Parámetros de Denavit-Hartenberg

Este artículo trata sobre los parámetros DH utilizados en robótica. Para conocer los parámetros Diffie-Hellman ("dhparam") utilizados en criptografía, consulte Intercambio de claves Diffie-Hellman .

En ingeniería mecánica, los parámetros Denavit-Hartenberg (también llamados parámetros DH ) son los cuatro parámetros asociados con una convención particular para adjuntar marcos de referencia a los eslabones de una cadena cinemática espacial o manipulador de robot .

Jacques Denavit y Richard Hartenberg introdujeron esta convención en 1955 con el fin de estandarizar los marcos de coordenadas para los vínculos espaciales . ^{[1] [2]}

Richard Paul demostró su valor para el análisis cinemático de sistemas robóticos en 1981. ^[3] Si bien se han desarrollado muchas convenciones para adjuntar marcos de referencia, la convención Denavit-Hartenberg sigue siendo un enfoque popular.

Convención de Denavit-Hartenberg

Una convención comúnmente utilizada para seleccionar marcos de referencia en aplicaciones robóticas es la convención de Denavit y Hartenberg (D – H) que fue presentada por Jacques Denavit y Richard S. Hartenberg . En esta convención, los marcos de coordenadas se adjuntan a las uniones entre dos enlaces de modo que una transformación se asocie con la articulación, [Z], y la segunda se asocie con el enlace [X]. Las transformaciones de coordenadas a lo largo de un robot en serie que consta de n enlaces forman las ecuaciones cinemáticas del robot,

${\displaystyle [T]=[Z_{1}][X_{1}][Z_{2}][X_{2}]\ldots [X_{n-1}][Z_{n}][X_{n}],\!}$

donde [T] es la transformación que ubica el enlace final.

Para determinar las transformaciones de coordenadas [Z] y [X], las uniones que conectan los enlaces se modelan como articulaciones articuladas o deslizantes, cada una de las cuales tiene una línea S única en el espacio que forma el eje de la articulación y define el movimiento relativo de los dos enlaces. Un robot en serie típico se caracteriza por una secuencia de seis líneas S _i , i  = 1, ..., 6, una para cada articulación del robot. Para cada secuencia de líneas S _i y S _{i +1} , existe una línea normal común A _{i , i +1} . El sistema de seis ejes de articulación S _i y cinco líneas normales comunes A _{i , i +1}forman el esqueleto cinemático del típico robot en serie de seis grados de libertad. Denavit y Hartenberg introdujeron la convención de que los ejes de coordenadas Z se asignan a los ejes de articulación S _i y los ejes de coordenadas X se asignan a las normales comunes A _{i , i +1} .

Esta convención permite definir el movimiento de los eslabones alrededor de un eje de articulación común S _i por el desplazamiento del tornillo ,

${\displaystyle [Z_{i}]={\begin{bmatrix}\cos \theta _{i}&-\sin \theta _{i}&0&0\\\sin \theta _{i}&\cos \theta _{i}&0&0\\0&0&1&d_{i}\\0&0&0&1\end{bmatrix}},}$

donde θ _i es la rotación alrededor y d _i es el deslizamiento a lo largo del eje Z; cualquiera de los parámetros puede ser constante según la estructura del robot. Bajo esta convención, las dimensiones de cada eslabón en la cadena serial se definen por el desplazamiento del tornillo alrededor de la normal común A _{i , i +1} desde la articulación S _i a S _{i +1} , que está dada por

${\displaystyle [X_{i}]={\begin{bmatrix}1&0&0&r_{i,i+1}\\0&\cos \alpha _{i,i+1}&-\sin \alpha _{i,i+1}&0\\0&\sin \alpha _{i,i+1}&\cos \alpha _{i,i+1}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}},}$

donde α _{i , i +1} y r _{i , i +1} definen las dimensiones físicas del enlace en términos del ángulo medido alrededor y la distancia medida a lo largo del eje X.

