En matemáticas , la geometría de contacto es el estudio de una estructura geométrica en variedades suaves dada por una distribución de hiperplano en el paquete tangente que satisface una condición llamada "no integrabilidad completa". De manera equivalente, dicha distribución puede darse (al menos localmente) como el núcleo de una forma diferencial única, y la condición de no integrabilidad se traduce en una condición de no degeneración máxima en la forma. Estas condiciones son opuestas a dos condiciones equivalentes para la ' integrabilidad completa ' de una distribución de hiperplano, es decir, que sea tangente a una foliación de codimensión uno en la variedad, cuya equivalencia es el contenido de laTeorema de Frobenius .
La geometría de contacto es en muchos sentidos una contraparte de dimensión impar de la geometría simpléctica , una estructura en ciertas variedades de dimensiones pares. Tanto la geometría de contacto como la simpléctica están motivadas por el formalismo matemático de la mecánica clásica , donde se puede considerar el espacio de fase de dimensión par de un sistema mecánico o la hipersuperficie de energía constante, que, siendo codimensión uno, tiene dimensión impar.
Aplicaciones
Al igual que la geometría simpléctica, la geometría de contacto tiene amplias aplicaciones en física , por ejemplo, óptica geométrica , mecánica clásica , termodinámica , cuantificación geométrica , sistemas integrables y teoría de control . La geometría de contacto también tiene aplicaciones en topología de baja dimensión ; por ejemplo, ha sido utilizado por Kronheimer y Mrowka para probar la conjetura de la propiedad P , por Michael Hutchings para definir un invariante de tres variedades suaves y por Lenhard Ng para definir invariantes de nudos. También fue utilizado por Yakov Eliashberg para derivar una caracterización topológica de las variedades de Stein de dimensión al menos seis.
Formularios y estructuras de contacto
Una estructura de contacto en una variedad dimensional impar es una familia que varía suavemente de subespacios de codimensión uno de cada espacio tangente de la variedad, que satisface una condición de no integrabilidad. La familia puede describirse como una sección de un paquete de la siguiente manera:
Dada una variedad suave n- dimensional M , y un punto p ∈ M , un elemento de contacto de M con el punto de contacto p es un subespacio lineal ( n - 1) -dimensional del espacio tangente a M en p . [1] [2] Un elemento de contacto puede estar dado por el núcleo de una función lineal en el espacio tangente a M en p . Sin embargo, si un subespacio está dado por el núcleo de una función lineal ω, entonces también estará dado por los ceros de λω donde λ ≠ 0 es cualquier número real distinto de cero. Por lo tanto, todos los núcleos de {λλ: λ give 0} dan el mismo elemento de contacto. De ello se deduce que el espacio de todos los elementos de contacto de M se puede identificar con un cociente del haz cotangente T * M (con la sección cero eliminado), [1] a saber:
Una estructura de contacto en una variedad dimensional impar M , de dimensión 2 k +1 , es una distribución uniforme de elementos de contacto, denotada por ξ, que es genérica en cada punto. [1] [2] La condición de genérico es que ξ no es integrable .
Suponga que tenemos una distribución uniforme de elementos de contacto, ξ, dada localmente por una forma 1 diferencial α; es decir, una sección lisa del haz cotangente. La condición de no integrabilidad se puede dar explícitamente como: [1]
Observe que si ξ viene dada por la forma diferencial 1 α, entonces la misma distribución está dada localmente por β = ƒ⋅α , donde ƒ es una función suave distinta de cero . Si ξ es coorientable, entonces α se define globalmente.
Propiedades
Del teorema de Frobenius sobre integrabilidad se deduce que el campo de contacto ξ es completamente no integrable . Esta propiedad del campo de contacto es más o menos lo contrario de ser un campo formado por los planos tangentes a una familia de hipersuperficies que no se superponen en M . En particular, no puede encontrar una hipersuperficie en M cuyos espacios tangentes concuerden con ξ, incluso localmente. De hecho, no hay una subvariedad de dimensión mayor que k cuyos espacios tangentes se encuentren en ξ.
Relación con estructuras simplécticas
Una consecuencia de la definición es que la restricción de la forma 2 ω = d α a un hiperplano en ξ es una forma 2 no degenerada. Esta construcción proporciona cualquier colector de contactos M con un naturales haz simpléctico de rango uno menor que la dimensión de M . Tenga en cuenta que un espacio vectorial simpléctico es siempre de dimensión par, mientras que las variedades de contacto deben ser de dimensión impar.
