Filtro de coseno elevado

El filtro de coseno elevado es un filtro que se utiliza con frecuencia para dar forma a pulsos en la modulación digital debido a su capacidad para minimizar la interferencia entre símbolos (ISI). Su nombre proviene del hecho de que la parte distinta de cero del espectro de frecuencias de su forma más simple (${\displaystyle \beta =1}$) es una función coseno , 'levantada' para sentarse por encima de la${\displaystyle f}$ (eje horizontal.

Descripción matemática

Respuesta de frecuencia del filtro de coseno elevado con varios factores de atenuación

Respuesta de impulso del filtro de coseno elevado con varios factores de atenuación

El filtro de coseno elevado es una implementación de un filtro de Nyquist de paso bajo , es decir, uno que tiene la propiedad de simetría vestigial. Esto significa que su espectro exhibe una extraña simetría sobre${\displaystyle {\frac {1}{2T}}}$, donde ${\displaystyle T}$ es el período de símbolo del sistema de comunicaciones.

Su descripción de dominio de frecuencia es un tramos -definida función , dada por:

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

o en términos de havercosinas :

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\\operatorname {hvc} \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right),&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

por

${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1}$

y caracterizado por dos valores; ${\displaystyle \beta }$, el factor de caída , y${\displaystyle T}$, el recíproco de la tasa de símbolos.

La respuesta al impulso de dicho filtro ^[1] viene dada por:

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\{\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

en términos de la función sinc normalizada . Aquí, esta es la "comunicación sinc"${\displaystyle \sin(\pi x)/(\pi x)}$ en lugar del matemático.

Factor de roll-off

El factor de caída,${\displaystyle \beta }$, es una medida del exceso de ancho de banda del filtro, es decir, el ancho de banda ocupado más allá del ancho de banda de Nyquist de${\displaystyle {\frac {1}{2T}}}$. Algunos autores utilizan${\displaystyle \alpha =\beta }$. ^[2]

Si denotamos el exceso de ancho de banda como ${\displaystyle \Delta f}$, luego:

${\displaystyle \beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\,\Delta f}$

donde ${\displaystyle R_{S}={\frac {1}{T}}}$ es la tasa de símbolos.

El gráfico muestra la respuesta de amplitud como ${\displaystyle \beta }$varía entre 0 y 1, y el efecto correspondiente en la respuesta al impulso . Como puede verse, el nivel de fluctuación en el dominio del tiempo aumenta a medida que${\displaystyle \beta }$disminuye. Esto muestra que el exceso de ancho de banda del filtro se puede reducir, pero solo a expensas de una respuesta de impulso alargada.

${\displaystyle \beta =0}$

Como ${\displaystyle \beta }$ se acerca a 0, la zona de caída se vuelve infinitesimalmente estrecha, por lo tanto:

${\displaystyle \lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\operatorname {rect} (fT)}$

donde ${\displaystyle \operatorname {rect} (\cdot )}$es la función rectangular , por lo que la respuesta al impulso se acerca${\displaystyle h(t)={\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)}$. Por lo tanto, converge a un filtro ideal o de pared de ladrillo en este caso.

${\displaystyle \beta =1}$

Cuándo ${\displaystyle \beta =1}$, la porción distinta de cero del espectro es un coseno elevado puro, lo que lleva a la simplificación:

${\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

o

${\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {hvc} \left(\pi fT\right),&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

Ancho de banda

El ancho de banda de un filtro de coseno elevado se define más comúnmente como el ancho de la parte positiva de frecuencia distinta de cero de su espectro, es decir:

${\displaystyle BW={\frac {R_{S}}{2}}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)}$

Función de autocorrelación

La función de autocorrelación de la función de coseno elevado es la siguiente:

${\displaystyle R\left(\tau \right)=T\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left(\beta {\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}-{\frac {\beta }{4}}\operatorname {sinc} \left(\beta {\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}\right]}$

El resultado de autocorrelación se puede utilizar para analizar varios resultados de compensación de muestreo cuando se analizan con autocorrelación.

Aplicación

Impulsos consecutivos de coseno elevado, que demuestran la propiedad de ISI cero

Cuando se usa para filtrar un flujo de símbolos, un filtro de Nyquist tiene la propiedad de eliminar ISI, ya que su respuesta de impulso es cero en absoluto. ${\displaystyle nT}$ (donde ${\displaystyle n}$ es un número entero), excepto ${\displaystyle n=0}$.

Por lo tanto, si la forma de onda transmitida se muestrea correctamente en el receptor, los valores originales del símbolo se pueden recuperar por completo.

Sin embargo, en muchos sistemas de comunicaciones prácticos, se utiliza un filtro adaptado en el receptor, debido a los efectos del ruido blanco . Para ISI cero, es la respuesta neta de los filtros de transmisión y recepción la que debe igualar${\displaystyle H(f)}$:

${\displaystyle H_{R}(f)\cdot H_{T}(f)=H(f)}$

Y por tanto :

${\displaystyle |H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}}$

Estos filtros se denominan filtros de raíz de coseno elevado .

El coseno elevado es un filtro de apodización de uso común para las rejillas de fibra de Bragg .

Referencias

1. Michael Zoltowski - Ecuaciones para las formas de coseno elevado y coseno elevado de raíz cuadrada
2. de: Filtro de coseno elevado Versión alemana de Filtro de coseno elevado

• Glover, I .; Grant, P. (2004). Comunicaciones digitales (2ª ed.). Pearson Education Ltd. ISBN  0-13-089399-4 .
• Proakis, J. (1995). Comunicaciones digitales (3ª ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5 . 
• Tavares, LM; Tavares GN (1998) Comentarios sobre "Rendimiento de sistemas DS / SSMA de banda asincrónica limitada" . IEICE Trans. Comun., Vol. E81-B, No. 9

Enlaces externos

• Artículo técnico titulado "El cuidado y la alimentación de filtros digitales de modelado de pulso" publicado originalmente en RF Design , escrito por Ken Gentile.