Sistema de coordenadas cilíndrico

Sistema de coordenadas tridimensional

A cilíndrica sistema de coordenadas con origen O , el eje polar A , y el eje longitudinal L . El punto es el punto con distancia radial ρ = 4 , coordenada angular φ = 130 ° y altura z = 4 .

Un sistema de coordenadas cilíndrico es un sistema de coordenadas tridimensional que especifica las posiciones de los puntos por la distancia desde un eje de referencia elegido, la dirección desde el eje relativa a una dirección de referencia elegida y la distancia desde un plano de referencia elegido perpendicular al eje. La última distancia se da como un número positivo o negativo dependiendo de qué lado del plano de referencia se enfrenta al punto.

El origen del sistema es el punto donde las tres coordenadas se pueden dar como cero. Esta es la intersección entre el plano de referencia y el eje. El eje recibe el nombre de eje cilíndrico o longitudinal , para diferenciarlo del eje polar , que es el rayo que se encuentra en el plano de referencia, comenzando en el origen y apuntando en la dirección de referencia. Otras direcciones perpendiculares al eje longitudinal se denominan líneas radiales .

La distancia desde el eje puede denominarse distancia radial o radio , mientras que la coordenada angular a veces se denomina posición angular o acimut . El radio y el acimut juntos se denominan coordenadas polares , ya que corresponden a un sistema de coordenadas polares bidimensionales en el plano que pasa por el punto, paralelo al plano de referencia. La tercera coordenada puede denominarse altura o altitud (si el plano de referencia se considera horizontal), posición longitudinal , ^[1] o posición axial . ^[2]

Las coordenadas cilíndricas son útiles en conexión con objetos y fenómenos que tienen alguna simetría rotacional alrededor del eje longitudinal, como el flujo de agua en una tubería recta con sección transversal redonda, distribución de calor en un cilindro de metal , campos electromagnéticos producidos por una corriente eléctrica en un cable largo y recto, discos de acreción en astronomía, etc.

A veces se les llama "coordenadas polares cilíndricas" ^[3] y "coordenadas cilíndricas polares", ^[4] y a veces se utilizan para especificar la posición de las estrellas en una galaxia ("coordenadas polares cilíndricas galactocéntricas"). ^[5]

Definición

Las tres coordenadas ( ρ , φ , z ) de un punto P se definen como:

• La distancia axial o distancia radial ρ es la distancia euclídea de la z eje x para el punto P .
• El acimut φ es el ángulo entre la dirección de referencia en el plano elegido y la línea desde el origen hasta la proyección de P en el plano.
• La coordenada axial o altura z es la distancia con signo desde el plano elegido para el punto P .

Coordenadas cilíndricas únicas

Como en las coordenadas polares, el mismo punto con coordenadas cilíndricas ( ρ , φ , z ) tiene infinitas coordenadas equivalentes, a saber ( ρ , φ ± n × 360 °, z ) y (- ρ , φ ± (2 n + 1) × 180 °, z ), donde n es cualquier número entero. Además, si el radio ρ es cero, el acimut es arbitrario.

En situaciones en las que alguien quiere un conjunto único de coordenadas para cada punto, se puede restringir el radio para que no sea negativo ( ρ ≥ 0 ) y el acimut φ para que se encuentre en un intervalo específico que abarque 360 ​​°, como [−180 °, + 180 °] o [0,360 °] .

Convenciones

La notación para coordenadas cilíndricas no es uniforme. La ISO estándar 31-11 recomienda ( ρ , φ , z ) , donde ρ es la coordenada radial, φ el acimut, y z de la altura. Sin embargo, el radio también se denota a menudo con r o s , el acimut con θ o t , y la tercera coordenada con ho (si el eje cilíndrico se considera horizontal) x , o cualquier letra específica del contexto.