El paquete cotangente T * N de cualquier variedad n- dimensional N es en sí misma una variedad (de dimensión 2 n ) y soporta naturalmente una estructura simpléctica exacta ω = d λ. (Esta forma de 1 λ a veces se llama forma de Liouville ). Hay varias formas de construir un colector de contacto asociado, uno de dimensión 2 n - 1, uno de dimensión 2 n + 1.
- Proyectivización
Deje que M sea el projectivization del haz cotangente de N : de este modo M es de haz de fibras sobre una M cuya fibra en un punto x es el espacio de líneas en T * N , o, equivalentemente, el espacio de hiperplanos en T N . El 1-forma λ no desciende a una verdadera 1-forma de M . Sin embargo, es homogénea de grado 1, y por lo que define una 1-forma con valores en la línea de haz de O (1), que es el doble del haz fibrewise línea tautológica de M . El núcleo de esta forma 1 define una distribución de contacto.
- Superficies energéticas
Suponga que H es una función suave en T * N , que E es un valor regular para H , de modo que el nivel establecidoes una subvariedad suave de codimensión 1. Un campo vectorial Y se llama campo vectorial de Euler (o Liouville) si es transversal a L y conformemente simpléctico, lo que significa que la derivada de Lie de d λ con respecto a Y es múltiplo de d λ en un barrio de L .
Entonces la restricción de a L es una forma de contacto en L .
Esta construcción se origina en la mecánica hamiltoniana , donde H es un hamiltoniano de un sistema mecánico con el espacio de configuración N y el espacio de fase T * N , y E es el valor de la energía.
- El paquete de cotangente unitario
Elija una métrica de Riemann en la variedad N y sea H la energía cinética asociada. Entonces, el conjunto de niveles H = 1/2 es el haz cotangente unitario de N , una variedad suave de dimensión 2 n -1 que forma fibras sobre N con fibras que son esferas. Entonces, la forma de Liouville restringida al paquete cotangente unitario es una estructura de contacto. Esto corresponde a un caso especial de la segunda construcción, donde el flujo del campo vectorial de Euler Y corresponde a una escala lineal de momentos p, dejando los q fijos. El campo vectorial R , definido por las igualdades
- λ ( R ) = 1 yd λ ( R , A ) = 0 para todos los campos vectoriales A ,
se llama campo vectorial Reeb y genera el flujo geodésico de la métrica de Riemann. Más precisamente, usando la métrica de Riemann, uno puede identificar cada punto del paquete cotangente de N con un punto del paquete tangente de N , y luego el valor de R en ese punto del paquete cotangente (unidad) es la (unidad) correspondiente ) vector paralelo a N .
- Primer paquete de jet
Por otra parte, uno puede construir un contacto colector M de dimensión 2 n + 1, considerando la primera haz de chorro de las reales funciones con valores en N . Este paquete es isomorfo a T * N × R usando la derivada exterior de una función. Con coordenadas ( x , t ), M tiene una estructura de contacto
- α = dt + λ.
Por el contrario, dado cualquier colector de contacto M , el producto M × R tiene una estructura natural de un colector simpléctico. Si α es un formulario de contacto en M , entonces
- ω = d ( e t α)
es una forma simpléctica en M × R , donde t denota la variable en la dirección R. Este nuevo colector se llama el symplectization (a veces symplectification en la literatura) del contacto colector M .
Ejemplos de
Como un buen ejemplo, considere R 3 , dotado de coordenadas ( x , y , z ) y la forma única dz - y dx . El plano de contacto ξ en un punto ( x , y , z ) está generado por los vectores X 1 = ∂ y y X 2 = ∂ x + y ∂ z .
Mediante la sustitución de las variables individuales x y y con las multivariables x 1 , ..., x n , y 1 , ..., y n , se puede generalizar este ejemplo para cualquier R 2 n 1 . Según un teorema de Darboux , cada estructura de contacto en una variedad se ve localmente como esta estructura de contacto particular en el espacio vectorial (2 n + 1) -dimensional.
Una clase importante de colectores de contacto está formada por los colectores Sasakianos .
Subvariedades y nudos de Legendrian
Los subespacios más interesantes de una variedad de contacto son sus subvariedades Legendrian. La no integrabilidad del campo del hiperplano de contacto en una variedad (2 n + 1) -dimensional significa que ninguna sub-variedad 2 n- dimensional lo tiene como su paquete tangente, ni siquiera localmente. Sin embargo, en general es posible encontrar subvariedades n-dimensionales (embebidas o sumergidas) cuyos espacios tangentes se encuentran dentro del campo de contacto. Las subvariedades de Legendrian son análogas a las subvariedades lagrangianas de variedades simplécticas. Hay una relación precisa: la elevación de una subvariedad de Legendrian en una simplectización de una variedad de contacto es una subvariedad de Lagrange. El ejemplo más simple de subvariedades Legendrian son los nudos Legendrian dentro de un contacto triple. Los nudos de Legendrian no equivalentes pueden ser equivalentes a nudos lisos; es decir, hay nudos que son suavemente isotópicos donde la isotopía no puede elegirse para ser un camino de nudos de Legendrian.
