En teoría de números , un número de Descartes es un número impar que habría sido un número perfecto impar , si uno de sus factores compuestos fuera primo. Llevan el nombre de René Descartes, quien observó que el número D = 3 2 ⋅7 2 ⋅11 2 ⋅13 2 ⋅22021 = (3⋅1001) 2 ⋅ (22⋅1001 - 1) = 198585576189 sería un número perfecto impar si solo 22021 eran un número primo , ya que la función de suma de divisores para D satisfaría, si 22021 fuera primo,
donde ignoramos el hecho de que 22021 es compuesto ( 22021 = 19 2 ⋅61 ).
Número A Descartes se define como un número impar n = m ⋅ p donde m y p son primos entre sí y 2 n = σ ( m ) ⋅ ( p + 1) , de donde p se toma como un prime 'parodia'. El ejemplo dado es el único que se conoce actualmente.
Si m es un número impar casi perfecto , [1] es decir, σ ( m ) = 2 m - 1 y 2 m - 1 se toma como un primo 'falso', entonces n = m ⋅ (2 m - 1) es un número de Descartes, ya que σ ( n ) = σ ( m ⋅ (2 m - 1)) = σ ( m ) ⋅2 m = (2 m - 1) ⋅2 m = 2 n . Si 2 m - 1 fuera primo, n sería un número perfecto impar.
Propiedades
Banks y col. demostró en 2008 que si n es un número de Descartes libre de cubos no divisible por , entonces n tiene más de un millón de divisores primos distintos.
Ver también
- Número de Erdős – Nicolas , otro tipo de número casi perfecto
Notas
- ^ Actualmente, los únicos números casi perfectos conocidos son las potencias no negativas de 2, de donde el único número casi perfecto impar conocido es 2 0 = 1.
Referencias
- Banks, William D .; Güloğlu, Ahmet M .; Nevans, C. Wesley; Saidak, Filip (2008). "Números de Descartes". En De Koninck, Jean-Marie ; Granville, Andrew ; Luca, Florian (eds.). Anatomía de los enteros. Basado en el taller de CRM, Montreal, Canadá, 13 al 17 de marzo de 2006 . Actas de CRM y notas de conferencias. 46 . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 167-173. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1186.11004 .
- Klee, Victor ; Wagon, Stan (1991). Problemas antiguos y nuevos sin resolver en geometría plana y teoría de números . Las exposiciones matemáticas Dolciani. 11 . Washington, DC: Asociación Matemática de América . ISBN 0-88385-315-9. Zbl 0784.51002 .