En resumen, los marcos de referencia se presentan de la siguiente manera:

1. el eje-está en la dirección del eje de la articulación${\displaystyle z}$
2. el eje -es paralelo a la normal común : (o alejado de zn-1) Si no hay una normal común única ( ejes paralelos ), entonces (abajo) es un parámetro libre. La dirección de es de a , como se muestra en el video a continuación.${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{n}=z_{n}\times z_{n-1}}$
   ${\displaystyle z}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle z_{n-1}}$${\displaystyle z_{n}}$
3. el eje -y sigue al eje -y- eligiéndolo para que sea un sistema de coordenadas diestro .${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$

Cuatro parámetros

Los cuatro parámetros de la convención DH clásica se muestran en texto rojo, que son . Con esos cuatro parámetros, podemos traducir las coordenadas de a .${\displaystyle \theta _{i},d_{i},a_{i},\alpha _{i}}$${\displaystyle O_{i-1}X_{i-1}Y_{i-1}Z_{i-1}}$${\displaystyle O_{i}X_{i}Y_{i}Z_{i}}$

Los siguientes cuatro parámetros de transformación se conocen como parámetros D – H :. ^[4]

• ${\displaystyle d\,}$: desplazamiento a lo largo anterior a la normal común${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \theta \,}$: ángulo sobre el anterior , de antiguo a nuevo${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle r\,}$: longitud de la normal común (también conocida como , pero si usa esta notación, no la confunda con ). Suponiendo una articulación de revolución, este es el radio sobre el anterior .${\displaystyle a}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle z}$
• ${\displaystyle \alpha \,}$: ángulo sobre la normal común, desde el eje antiguo al nuevo eje${\displaystyle z}$${\displaystyle z}$

Está disponible una visualización de la parametrización D – H: YouTube

Hay algunas opciones en el diseño del marco en cuanto a si el eje anterior o los siguientes puntos a lo largo de la normal común. El último sistema permite ramificar cadenas de manera más eficiente, ya que múltiples marcos pueden apuntar en sentido contrario a su ancestro común, pero en el diseño alternativo el ancestro solo puede apuntar hacia un sucesor. Por lo tanto, la notación comúnmente utilizada coloca cada eje de la cadena descendente colineal con la normal común, lo que produce los cálculos de transformación que se muestran a continuación.${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

Podemos notar restricciones en las relaciones entre los ejes:

• el eje-es perpendicular a ambos ejes y${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle z_{n-1}}$${\displaystyle z_{n}}$
• el eje x intersecta tanto y ejes${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle z_{n-1}}$${\displaystyle z_{n}}$
• el origen de la articulación está en la intersección de y${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle z_{n}}$
• ${\displaystyle y_{n}}$completa un marco de referencia para diestros basado en y${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle z_{n}}$

Matriz de Denavit-Hartenberg

Es común separar el desplazamiento de un tornillo en el producto de una traslación pura a lo largo de una línea y una rotación pura alrededor de la línea, ^{[5] [6] de} modo que

${\displaystyle [Z_{i}]=\operatorname {Trans} _{Z_{i}}(d_{i})\operatorname {Rot} _{Z_{i}}(\theta _{i}),}$

y

${\displaystyle [X_{i}]=\operatorname {Trans} _{X_{i}}(r_{i,i+1})\operatorname {Rot} _{X_{i}}(\alpha _{i,i+1}).}$

Con esta notación, cada vínculo se puede describir mediante una transformación de coordenadas del sistema de coordenadas concurrente al sistema de coordenadas anterior.

${\displaystyle {}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})}$

Tenga en cuenta que este es el producto de dos desplazamientos de tornillo.Las matrices asociadas con estas operaciones son:

${\displaystyle \operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&d_{n}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

${\displaystyle \operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}&0&0\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}&0&0\\0&0&1&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

${\displaystyle \operatorname {Trans} _{x_{n}}(r_{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&r_{n}\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

${\displaystyle \operatorname {Rot} _{x_{n}}(\alpha _{n})=\left[{\begin{array}{ccc|c}1&0&0&0\\0&\cos \alpha _{n}&-\sin \alpha _{n}&0\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&0\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

Esto da:

${\displaystyle \operatorname {} ^{n-1}T_{n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}\cos \alpha _{n}&\sin \theta _{n}\sin \alpha _{n}&r_{n}\cos \theta _{n}\\\sin \theta _{n}&\cos \theta _{n}\cos \alpha _{n}&-\cos \theta _{n}\sin \alpha _{n}&r_{n}\sin \theta _{n}\\0&\sin \alpha _{n}&\cos \alpha _{n}&d_{n}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&\\&R&&T\\&&&\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

donde R es la submatriz de 3 × 3 que describe la rotación y T es la submatriz de 3 × 1 que describe la traslación.