Las superficies de coordenadas de las coordenadas cilíndricas ( ρ , φ , z ) . El cilindro rojo muestra los puntos con ρ = 2 , el plano azul muestra los puntos con z = 1 y el semiplano amarillo muestra los puntos con φ = −60 ° . El eje z es vertical y el eje x está resaltado en verde. Las tres superficies se cruzan en el punto P con esas coordenadas (mostradas como una esfera negra); las coordenadas cartesianas de P son aproximadamente (1.0, -1.732, 1.0).

Superficies de coordenadas cilíndricas. Los tres componentes ortogonales, ρ (verde), φ (rojo) yz (azul), cada uno aumenta a una tasa constante. El punto está en la intersección entre las tres superficies coloreadas.

En situaciones concretas, y en muchas ilustraciones matemáticas, una coordenada angular positiva se mide en sentido antihorario como se ve desde cualquier punto con altura positiva.

Conversiones de sistemas de coordenadas

El sistema de coordenadas cilíndrico es uno de los muchos sistemas de coordenadas tridimensionales. Las siguientes fórmulas se pueden utilizar para convertir entre ellos.

Coordenadas cartesianas

Para la conversión entre coordenadas cilíndricas y cartesianas, es conveniente asumir que el plano de referencia del primero es el plano xy cartesiano (con ecuación z = 0 ), y el eje cilíndrico es el eje z cartesiano . Entonces la coordenada z es la misma en ambos sistemas, y la correspondencia entre cilíndrica ( ρ , φ , z ) y cartesiana ( x , y , z ) es la misma que para las coordenadas polares, es decir

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi \\y&=\rho \sin \varphi \\z&=z\end{aligned}}}$

en una dirección, y

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &={\begin{cases}0&{\mbox{if }}x=0{\mbox{ and }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\mbox{if }}x\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+\pi &{\mbox{if }}x<0\end{cases}}\end{aligned}}}$

en el otro. La función arcsin es la inversa de la función seno , y se supone que devuelve un ángulo en el rango [- π / 2 , + π / 2 ] = [−90 °, + 90 °] . Estas fórmulas dan un acimut φ en el rango [−90 °, + 270 °] . Para otras fórmulas, consulte el artículo de coordenadas polares .

Muchos lenguajes de programación modernos proporcionan una función que va a calcular el acimut correcto φ , en el intervalo (-π, π) , dados x e y , sin la necesidad de realizar un análisis caso que el anterior. Por ejemplo, esta función es llamada por atan2 ( y , x ) en el lenguaje de programación C , y atan ( y , x ) en Common Lisp .

Coordenadas esféricas

Las coordenadas esféricas (radio r , elevación o inclinación θ , acimut φ ) se pueden convertir en coordenadas cilíndricas mediante:

θ es elevación:	θ es inclinación:
${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=r\cos \theta \\\varphi &=\varphi \\z&=r\sin \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta \\\varphi &=\varphi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}$

Las coordenadas cilíndricas se pueden convertir en coordenadas esféricas mediante:

θ es elevación:	θ es inclinación:
${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan \left({\tfrac {z}{\rho }}\right)\\\varphi &=\varphi \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan \left({\tfrac {\rho }{z}}\right)\\\varphi &=\varphi \end{aligned}}}$

Elementos de línea y volumen

Consulte integral múltiple para obtener detalles de la integración de volumen en coordenadas cilíndricas y Del en coordenadas cilíndricas y esféricas para fórmulas de cálculo vectorial .

En muchos problemas que involucran coordenadas polares cilíndricas, es útil conocer los elementos de línea y volumen; estos se utilizan en la integración para resolver problemas que involucran rutas y volúmenes.

