En mecánica estadística , el método de Darwin-Fowler se utiliza para derivar las funciones de distribución con probabilidad media. Fue desarrollado por Charles Galton Darwin y Ralph H. Fowler en 1922–1923. [1] [2]
Las funciones de distribución se utilizan en física estadística para estimar el número medio de partículas que ocupan un nivel de energía (de ahí que también se denominen números de ocupación). Estas distribuciones se derivan principalmente como aquellos números para los cuales el sistema en consideración se encuentra en su estado de máxima probabilidad. Pero uno realmente requiere números promedio. Estos números promedio se pueden obtener mediante el método de Darwin-Fowler. Por supuesto, para sistemas en el límite termodinámico (gran número de partículas), como en la mecánica estadística, los resultados son los mismos que con la maximización.
Método de Darwin-Fowler
En la mayoría de los textos sobre mecánica estadística, las funciones de distribución estadísticaen las estadísticas de Maxwell-Boltzmann , las estadísticas de Bose-Einstein , las estadísticas de Fermi-Dirac ) se obtienen determinando aquellas para las que el sistema se encuentra en su estado de máxima probabilidad. Pero realmente se requieren aquellos con probabilidad media o media, aunque, por supuesto, los resultados suelen ser los mismos para sistemas con una gran cantidad de elementos, como es el caso de la mecánica estadística. El método para derivar las funciones de distribución con probabilidad media ha sido desarrollado por CG Darwin y Fowler [2] y, por lo tanto, se conoce como método de Darwin-Fowler. Este método es el procedimiento general más confiable para derivar funciones de distribución estadística. Dado que el método emplea una variable selectora (un factor introducido para cada elemento para permitir un procedimiento de conteo), el método también se conoce como el método de Darwin-Fowler de variables selectoras. Tenga en cuenta que una función de distribución no es lo mismo que la probabilidad - cf. Distribución de Maxwell-Boltzmann , distribución de Bose-Einstein , distribución de Fermi-Dirac . También tenga en cuenta que la función de distribución que es una medida de la fracción de esos estados que están realmente ocupados por elementos, está dada por o , dónde es la degeneración del nivel de energía de energía y es el número de elementos que ocupan este nivel (por ejemplo, en las estadísticas de Fermi – Dirac 0 o 1). Energía total y número total de elementos luego son dados por y .
El método Darwin-Fowler ha sido tratado en los textos de E. Schrödinger , [3] Fowler [4] y Fowler y EA Guggenheim , [5] de K. Huang , [6] y de HJW Müller-Kirsten . [7] El método también se analiza y se utiliza para la derivación de la condensación de Bose-Einstein en el libro de RB Dingle . [8]
Estadística clásica
Para elementos independientes con al nivel de la energía y para un sistema canónico en un baño de calor con temperatura establecimos
El promedio de todos los arreglos es el número medio de ocupaciones
Insertar una variable de selector configurando
En estadstica clsica el Los elementos son (a) distinguibles y pueden organizarse con paquetes de elementos en el nivel cuyo número es
para que en este caso
Permitiendo (b) la degeneración de nivel esta expresión se convierte en
La variable selectora permite seleccionar el coeficiente de cual es . Por lo tanto
y por lo tanto
Este resultado, que concuerda con el valor más probable obtenido por maximización, no implica una sola aproximación y, por lo tanto, es exacto y, por lo tanto, demuestra el poder de este método de Darwin-Fowler.
Estadísticas cuánticas
Tenemos como arriba
dónde es el número de elementos en el nivel de energía . Dado que en la estadística cuántica los elementos son indistinguibles, no hay un cálculo preliminar del número de formas de dividir los elementos en paquetes.se requiere. Por lo tanto, la suma se refiere solo a la suma de los posibles valores de .
En el caso de las estadísticas de Fermi-Dirac tenemos
- o
por estado. Existen estados para el nivel de energía . Por lo tanto tenemos
En el caso de las estadísticas de Bose-Einstein tenemos
Por el mismo procedimiento que antes obtenemos en el presente caso
Pero
Por lo tanto
Resumiendo ambos casos y recordando la definición de, tenemos eso es el coeficiente de en
donde los signos superiores se aplican a las estadísticas de Fermi-Dirac y los signos inferiores a las estadísticas de Bose-Einstein.
A continuación, tenemos que evaluar el coeficiente de en En el caso de una función que se puede ampliar como
el coeficiente de es, con la ayuda del teorema del residuo de Cauchy ,
Observamos que de manera similar el coeficiente en lo anterior se puede obtener como
dónde
Diferenciando se obtiene
y
Uno ahora evalúa la primera y segunda derivadas de en el punto estacionario en el cual . Este método de evaluación dealrededor del punto de la silla se conoce como el método de descenso más empinado . Entonces uno obtiene
Tenemos y por lo tanto
(el +1 es insignificante ya que es largo). Veremos en un momento que esta última relación es simplemente la fórmula
Obtenemos el número medio de ocupación evaluando
Esta expresión da el número medio de elementos del total de en el volumen que ocupan a temperatura el nivel de 1 partícula con degeneración (ver, por ejemplo, probabilidad a priori ). Para que la relación sea confiable, se debe verificar que las contribuciones de orden superior estén disminuyendo inicialmente en magnitud, de modo que la expansión alrededor del punto de silla efectivamente produzca una expansión asintótica.
Otras lecturas
- Mehra, Jagdish; Schrödinger, Erwin; Rechenberg, Helmut (28 de diciembre de 2000). El desarrollo histórico de la teoría cuántica . Springer Science & Business Media. ISBN 9780387951805.
Referencias
- ^ "Método Darwin-Fowler" . Enciclopedia de Matemáticas . Consultado el 27 de septiembre de 2018 .
- ^ a b C.G. Darwin y RH Fowler, Phil. revista 44 (1922) 450–479, 823–842.
- ^ E. Schrödinger, Termodinámica estadística, Cambridge University Press (1952).
- ^ RH Fowler, Mecánica estadística, Cambridge University Press (1952).
- ^ RH Fowler y E. Guggenheim, Termodinámica estadística, Cambridge University Press (1960).
- ^ K. Huang, Mecánica estadística, Wiley (1963).
- ^ HJW Müller – Kirsten, Fundamentos de la física estadística, 2ª ed., World Scientific (2013), ISBN 978-981-4449-53-3 .
- ^ RB Dingle, Expansiones asintóticas: su derivación e interpretación, Academic Press (1973); págs. 267-271.