En algunos libros, se reemplaza el orden de transformación de un par de rotación y traslación consecutivas (como y ). Sin embargo, debido a que el orden de multiplicación de matrices para dicho par no importa, el resultado es el mismo. Por ejemplo: . ${\displaystyle d_{n}}$${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle \operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})=\operatorname {Rot} _{z_{n-1}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n-1}}(d_{n})}$

Uso de matrices de Denavit y Hartenberg

La notación de Denavit y Hartenberg proporciona una metodología estándar para escribir las ecuaciones cinemáticas de un manipulador. Esto es especialmente útil para manipuladores en serie donde se usa una matriz para representar la pose (posición y orientación) de un cuerpo con respecto a otro.

La posición del cuerpo con respecto a puede representarse mediante una matriz de posición indicada con el símbolo o${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle T}$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \operatorname {} ^{n-1}T_{n}=M_{n-1,n}}$

Esta matriz también se usa para transformar un punto de marco a${\displaystyle n}$${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle M_{n-1,n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}R_{xx}&R_{xy}&R_{xz}&T_{x}\\R_{yx}&R_{yy}&R_{yz}&T_{y}\\R_{zx}&R_{zy}&R_{zz}&T_{z}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

Donde la submatriz superior izquierda de representa la orientación relativa de los dos cuerpos, y la parte superior derecha representa su posición relativa o más específicamente la posición del cuerpo en el cuadro  n  - 1 representada con el elemento del cuadro  n .${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle M}$${\displaystyle 3\times 1}$

La posición del cuerpo con respecto al cuerpo se puede obtener como el producto de las matrices que representan la pose de con respecto a y la de con respecto a${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle k}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle M_{i,k}=M_{i,j}M_{j,k}}$

Una propiedad importante de las matrices de Denavit y Hartenberg es que la inversa es

${\displaystyle M^{-1}=\left[{\begin{array}{ccc|c}&&&\\&R^{T}&&-R^{T}T\\&&&\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

donde es tanto la transposición como la inversa de la matriz ortogonal , es decir .${\displaystyle R^{T}}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{ij}^{-1}=R_{ij}^{T}=R_{ji}}$

Cinemática

Se pueden definir más matrices para representar la velocidad y la aceleración de los cuerpos. ^{[5] [6]} La velocidad del cuerpo con respecto al cuerpo se puede representar en el marco de la matriz${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle W_{i,j(k)}=\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-\omega _{z}&\omega _{y}&v_{x}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}&v_{y}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0&v_{z}\\\hline 0&0&0&0\end{array}}\right]}$

donde es la velocidad angular del cuerpo con respecto al cuerpo y todos los componentes se expresan en marco ; es la velocidad de un punto del cuerpo con respecto al cuerpo (el polo). El poste es el punto de paso por el origen del marco .${\displaystyle \omega }$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle k}$${\displaystyle v}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$

La matriz de aceleración se puede definir como la suma de la derivada en el tiempo de la velocidad más la velocidad al cuadrado.

${\displaystyle H_{i,j(k)}={\dot {W}}_{i,j(k)}+W_{i,j(k)}^{2}}$

La velocidad y la aceleración en el marco de un punto del cuerpo se pueden evaluar como${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle {\dot {P}}=W_{i,j}P}$

${\displaystyle {\ddot {P}}=H_{i,j}P}$

También es posible demostrar que

${\displaystyle {\dot {M}}_{i,j}=W_{i,j(i)}M_{i,j}}$

${\displaystyle {\ddot {M}}_{i,j}=H_{i,j(i)}M_{i,j}}$

Las matrices de velocidad y aceleración se suman de acuerdo con las siguientes reglas

${\displaystyle W_{i,k}=W_{i,j}+W_{j,k}}$

${\displaystyle H_{i,k}=H_{i,j}+H_{j,k}+2W_{i,j}W_{j,k}}$

en otras palabras, la velocidad absoluta es la suma de la velocidad principal más la velocidad relativa; para la aceleración también está presente el término de Coriolis.

