En álgebra conmutativa , la dimensión de Krull de un anillo conmutativo R , que lleva el nombre de Wolfgang Krull , es el supremo de las longitudes de todas las cadenas de ideales primos . La dimensión de Krull no necesita ser finita incluso para un anillo noetheriano . De manera más general, la dimensión de Krull se puede definir para módulos sobre anillos posiblemente no conmutativos como la desviación del conjunto de submódulos.
La dimensión Krull se introdujo para proporcionar una definición algebraica de la dimensión de una variedad algebraica : la dimensión de la variedad affine definido por un ideal I en un anillo de polinomios R es la dimensión Krull de R / I .
Un campo k tiene una dimensión de Krull 0; más generalmente, k [ x 1 , ..., x n ] tiene una dimensión de Krull n . Un dominio ideal principal que no es un campo tiene dimensión de Krull 1. Un anillo local tiene dimensión de Krull 0 si y solo si cada elemento de su ideal máximo es nilpotente.
Hay varias otras formas que se han utilizado para definir la dimensión de un anillo. La mayoría de ellos coinciden con la dimensión de Krull para los anillos noetherianos, pero pueden diferir para los anillos no noetherianos.
Explicación
Decimos que una cadena de ideales primarios de la forma tiene longitud n . Es decir, la longitud es el número de inclusiones estrictas, no el número de números primos; estos difieren en 1. Definimos la dimensión de Krull de ser el supremo de las longitudes de todas las cadenas de ideales primordiales en .
Dado un mejor en R , definimos elaltura de, escrito , ser el supremo de las longitudes de todas las cadenas de ideales primordiales contenidos en , significa que . [1] En otras palabras, la altura dees la dimensión de Krull de la localización de R en. Un ideal primo tiene altura cero si y solo si es un ideal primo mínimo . La dimensión Krull de un anillo es el supremo de las alturas de todos los ideales máximos, o las de todos los ideales principales. La altura también se denomina a veces codimensión, rango o altitud de un ideal principal.
En un anillo noetheriano , cada ideal principal tiene una altura finita. No obstante, Nagata dio un ejemplo de un anillo noetheriano de dimensión infinita de Krull. [2] Un anillo se llama catenaria si alguna inclusión de ideales primarios puede extenderse a una cadena máxima de ideales primarios entre y , y dos cadenas máximas entre y tienen la misma longitud. Un anillo se llama catenaria universalmente si cualquier álgebra generada finitamente sobre él es catenaria. Nagata dio un ejemplo de anillo noetheriano que no es catenaria. [3]
En un anillo noetheriano, un ideal primo tiene altura como máximo n si y solo si es un ideal primo mínimo sobre un ideal generado por n elementos ( el teorema de la altura de Krull y su inverso). [4] Implica que la condición de cadena descendente se cumple para los ideales primos de tal manera que las longitudes de las cadenas que descienden de un ideal primo están limitadas por el número de generadores del primo. [5]
De manera más general, la altura de un ideal que es el ínfimo de las alturas de todos los ideales primos que contienen I . En el lenguaje de la geometría algebraica , esta es la codimensión de la subvariedad de Spec () Correspondiente a I . [6]
Esquemas
De la definición del espectro de un anillo Spec ( R ), el espacio de ideales primos de R equipado con la topología de Zariski, se sigue fácilmente que la dimensión de Krull de R es igual a la dimensión de su espectro como espacio topológico, es decir el supremo de las longitudes de todas las cadenas de subconjuntos cerrados irreductibles. Esto se sigue inmediatamente de la conexión de Galois entre los ideales de R y los subconjuntos cerrados de Spec ( R ) y la observación de que, según la definición de Spec ( R ), cada ideal primode R corresponde a un punto genérico del subconjunto cerrado asociado a por la conexión de Galois.
Ejemplos de
- La dimensión de un anillo polinomial sobre un campo k [ x 1 , ..., x n ] es el número de variables n . En el lenguaje de la geometría algebraica , esto dice que el espacio afín de dimensión n sobre un campo tiene dimensión n , como se esperaba. En general, si R es un anillo noetheriano de dimensión n , entonces la dimensión de R [ x ] es n + 1. Si se descarta la hipótesis noetheriana, entonces R [ x ] puede tener una dimensión entre n + 1 y 2 n + 1.
- Por ejemplo, el ideal tiene altura 2 ya que podemos formar la cadena ascendente máxima de ideales primos.
- Dado un polinomio irreducible , el ideal no es primo (ya que , pero ninguno de los factores lo es), pero podemos calcular fácilmente la altura ya que el ideal primo más pequeño que contiene es solo .
