Una probabilidad a priori es una probabilidad que se deriva puramente por razonamiento deductivo . [1] Una forma de derivar probabilidades a priori es el principio de indiferencia , que tiene el carácter de decir que, si hay N eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos y si son igualmente probables, entonces la probabilidad de que ocurra un evento dado es 1 / N . Del mismo modo la probabilidad de una de una colección dada de K eventos es K / N .
Una desventaja de definir probabilidades de la forma anterior es que se aplica solo a colecciones finitas de eventos.
En la inferencia bayesiana , los " priores no informativos " o los "priores objetivos" son elecciones particulares de probabilidades a priori . [2] Tenga en cuenta que la " probabilidad previa " es un concepto más amplio.
Similar a la distinción en filosofía entre a priori y a posteriori , en la inferencia bayesiana a priori denota conocimiento general sobre la distribución de datos antes de hacer una inferencia, mientras que a posteriori denota conocimiento que incorpora los resultados de hacer una inferencia. [3]
Probabilidad a priori en mecánica estadística
La probabilidad a priori tiene una aplicación importante en mecánica estadística . La versión clásica se define como la relación entre el número de eventos elementales (por ejemplo, el número de veces que se lanza un dado) y el número total de eventos, y estos se consideran puramente deductivos, es decir, sin ningún tipo de experimentación. En el caso del dado, si lo miramos en la mesa sin tirarlo, cada evento elemental se razona deductivamente para tener la misma probabilidad, por lo tanto, la probabilidad de cada resultado de un lanzamiento imaginario del dado (perfecto) o simplemente contando el número de caras es 1/6. Cada cara del dado aparece con la misma probabilidad, siendo la probabilidad una medida definida para cada evento elemental. El resultado es diferente si tiramos el dado veinte veces y preguntamos cuántas veces (de 20) aparece el número 6 en la cara superior. En este caso entra en juego el tiempo y tenemos un tipo de probabilidad diferente según el tiempo o la cantidad de veces que se lanza el dado. Por otro lado, la probabilidad a priori es independiente del tiempo: puedes mirar el dado en la mesa todo el tiempo que quieras sin tocarlo y deduces que la probabilidad de que el número 6 aparezca en la cara superior es 1/6. .
En mecánica estadística, por ejemplo, el de un gas contenido en un volumen finito , tanto las coordenadas espaciales y las coordenadas de impulso de los elementos de gas individuales (átomos o moléculas) son finitos en el espacio de fase atravesado por estas coordenadas. En analogía con el caso del dado, la probabilidad a priori es aquí (en el caso de un continuo) proporcional al elemento de volumen del espacio de fase dividido por , y es el número de ondas estacionarias (es decir, estados) en el mismo, donde es el rango de la variable y es el rango de la variable (aquí por simplicidad considerado en una dimensión). En 1 dimensión (longitud) este número o ponderación estadística o ponderación a priori es . En las 3 dimensiones habituales (volumen) el número correspondiente se puede calcular para ser . [4] Para entender que esta cantidad da un número de estados en la mecánica cuántica (es decir, de ondas), recuerde que en la mecánica cuántica cada partícula está asociada con una onda de materia que es la solución de una ecuación de Schrödinger. En el caso de partículas libres (de energía) como los de un gas en una caja de volumen tal onda de materia es explícitamente
- ,
dónde son enteros. El número de diferentes valores y, por tanto, estados en la región entre luego se encuentra que es la expresión anterior considerando el área cubierta por estos puntos. Además, en vista de la relación de incertidumbre , que en 1 dimensión espacial es
- ,
estos estados son indistinguibles (es decir, estos estados no llevan etiquetas). Una consecuencia importante es un resultado conocido como teorema de Liouville , es decir, la independencia temporal de este elemento de volumen de espacio de fase y, por tanto, de la probabilidad a priori. Una dependencia temporal de esta cantidad implicaría información conocida sobre la dinámica del sistema y, por tanto, no sería una probabilidad a priori. [5] Así, la región
cuando se diferencia con respecto al tiempo produce cero (con la ayuda de las ecuaciones de Hamilton): el volumen en el tiempo es el mismo que en el momento cero. Uno describe esto también como conservación de información.
En la teoría cuántica completa, uno tiene una ley de conservación análoga. En este caso, la región del espacio de fase se reemplaza por un subespacio del espacio de estados expresado en términos de un operador de proyección, y en lugar de la probabilidad en el espacio de fase, uno tiene la densidad de probabilidad
dónde es la dimensionalidad del subespacio. La ley de conservación en este caso se expresa por la unitaridad de la matriz-S . En cualquier caso, las consideraciones suponen un sistema aislado cerrado. Este sistema aislado cerrado es un sistema con (1) una energía fija y (2) un número fijo de partículas en (c) un estado de equilibrio. Si se considera un gran número de réplicas de este sistema, se obtiene lo que se llama un “conjunto microcanónico”. Es por este sistema que se postula en estadística cuántica el “postulado fundamental de probabilidades iguales a priori de un sistema aislado”. Esto dice que el sistema aislado en equilibrio ocupa cada uno de sus estados accesibles con la misma probabilidad. Este postulado fundamental, por tanto, nos permite equiparar la probabilidad a priori a la degeneración de un sistema, es decir, al número de estados diferentes con la misma energía.