El elemento de línea es

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,\mathbf {\hat {z}} .}$

El elemento de volumen es

${\displaystyle \mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}$

El elemento de superficie en una superficie de radio constante ρ (un cilindro vertical) es

${\displaystyle \mathrm {d} S_{\rho }=\rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.}$

El elemento de superficie en una superficie de acimut constante φ (un semiplano vertical) es

${\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} z.}$

El elemento de superficie en una superficie de altura constante z (un plano horizontal) es

${\displaystyle \mathrm {d} S_{z}=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi .}$

El operador del en este sistema conduce a las siguientes expresiones para gradiente , divergencia , rizo y laplaciano :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {\hat {z}} \\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z}}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right)\mathbf {\hat {z}} \\[8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}}$

Armónicos cilíndricos

Las soluciones de la ecuación de Laplace en un sistema con simetría cilíndrica se denominan armónicos cilíndricos .

Ver también

• Lista de transformaciones de coordenadas canónicas
• Campos vectoriales en coordenadas cilíndricas y esféricas
• Del en coordenadas cilíndricas y esféricas

Referencias

1. Krafft, C .; Volokitin, AS (1 de enero de 2002). "Interacción del haz de electrones resonantes con varias ondas híbridas inferiores" . Física de Plasmas . 9 (6): 2786–2797. Código bibliográfico : 2002PhPl .... 9.2786K . doi : 10.1063 / 1.1465420 . ISSN  1089-7674 . Archivado desde el original el 14 de abril de 2013 . Consultado el 9 de febrero de 2013 . ... en coordenadas cilíndricas ( r , θ , z ) ... y Z = v _bz t es la posición longitudinal ...
2. Groisman, Alexander; Steinberg, Victor (1997). "Pares de vórtice solitario en flujo de couette viscoelástica". Cartas de revisión física . 78 (8): 1460-1463. arXiv : patt-sol / 9610008 . Código Bibliográfico : 1997PhRvL..78.1460G . doi : 10.1103 / PhysRevLett.78.1460 . S2CID 54814721 . ... donde r , θ , y z son las coordenadas cilíndricas ... como una función de la posición axial ... 
3. Szymanski, JE (1989). Matemáticas básicas para ingenieros electrónicos: modelos y aplicaciones . Guías Tutoriales en Ingeniería Electrónica (nº 16). Taylor y Francis. pag. 170. ISBN 978-0-278-00068-1.
4. Nunn, Robert H. (1989). Mecánica de fluidos intermedia . Taylor y Francis. pag. 3. ISBN 978-0-89116-647-4.
5. Sparke, Linda Siobhan ; Gallagher, John Sill (2007). Galaxias en el Universo: Introducción (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 37. ISBN 978-0-521-85593-8.

Otras lecturas

• Morse, Philip M .; Feshbach, Herman (1953). Métodos de Física Teórica, Parte I . Ciudad de Nueva York : McGraw-Hill . págs. 656–657. ISBN 0-07-043316-X. LCCN  52011515 .
• Margenau, Henry ; Murphy, George M. (1956). Las matemáticas de la física y la química . Ciudad de Nueva York: D. van Nostrand. pag. 178 . ISBN 9780882754239. LCCN  55010911 . OCLC  3017486 .
• Korn, Granino A .; Korn, Theresa M. (1961). Manual de matemáticas para científicos e ingenieros . Ciudad de Nueva York: McGraw-Hill. págs.  174-175 . LCCN  59014456 . ASIN B0000CKZX7.
• Sauer, Robert; Szabó, István (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Ciudad de Nueva York: Springer-Verlag . pag. 95. LCCN  67025285 .
• Zwillinger, Daniel (1992). Manual de integración . Boston : Jones y Bartlett Publishers . pag. 113. ISBN 0-86720-293-9. OCLC  25710023 .
• Moon, P .; Spencer, DE (1988). "Coordenadas del cilindro circular (r, ψ, z)". Manual de teoría de campos, que incluye sistemas de coordenadas, ecuaciones diferenciales y sus soluciones (2ª ed. Corregida). Ciudad de Nueva York: Springer-Verlag. págs. 12-17, cuadro 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2.

enlaces externos

• "Coordenadas del cilindro" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• MathWorld descripción de coordenadas cilíndricas
• Coordenadas cilíndricas Animaciones que ilustran las coordenadas cilíndricas por Frank Wattenberg