Los componentes de las matrices de velocidad y aceleración se expresan en un marco arbitrario y se transforman de un marco a otro mediante la siguiente regla${\displaystyle k}$

${\displaystyle W_{(h)}=M_{h,k}W_{(k)}M_{k,h}}$

${\displaystyle H_{(h)}=M_{h,k}H_{(k)}M_{k,h}}$

Dinámica

Para la dinámica, son necesarias tres matrices más para describir la inercia , el momento lineal y angular , y las fuerzas y momentos de torsión aplicados a un cuerpo.${\displaystyle J}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Phi }$

Inercia :${\displaystyle J}$

${\displaystyle J=\left[{\begin{array}{ccc|c}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}&x_{g}m\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}&y_{g}m\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}&z_{g}m\\\hline x_{g}m&y_{g}m&z_{g}m&m\end{array}}\right]}$

donde es la masa, representan la posición del centro de masa, y los términos representan la inercia y se definen como${\displaystyle m}$${\displaystyle x_{g},\,y_{g},\,z_{g}}$${\displaystyle I_{xx},\,I_{xy},\ldots }$

${\displaystyle I_{xx}=\iint x^{2}\,dm}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{xy}&=\iint xy\,dm\\I_{xz}&=\cdots \\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$

Matriz de acción , que contiene fuerza y par :${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \Phi =\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-t_{z}&t_{y}&f_{x}\\t_{z}&0&-t_{x}&f_{y}\\-t_{y}&t_{x}&0&f_{z}\\\hline -f_{x}&-f_{y}&-f_{z}&0\end{array}}\right]}$

Matriz Momentum , que contiene lineal y angular impulso${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \Gamma =\left[{\begin{array}{ccc|c}0&-\gamma _{z}&\gamma _{y}&\rho _{x}\\\gamma _{z}&0&-\gamma _{x}&\rho _{y}\\-\gamma _{y}&\gamma _{x}&0&\rho _{z}\\\hline -\rho _{x}&-\rho _{y}&-\rho _{z}&0\end{array}}\right]}$

Todas las matrices están representadas con los componentes vectoriales en un marco determinado . La transformación de los componentes de un marco a otro sigue la regla${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{(h)}&=M_{h,k}J_{(k)}M_{h,k}^{T}\\\Gamma _{(h)}&=M_{h,k}\Gamma _{(k)}M_{h,k}^{T}\\\Phi _{(h)}&=M_{h,k}\Phi _{(k)}M_{h,k}^{T}\end{aligned}}}$

Las matrices descritas permiten escribir las ecuaciones dinámicas de forma concisa.

Ley de Newton:

${\displaystyle \Phi =HJ-JH^{t}\,}$

Impulso:

${\displaystyle \Gamma =WJ-JW^{t}\,}$

La primera de estas ecuaciones expresa la ley de Newton y es equivalente a la ecuación vectorial (fuerza igual a masa por aceleración) más (aceleración angular en función de la inercia y la velocidad angular); la segunda ecuación permite la evaluación del momento lineal y angular cuando se conocen la velocidad y la inercia.${\displaystyle f=ma}$${\displaystyle t=J{\dot {\omega }}+\omega \times J\omega }$

Parámetros DH modificados

Algunos libros como Introducción a la robótica: mecánica y control (3ª edición) ^[7] utilizan parámetros DH modificados. La diferencia entre los parámetros DH clásicos y los parámetros DH modificados son las ubicaciones de la conexión del sistema de coordenadas a los enlaces y el orden de las transformaciones realizadas.

Parámetros DH modificados

En comparación con los parámetros DH clásicos, las coordenadas del marco se colocan en el eje i  - 1, no en el eje i en la convención DH clásica. Las coordenadas de se colocan en el eje i , no en el eje i  + 1 en la convención DH clásica.${\displaystyle O_{i-1}}$${\displaystyle O_{i}}$

Otra diferencia es que de acuerdo con la convención modificada, la matriz de transformación viene dada por el siguiente orden de operaciones:

${\displaystyle {}^{n-1}T_{n}=\operatorname {Rot} _{x_{n-1}}(\alpha _{n-1})\cdot \operatorname {Trans} _{x_{n-1}}(a_{n-1})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n}}(d_{n})}$

Por tanto, la matriz de los parámetros DH modificados se convierte en

${\displaystyle \operatorname {} ^{n-1}T_{n}=\left[{\begin{array}{ccc|c}\cos \theta _{n}&-\sin \theta _{n}&0&a_{n-1}\\\sin \theta _{n}\cos \alpha _{n-1}&\cos \theta _{n}\cos \alpha _{n-1}&-\sin \alpha _{n-1}&-d_{n}\sin \alpha _{n-1}\\\sin \theta _{n}\sin \alpha _{n-1}&\cos \theta _{n}\sin \alpha _{n-1}&\cos \alpha _{n-1}&d_{n}\cos \alpha _{n-1}\\\hline 0&0&0&1\end{array}}\right]}$