Ejemplo
El siguiente ejemplo ilustra la probabilidad a priori (o ponderación a priori) en (a) contextos clásicos y (b) cuánticos.
(a) Probabilidad clásica a priori
Considere la energía rotacional E de una molécula diatómica con momento de inercia I en coordenadas polares esféricas (esto significa arriba esta aqui ), es decir
La -curva para E constante y es una elipse de área
- .
Integrando sobre y el volumen total de espacio de fase cubierto para energía constante E es
- ,
y de ahí la ponderación clásica a priori en el rango de energía es
- (volumen del espacio de fase en ) menos (volumen del espacio de fase en ) es dado por
(b) Probabilidad cuántica a priori
Suponiendo que el número de estados cuánticos en un rango para cada dirección de movimiento se da, por elemento, por un factor , el número de estados en el rango de energía dE es, como se ve en (a) para la molécula diatómica giratoria. De la mecánica ondulatoria se sabe que los niveles de energía de una molécula diatómica en rotación están dados por
siendo cada uno de esos niveles (2n + 1) -veces degenerado. Evaluando Se obtiene
Así, en comparación con arriba, uno encuentra que el número aproximado de estados en el rango dE viene dado por la degeneración, es decir
Así, la ponderación a priori en el contexto clásico (a) corresponde a la ponderación a priori aquí en el contexto cuántico (b). En el caso del oscilador armónico simple unidimensional de frecuencia natural uno encuentra correspondientemente: (a) , y B) (sin degeneración). Así, en la mecánica cuántica, la probabilidad a priori es efectivamente una medida de la degeneración , es decir, el número de estados que tienen la misma energía.
En el caso del átomo de hidrógeno o potencial de Coulomb (donde la evaluación del volumen del espacio de fase para energía constante es más complicada) se sabe que la degeneración de la mecánica cuántica es con . Así en este caso.
Funciones de distribución y probabilidad a priori
En mecánica estadística (ver cualquier libro) se derivan las llamadas funciones de distribución para varias estadísticas. En el caso de las estadísticas de Fermi-Dirac y las estadísticas de Bose-Einstein, estas funciones son respectivamente
Estas funciones se derivan para (1) un sistema en equilibrio dinámico (es decir, en condiciones estables y uniformes) con (2) un número total (y enorme) de partículas (esta condición determina la constante ) y (3) energía total , es decir, con cada uno de los partículas que tienen la energía . Un aspecto importante en la derivación es tener en cuenta la indistinguibilidad de partículas y estados en la estadística cuántica, es decir, las partículas y los estados no tienen etiquetas. En el caso de los fermiones, como los electrones, que obedecen al principio de Pauli (solo una partícula por estado o ninguna permitida), uno tiene por tanto
Por lo tanto es una medida de la fracción de estados realmente ocupados por electrones a energía y temperatura . Por otro lado, la probabilidad a priories una medida del número de estados mecánicos de onda disponibles. Por eso
Desde es constante en condiciones uniformes (tantas partículas como fluyen de un elemento de volumen también fluyen de manera constante, de modo que la situación en el elemento parece estática), es decir, independiente del tiempo , y también es independiente del tiempo como se mostró anteriormente, obtenemos
Expresando esta ecuación en términos de sus derivadas parciales, se obtiene la ecuación de transporte de Boltzmann . ¿Cómo se coordinanetc. aparecen aquí de repente? Anteriormente no se hizo mención de campos eléctricos o de otro tipo. Por lo tanto, sin tales campos presentes, tenemos la distribución de Fermi-Dirac como arriba. Pero con tales campos presentes tenemos esta dependencia adicional de.
Referencias
- ^ Mood AM, Graybill FA, Boes DC (1974) Introducción a la teoría de la estadística (tercera edición). McGraw-Hill. Sección 2.2 ( disponible en línea Archivado el 15 de mayo de 2012 en Wayback Machine )
- ^ Por ejemplo, Harold J. Price y Allison R. Manson, "A priori no informativos para el teorema de Bayes" Archivado 2013-08-08 en archive.today , AIP Conf. Proc. 617, 2001
- ^ Eidenberger, Horst (2014), Categorización y aprendizaje automático: el modelado del entendimiento humano en computadoras , Universidad Tecnológica de Viena, p. 109, ISBN 9783735761903.
- ^ HJW Müller-Kirsten, Fundamentos de la física estadística, 2do. ed. World Scientific (Singapur, 2013), Capítulo 6
- ^ A. Ben-Naim, Entropía desmitificada, World Scientific (Singapur, 2007)