- El anillo de números enteros Z tiene dimensión 1. Más generalmente, cualquier dominio ideal principal que no sea un campo tiene dimensión 1.
- Un dominio integral es un campo si y solo si su dimensión de Krull es cero. Los dominios de Dedekind que no son campos (por ejemplo, anillos de valoración discretos ) tienen dimensión uno.
- La dimensión de Krull del anillo cero se define típicamente como o . El anillo cero es el único anillo con dimensión negativa.
- Un anillo es artiniano si y solo si es noetheriano y su dimensión Krull es ≤0.
- Una extensión integral de un anillo tiene la misma dimensión que el anillo.
- Sea R un álgebra sobre un campo k que es un dominio integral. Entonces la dimensión de Krull de R es menor o igual al grado de trascendencia del campo de fracciones de R sobre k . [7] La igualdad se cumple si R se genera de forma finita como álgebra (por ejemplo, mediante el lema de normalización sin éter ).
- Sea R un anillo noetheriano, yo un ideal yser el anillo graduado asociado (los geómetras lo llaman el anillo del cono normal de I ).es el supremo de las alturas de ideales maximales de R que contienen I . [8]
- Un anillo noetheriano conmutativo de dimensión cero de Krull es un producto directo de un número finito (posiblemente uno) de anillos locales de dimensión cero de Krull.
- Un anillo local noetheriano se denomina anillo de Cohen-Macaulay si su dimensión es igual a su profundidad . Un anillo local regular es un ejemplo de este tipo de anillo.
- Un dominio integral noetheriano es un dominio de factorización único si y solo si cada ideal primo de altura 1 es principal. [9]
- Para un anillo noetheriano conmutativo, las tres condiciones siguientes son equivalentes: ser un anillo reducido de dimensión cero de Krull, ser un campo o un producto directo de campos, ser von Neumann regular .
De un modulo
Si R es un anillo conmutativo y M es un módulo R , definimos la dimensión Krull de M como la dimensión Krull del cociente de R, lo que hace que M sea un módulo fiel . Es decir, lo definimos por la fórmula:
donde Ann R ( M ), el aniquilador , es el núcleo de la aplicación natural R → End R (M) de R en el anillo de R endomorfismos de -linear M .
En el lenguaje de los esquemas , los módulos generados finitamente se interpretan como haces coherentes o paquetes de vectores de rango finito generalizados .
Para anillos no conmutativos
La dimensión de Krull de un módulo sobre un anillo posiblemente no conmutativo se define como la desviación del conjunto de submódulos ordenados por inclusión. Para los anillos conmutativos de Noether, esto es lo mismo que la definición que usa cadenas de ideales primos. [10] Las dos definiciones pueden ser diferentes para anillos conmutativos que no son noetherianos.
Ver también
- Difusión analítica
- Teoría de la dimensión (álgebra)
- Dimensión Gelfand-Kirillov
- Función de Hilbert
- Conjeturas homológicas en álgebra conmutativa
- Teorema del ideal principal de Krull
- Anillo local regular
Notas
- ^ Matsumura, Hideyuki: "Teoría del anillo conmutativo", páginas 30-31, 1989
- ^ Eisenbud, D. Álgebra conmutativa (1995). Springer, Berlín. Ejercicio 9.6.
- ^ Matsumura, H. álgebra conmutativa (1970). Benjamin, Nueva York. Ejemplo 14.E.
- ^ Serre , cap. III, § B.2, Teorema 1, Corolario 4.
- ↑ Eisenbud , Corolario 10.3.
- ^ Matsumura, Hideyuki: "Teoría del anillo conmutativo", páginas 30-31, 1989
- ^ ¿ Dimensión de Krull menor o igual que el grado de trascendencia?
- ^ Eisenbud 2004 , ejercicio 13.8
- ^ Hartshorne, Robin: "Geometría algebraica", página 7, 1977
- ^ McConnell, JC y Robson, JC Anillos noetherianos no conmutativos (2001). Amer. Matemáticas. Soc., Providencia. Corolario 6.4.8.
Bibliografía
- Irving Kaplansky , Anillos conmutativos (edición revisada) , University of Chicago Press , 1974, ISBN 0-226-42454-5 . Página 32.
- LA Bokhut '; IV L'vov; VK Kharchenko (1991). "I. Anillos no conmutativos". En Kostrikin, AI ; Shafarevich, IR (eds.). Álgebra II . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. 18 . Springer-Verlag . ISBN 3-540-18177-6. Sección 4.7.
- Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , 150 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94268-1, MR 1322960
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics (2a ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6
- P. Serre, álgebra local , monografías de Springer en matemáticas