Las subvariedades de Legendrian son objetos muy rígidos; típicamente hay infinitas clases de incrustaciones de isotopías de Legendrian que son todas suavemente isotópicas. La teoría de campo simpléctica proporciona invariantes de subvariedades de Legendrian llamadas homología de contacto relativa que a veces pueden distinguir distintas subvariedades de Legendrian que son topológicamente idénticas (es decir, suavemente isotópicas).
Campo de vector Reeb
Si α es una forma de contacto para una estructura de contacto dada, el campo vectorial Reeb R se puede definir como el elemento único del núcleo (unidimensional) de dα tal que α ( R ) = 1. Si una variedad de contacto surge como un hipersuperficie de energía constante dentro de una variedad simpléctica, entonces el campo vectorial Reeb es la restricción a la subvariedad del campo vectorial hamiltoniano asociado a la función de energía. (La restricción produce un campo vectorial en la hipersuperficie de contacto porque el campo vectorial hamiltoniano conserva los niveles de energía).
La dinámica del campo Reeb se puede utilizar para estudiar la estructura de la variedad de contacto o incluso la variedad subyacente utilizando técnicas de homología de Floer como la teoría de campo simpléctica y, en tres dimensiones, la homología de contacto incrustada . Diferentes formas de contacto cuyos núcleos dan la misma estructura de contacto producirán diferentes campos vectoriales Reeb, cuyas dinámicas son en general muy diferentes. Los diversos tipos de homología de contacto dependen a priori de la elección de una forma de contacto, y construyen estructuras algebraicas las trayectorias cerradas de sus campos vectoriales Reeb; sin embargo, estas estructuras algebraicas resultan ser independientes de la forma de contacto, es decir, son invariantes de la estructura de contacto subyacente, de modo que al final, la forma de contacto puede verse como una opción auxiliar. En el caso de la homología de contacto incrustado, se obtiene un invariante del triple múltiple subyacente, es decir, la homología de contacto incrustado es independiente de la estructura de contacto; esto permite obtener resultados válidos para cualquier campo de vector Reeb en la variedad.
El campo Reeb lleva el nombre de Georges Reeb .
Algunas observaciones históricas
Las raíces de la geometría de contacto aparecen en el trabajo de Christiaan Huygens , Isaac Barrow e Isaac Newton . La teoría de las transformaciones de contacto (es decir, transformaciones que preservan una estructura de contacto) fue desarrollada por Sophus Lie , con el doble objetivo de estudiar ecuaciones diferenciales (por ejemplo, la transformación de Legendre o transformación canónica ) y describir el 'cambio de elemento espacial', familiar de la dualidad proyectiva. .
Ver también
- Homología de Floer , algunos sabores de los cuales dan invariantes de múltiples de contacto y sus subvariedades de Legendrian
- Transformación de contactos cuantificada
- Geometría subriemanniana
Referencias
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- ^ a b Arnold, VI (1989). "Geometría de contacto y propagación de ondas". Monographie de l'Enseignement Mathématique . Conférences de l'Union Mathématique Internationale. Université de Genève. ISSN 0425-0818 . Zbl 0694.53001 .
Introducciones a la geometría de contacto
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- Arnold, VI (1989). Métodos matemáticos de la mecánica clásica . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3.
Aplicaciones a ecuaciones diferenciales
- Arnold, VI (1988). Métodos geométricos en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96649-8.
Contacto de tres colectores y nudos Legendrian
- Thurston, William (1997). Topología y geometría tridimensional . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-08304-5.
Información sobre la historia de la geometría de los contactos.
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- Geiges, H. (2001). "Una breve historia de la topología y geometría de contacto". Expo. Matemáticas . 19 : 25–53. doi : 10.1016 / S0723-0869 (01) 80014-1 .
- Arnold, Vladimir I. (2012) [1990]. Huygens y Barrow, Newton y Hooke: pioneros en el análisis matemático y la teoría de catástrofes desde los evolucionados hasta los cuasicristales . Birkhäuser. ISBN 978-3-0348-9129-5.
- Póngase en contacto con el tema de geometría en arxiv.org
enlaces externos
- Colector de contacto en el Atlas de colectores