Teorema de Darboux (análisis)

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En matemáticas, el teorema de Darboux es un teorema en análisis real , llamado así por Jean Gaston Darboux . Establece que toda función que resulta de la derivación de otra función tiene la propiedad del valor intermedio : la imagen de un intervalo es también un intervalo.

Cuando ƒ es continuamente diferenciable ( ƒ en C ¹ ([ a , b ])), esto es una consecuencia del teorema del valor intermedio . Pero incluso cuando ƒ′ no es continua, el teorema de Darboux impone una severa restricción sobre lo que puede ser.

Sea un intervalo cerrado , una función diferenciable de valor real. Entonces tiene la propiedad de valor intermedio : Si y son puntos en con , entonces para cada entre y , existe una en tal que . ^{[1] [2] [3]}${\ estilo de visualización yo}$${\displaystyle f\dos puntos I\to \mathbb {R} }$${\ estilo de visualización f'}$${\ estilo de visualización a}$${\ estilo de visualización b}$${\ estilo de visualización yo}$${\ estilo de visualización a <b}$${\ estilo de visualización y}$${\ estilo de visualización f' (a)}$${\ estilo de visualización f' (b)}$${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización [a, b]}$${\ estilo de visualización f' (x) = y}$

Si es igual a o , entonces establecer igual a o , respectivamente, da el resultado deseado. Ahora supongamos que está estrictamente entre y , y en particular que . Deje tal que . Si es el caso , ajustamos nuestra prueba a continuación, en lugar de afirmar que tiene su mínimo en .${\ estilo de visualización y}$${\ estilo de visualización f' (a)}$${\ estilo de visualización f' (b)}$${\ estilo de visualización x}$${\ estilo de visualización a}$${\ estilo de visualización b}$${\ estilo de visualización y}$${\ estilo de visualización f' (a)}$${\ estilo de visualización f' (b)}$${\displaystyle f'(a)>y>f'(b)}$${\displaystyle \varphi \colon I\to \mathbb {R} }$${\ estilo de visualización \ varphi (t) = f (t) -yt}$${\displaystyle f'(a)<y<f'(b)}$${\ estilo de visualización \ varphi}$${\ estilo de visualización [a, b]}$

Como es continua en el intervalo cerrado , el valor máximo de on se alcanza en algún punto de , según el teorema del valor extremo .${\ estilo de visualización \ varphi}$${\ estilo de visualización [a, b]}$${\ estilo de visualización \ varphi}$${\ estilo de visualización [a, b]}$${\ estilo de visualización [a, b]}$

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