Tenga en cuenta que algunos libros (por ejemplo: ^[8] ) utilizan y para indicar la longitud y la torsión del enlace n  - 1 en lugar del enlace  n . Como consecuencia, se forma solo con parámetros que utilizan el mismo subíndice.${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle \alpha _{n}}$${\displaystyle {}^{n-1}T_{n}}$

En algunos libros, se reemplaza el orden de transformación de un par de rotación y traslación consecutivas (como y ). Sin embargo, debido a que el orden de multiplicación de matrices para dicho par no importa, el resultado es el mismo. Por ejemplo: .${\displaystyle d_{n}}$${\displaystyle \theta _{n}}$${\displaystyle \operatorname {Trans} _{z_{n}}(d_{n})\cdot \operatorname {Rot} _{z_{n}}(\theta _{n})=\operatorname {Rot} _{z_{n}}(\theta _{n})\cdot \operatorname {Trans} _{z_{n}}(d_{n})}$

Se han publicado encuestas sobre las convenciones de DH y sus diferencias. ^{[9] [10]} La visualización de la definición de los parámetros DH se puede observar y comprender fácilmente utilizando el software de simulación llamado RoboAnalyzer . ^[11]

Ver también

• Cinemática directa
• Cinemática inversa
• Cadena cinemática
• Cinemática
• Convenciones de robótica
• Sistemas mecánicos

Referencias

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con la transformación de Denavit-Hartenberg .

1. Denavit, Jacques; Hartenberg, Richard Scheunemann (1955). "Una notación cinemática para mecanismos de pares inferiores basados ​​en matrices". Trans ASME J. Appl. Mech . 23 : 215-221.
2. Hartenberg, Richard Scheunemann; Denavit, Jacques (1965). Síntesis cinemática de enlaces . Serie McGraw-Hill en ingeniería mecánica. Nueva York: McGraw-Hill. pag. 435. Archivado desde el original el 28 de septiembre de 2013 . Consultado el 13 de enero de 2012 .
3. Paul, Richard (1981). Manipuladores de robots: matemáticas, programación y control: el control informático de los manipuladores de robots . Cambridge, MA: MIT Press. ISBN 978-0-262-16082-7. Archivado desde el original el 15 de febrero de 2017 . Consultado el 22 de septiembre de 2016 .
4. Spong, Mark W .; Vidyasagar, M. (1989). Control y Dinámica de Robots . Nueva York: John Wiley & Sons. ISBN 9780471503521.
5. Legnani, Giovanni; Casolo, Federico; Righettini, Paolo; Zappa, Bruno (1996). "Un enfoque de matriz homogénea a la cinemática y dinámica 3D - I. Teoría". Teoría de Mecanismos y Máquinas . 31 (5): 573–587. doi : 10.1016 / 0094-114X (95) 00100-D .
6. Legnani, Giovanni; Casolo, Federico; Righettini, Paolo; Zappa, Bruno (1996). "Un enfoque de matriz homogénea a la cinemática y dinámica 3D - II. Aplicaciones a cadenas de cuerpos rígidos y manipuladores en serie". Teoría de Mecanismos y Máquinas . 31 (5): 589–605. doi : 10.1016 / 0094-114X (95) 00101-4 .
7. John J. Craig, Introducción a la robótica: mecánica y control (tercera edición) ISBN 978-0201543612 
8. Khalil, Wisama; Dombre, Etienne (2002). Modelado, identificación y control de robots . Nueva York: Taylor Francis. ISBN 1-56032-983-1. Archivado desde el original el 12 de marzo de 2017 . Consultado el 22 de septiembre de 2016 .
9. Lipkin, Harvey (2005). "Una nota sobre la notación de Denavit-Hartenberg en robótica". Volumen 7: Mecanismos y 29ª Conferencia de Robótica, partes A y B . 2005 . págs. 921–926. doi : 10.1115 / DETC2005-85460 . ISBN 0-7918-4744-6.
10. Waldron, Kenneth; Schmiedeler, James (2008). "Cinemática". Manual de robótica de Springer . págs. 9–33. doi : 10.1007 / 978-3-540-30301-5_2 . ISBN 978-3-540-23957-4.
11. "RoboAnalyzer: software de aprendizaje de robótica basado en modelos 3D: página de inicio" . RoboAnalyzer . Consultado el 20 de junio de 2020 .