Teorema de darboux

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El teorema de Darboux es un teorema en el campo matemático de la geometría diferencial y más específicamente de las formas diferenciales , generalizando parcialmente el teorema de integración de Frobenius . Es un resultado fundamental en varios campos, siendo el principal de ellos la geometría simpléctica . El teorema lleva el nombre de Jean Gaston Darboux ^[1], quien lo estableció como la solución del problema de Pfaff . ^[2]

Una de las muchas consecuencias del teorema es que dos variedades simplécticas cualesquiera de la misma dimensión son localmente simpléctomórficas entre sí. Es decir, cada 2 n variedad simpléctica -dimensional puede ser hecho para parecer localmente como el espacio simpléctico lineal C ⁿ con su forma simpléctica canónica. También hay una consecuencia análoga del teorema aplicado a la geometría de contacto .

La declaración precisa es la siguiente. ^[3] Suponga que es una forma 1 diferencial en una variedad de n dimensiones, tal que tiene rango constante p . Si${\ Displaystyle \ theta}$${\ Displaystyle \ mathrm {d} \ theta}$

entonces hay un sistema local de coordenadas en el que${\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {np}, y_ {1}, \ ldots, y_ {p}}$

entonces hay un sistema local de coordenadas ' en el que${\ Displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {np}, y_ {1}, \ ldots, y_ {p}}$

Tenga en cuenta que si está en todas partes y luego es un formulario de contacto .${\ Displaystyle \ theta \ wedge \ left (\ mathrm {d} \ theta \ right) ^ {p} \ neq 0}$${\ Displaystyle n = 2p + 1}$${\ Displaystyle \ theta}$

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