, es decir, tal que tiene un coeficiente de Fourier-Bohr distinto de cero para algún período angular , se denominan ciclos estacionarios de ángulo-tiempo (de sentido amplio). La doble transformada de Fourier de la función de autocorrelación ángulo-tiempo define la correlación espectral orden-frecuencia ,
dónde es un orden (unidad en eventos por revolución ) y una frecuencia (unidad en Hz).
Referencias
- ^ Gardner, William A .; Antonio Napolitano; Luigi Paura (2006). "Ciclostacionalidad: medio siglo de investigación". Procesamiento de señales . Elsevier. 86 (4): 639–697. doi : 10.1016 / j.sigpro.2005.06.016 .
- ^ a b c Gardner, William A. (1991). "Dos filosofías alternativas para la estimación de los parámetros de series de tiempo". IEEE Trans. Inf. Teoría . 37 (1): 216–218. doi : 10.1109 / 18.61145 .
- ^ Kipnis, Alon; Goldsmith, Andrea; Eldar, Yonina (mayo de 2018). "La función de tasa de distorsión de los procesos gaussianos cicloestacionarios". Transacciones IEEE sobre teoría de la información . 65 (5): 3810–3824. arXiv : 1505.05586 . doi : 10.1109 / TIT.2017.2741978 .
- ^ Troutman, BM (1979) "Algunos resultados en autorregresión periódica". Biometrika , 66 (2), 219–228
- ^ Jones, RH, Brelsford, WM (1967) "Series de tiempo con estructura periódica". Biometrika , 54, 403–410
- ^ Pagano, M. (1978) "Sobre autorregresiones periódicas y múltiples". Ana. Stat., 6, 1310-1317.
- ^ Antoni, Jérôme (2009). "Ciclostacionalidad por ejemplos". Sistemas mecánicos y procesamiento de señales . Elsevier. 23 (4): 987–1036. doi : 10.1016 / j.ymssp.2008.10.010 .
enlaces externos
- Ruido en mezcladores, osciladores, muestreadores y lógica: una introducción al ruido cicloestacionario presentación de presentación anotada del manuscrito