En álgebra conmutativa y homológica , la profundidad es un invariante importante de anillos y módulos . Aunque la profundidad se puede definir de manera más general, el caso más común considerado es el caso de módulos sobre un anillo local noetheriano conmutativo . En este caso, la profundidad de un módulo se relaciona con su dimensión proyectiva por la fórmula de Auslander-Buchsbaum . Una propiedad más elemental de la profundidad es la desigualdad
donde dim M indica la dimensión Krull del módulo M . La profundidad se utiliza para definir clases de anillos y módulos con buenas propiedades, por ejemplo, anillos y módulos Cohen-Macaulay , para los que se cumple la igualdad.
Definición
Deje que R sea un anillo conmutativo, que un ideal de R y M un finito generado R -módulo con la propiedad de que IM está contenida adecuadamente en M . Entonces la I - profundidad de M , también llamada comúnmente grado de M , se define como
Por definición, la profundidad de un anillo local R con un ideal máximo eso es -profundidad como un módulo sobre sí mismo. Si R es un Cohen-Macaulay anillo local, entonces la profundidad de R es igual a la dimensión de R .
Por un teorema de David Rees , la profundidad también se puede caracterizar utilizando la noción de una secuencia regular .
Teorema (Rees)
Suponga que R es un anillo local noetheriano conmutativo con el ideal máximo y M es un módulo R generado de forma finita . Entonces todas las sucesiones regulares máximas x 1 , ..., x n para M , donde cada x i pertenece a, tienen la misma longitud n igual a la-depth de M .
Profundidad y dimensión proyectiva
La dimensión proyectiva y la profundidad de un módulo sobre un anillo local conmutativo noetheriano son complementarias entre sí. Este es el contenido de la fórmula de Auslander-Buchsbaum, que no solo tiene una importancia teórica fundamental, sino que también proporciona una forma eficaz de calcular la profundidad de un módulo. Suponga que R es un anillo local noetheriano conmutativo con el ideal máximo y M es un módulo R generado de forma finita . Si la dimensión proyectiva de M es finita, la fórmula de Auslander-Buchsbaum establece
Anillos de profundidad cero
Un anillo local noetheriano conmutativo R tiene profundidad cero si y solo si su ideal máximoes un primo asociado o, de manera equivalente, cuando hay un elemento x de R distinto de cero tal que(es decir, x aniquila). Esto significa, esencialmente, que el punto cerrado es un componente incrustado .
Por ejemplo, el anillo (donde k es un campo), que representa una línea () con un punto doble incrustado en el origen, tiene profundidad cero en el origen, pero dimensión uno: esto da un ejemplo de un anillo que no es Cohen-Macaulay .
Referencias
- Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94269-8, MR 1322960
- Winfried Bruns; Jürgen Herzog, anillos de Cohen-Macaulay . Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1993. xii + 403 pp. ISBN 0-521-41068-1