En matemáticas de teoría del orden , la desviación de un poset es un número ordinal que mide la complejidad de un conjunto parcialmente ordenado .
La desviación de un poset se utiliza para definir la dimensión Krull de un módulo sobre un anillo como la desviación de su poset de submódulos.
Definición
Se declara que un poset trivial (uno en el que no hay dos elementos comparables) tiene desviación . Se dice que un poset no trivial que satisface la condición de cadena descendente tiene desviación 0. Luego, inductivamente, se dice que un poset tiene desviación como máximo α (para un α ordinal) si para cada cadena descendente de elementos a 0 > a 1 > .. . todo pero un número finito de los Posets de elementos entre un n y un n 1 tienen desviación de menos de α. La desviación (si existe) es el valor mínimo de α para el que esto es cierto.
No todos los poset tienen una desviación. Las siguientes condiciones en un poset son equivalentes:
- El poset tiene una desviación
- El poset opuesto tiene una desviación
- El poset no contiene un orden de subconjunto : isomorfo a los números racionales (con su orden numérico estándar)
Ejemplos de
El conjunto de números enteros positivos tiene desviación 0: cada cadena descendente es finita, por lo que la condición definitoria para la desviación es vacuosamente verdadera . Sin embargo, su poset opuesto tiene una desviación 1.
Sea k un campo algebraicamente cerrado y considere el conjunto de ideales del anillo polinomial k [x] en una variable. Dado que la desviación de este poset es la dimensión de Krull del anillo, sabemos que debe ser 1. Esto corresponde al hecho de que k [x] no tiene la condición de cadena descendente (por lo que la desviación es mayor que cero), pero en cualquier cadena descendente, los elementos consecutivos están "muy juntos". Por ejemplo, tome la cadena descendente de ideales - esta es una cadena descendente infinita, pero para dos términos consecutivos cualesquiera, digamos y , no hay una cadena descendente infinita de ideales de k [x] contenida entre estos términos.
Ampliando más este ejemplo, considere el anillo polinomial en dos variables, k [x, y] , que tiene una dimensión de Krull 2. Tome la cadena descendente. Dados cualesquiera dos términos adyacentes en esta cadena, y , hay una cadena descendente infinita . Así que podemos encontrar una cadena descendente de modo que entre dos términos adyacentes haya una cadena descendente infinita adicional: podemos "anidar" cadenas descendentes a dos capas de profundidad. Ampliando esto, es fácil ver que en el anillo polinomial en n variables, es posible anidar cadenas descendentes con n capas de profundidad y no más. Esto es esencialmente lo que significa que el conjunto de ideales tenga una desviación n .
Referencias
- McConnell, JC; Robson, JC (2001), Anillos noetherianos no conmutativos , Estudios de posgrado en matemáticas , 30 (edición revisada), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2169-5, Señor 1811901