Discriminante
En matemáticas , el discriminante de un polinomio es una cantidad que depende de los coeficientes y determina varias propiedades de las raíces . Generalmente se define como una función polinomial de los coeficientes del polinomio original. El discriminante se usa ampliamente en factorización de polinomios , teoría de números y geometría algebraica . A menudo se denota con el símbolo .
El discriminante del polinomio de segundo grado con una ≠ 0 es:
la cantidad que aparece debajo de la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática . Este discriminante es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz doble . En el caso de los coeficientes reales , es positivo si el polinomio tiene dos raíces reales distintas y negativo si tiene dos raíces conjugadas complejas distintas . [1] De manera similar, para un polinomio cúbico , hay un discriminante que es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple. En el caso de un cúbico con coeficientes reales, el discriminante es positivo si el polinomio tiene tres raíces reales distintas y negativo si tiene una raíz real y dos raíces conjugadas complejas distintas.
De manera más general, el discriminante de un polinomio univariado de grado positivo es cero si y solo si el polinomio tiene una raíz múltiple. Para coeficientes reales y sin raíces múltiples, el discriminante es positivo si el número de raíces no reales es un múltiplo de 4 (incluida ninguna) y negativo en caso contrario.
Varias generalizaciones también se denominan discriminante: el discriminante de un campo numérico algebraico ; el discriminante de una forma cuadrática ; y más generalmente, el discriminante de una forma , de un polinomio homogéneo o de una hipersuperficie proyectiva (estos tres conceptos son esencialmente equivalentes).
