En matemáticas , un proceso de punto determinante es un proceso de punto estocástico , cuya distribución de probabilidad se caracteriza como determinante de alguna función. Surgen procesos tales como herramientas importantes en matriz aleatoria teoría, la combinatoria , la física , [1] y el modelado de la red inalámbrica. [2] [3] [4]
Definición
Dejar ser un espacio polaco localmente compacto yser una medida de radón en. Además, considere una función medible K : Λ 2 → ℂ.
Nosotros decimos eso es un proceso de punto determinante en con kernel si es un proceso de punto simple encon una intensidad conjunta o función de correlación (que es la densidad de su medida de momento factorial ) dada por
para cada n ≥ 1 y x 1 ,. . . , x n ∈ Λ. [5]
Propiedades
Existencia
Las siguientes dos condiciones son necesarias y suficientes para la existencia de un proceso determinante de puntos aleatorios con intensidades ρ k .
- Simetría: ρ k es invariante bajo la acción del grupo simétrico S k . Por lo tanto:
- La positividad: Para cualquier N , y cualquier colección de medible, funciones delimitadas phi k : Λ k → ℝ, k = 1 ,. . . , N con soporte compacto :
- Si
- Luego
Unicidad
Una condición suficiente para la unicidad de un proceso aleatorio determinante con intensidades conjuntas ρ k es
por cada Borel A ⊆ Λ acotado . [6]
Ejemplos de
Conjunto unitario gaussiano
Los valores propios de una matriz hermitiana aleatoria m × m extraída del conjunto unitario gaussiano (GUE) forman un proceso de punto determinante en con kernel
dónde es el función de onda del oscilador definida por
y es el el polinomio de Hermite . [7]
Medida de Plancherel poissonizada
La medida de Plancherel poissonizada en particiones de números enteros (y por lo tanto en diagramas de Young ) juega un papel importante en el estudio de la subsecuencia creciente más larga de una permutación aleatoria. El proceso puntual correspondiente a un diagrama de Young aleatorio, expresado en coordenadas de Frobenius modificadas, es un proceso puntual determinante en ℤ [ aclaración necesaria ] + 1 ⁄ 2 con el kernel discreto de Bessel, dado por:
dónde
Para J, la función de Bessel del primer tipo y θ la media utilizada en la poissonización. [8]
Esto sirve como un ejemplo de un proceso de punto determinante bien definido con núcleo no hermitiano (aunque su restricción al semieje positivo y negativo es hermitiano). [6]
Árboles de expansión uniformes
Sea G un finito, no dirigida, conectado gráfico , con el conjunto de borde E . Defina I e : E → ℓ 2 (E) de la siguiente manera: primero elija un conjunto arbitrario de orientaciones para los bordes E, y para cada borde orientado resultante e , defina I e como la proyección de un flujo unitario a lo largo de e sobre el subespacio de ℓ 2 (E) atravesado por flujos de estrellas. [9] Entonces, el árbol de expansión uniformemente aleatorio de G es un proceso de punto determinante en E , con kernel
- . [5]
Referencias
- ^ Vershik, Anatoly M. (2003). Combinatoria asintótica con aplicaciones a la física matemática, una escuela de verano matemática europea celebrada en el Instituto Euler, San Petersburgo, Rusia, del 9 al 20 de julio de 2001 . Berlín [etc.]: Springer. pag. 151. ISBN 978-3-540-44890-7.
- ^ Miyoshi, Naoto; Shirai, Tomoyuki (2016). "Un modelo de red celular con estaciones base configuradas por Ginibre" . Avances en probabilidad aplicada . 46 (3): 832–845. doi : 10.1239 / aap / 1409319562 . ISSN 0001-8678 .
- ^ Torrisi, Giovanni Luca; Leonardi, Emilio (2014). "Grandes desviaciones de la interferencia en el modelo de red de Ginibre" (PDF) . Sistemas estocásticos . 4 (1): 173–205. doi : 10.1287 / 13-SSY109 . ISSN 1946-5238 .
- ^ N. Deng, W. Zhou y M. Haenggi. El proceso del punto de Ginibre como modelo para redes inalámbricas con repulsión. Transacciones IEEE sobre comunicaciones inalámbricas , vol. 14, págs.107-121, enero de 2015.
- ^ a b Hough, JB, Krishnapur, M., Peres, Y. y Virág, B., Ceros de funciones analíticas gaussianas y procesos de puntos determinantes. Serie de conferencias universitarias, 51. American Mathematical Society, Providence, RI, 2009.
- ^ a b c A. Soshnikov, Campos de puntos aleatorios determinantes. Matemáticas rusas. Surveys , 2000, 55 (5), 923–975.
- ^ B. Valko. Matrices aleatorias, conferencias 14-15 . Notas de clase del curso, Universidad de Wisconsin-Madison .
- ^ A. Borodin, A. Okounkov y G. Olshanski, Sobre asintóticas de las medidas de Plancherel para grupos simétricos, disponible a través de arXiv : math / 9905032 .
- ^ Lyons, R. con Peres, Y., Probabilidad en árboles y redes. Cambridge University Press, en preparación. Versión actual disponible en http://mypage.iu.edu/~rdlyons/