En el campo matemático de la teoría de órdenes , un isomorfismo de orden es un tipo especial de función monótona que constituye una noción adecuada de isomorfismo para conjuntos parcialmente ordenados (posets). Siempre que dos posets son de orden isomórfico, se puede considerar que son "esencialmente iguales" en el sentido de que cualquiera de las órdenes puede obtenerse del otro simplemente cambiando el nombre de los elementos. Dos nociones estrictamente más débiles que se relacionan con los isomorfismos de orden son las incrustaciones de orden y las conexiones de Galois . [1]
Definición
Formalmente, dados dos posets y , un isomorfismo de orden de a es una función biyectiva de a con la propiedad que, por cada y en , si y solo si . Es decir, es una incrustación de orden biyectiva . [2]
También es posible definir un isomorfismo de orden como una incrustación de orden sobreyectiva . Los dos supuestos que cubrir todos los elementos de y que conserve los pedidos, son suficientes para asegurar que también es uno a uno, porque si entonces (asumiendo que conserva el orden) se seguiría que y , lo que implica por la definición de un orden parcial que .
Sin embargo, otra caracterización de los isomorfismos de orden es que son exactamente las biyecciones monótonas que tienen una inversa monótona. [3]
Un isomorfismo de orden de un conjunto parcialmente ordenado a sí mismo se denomina automorfismo de orden . [4]
Cuando se impone una estructura algebraica adicional a los posets y , una función de a debe satisfacer propiedades adicionales para ser considerado un isomorfismo. Por ejemplo, dados dos grupos parcialmente ordenados ( grupos po) y , un isomorfismo de grupos po de a es un isomorfismo de orden que también es un isomorfismo de grupo , no meramente una biyección que es una incrustación de orden . [5]
Ejemplos de
- La función de identidad en cualquier conjunto parcialmente ordenado es siempre un automorfismo de orden.
- La negación es un isomorfismo de orden de a (dónde es el conjunto de números reales ydenota la comparación numérica habitual), ya que - x ≥ - y si y solo si x ≤ y . [6]
- El intervalo abierto (nuevamente, ordenado numéricamente) no tiene un isomorfismo de orden hacia o desde el intervalo cerrado : el intervalo cerrado tiene un elemento mínimo, pero el intervalo abierto no, y los isomorfismos de orden deben preservar la existencia de elementos mínimos. [7]
Tipos de orden
Si es un isomorfismo de orden, entonces también lo es su función inversa . También si es un isomorfismo de orden de a y es un isomorfismo de orden de a , entonces la composición de funciones de y es en sí mismo un isomorfismo de orden, de a . [8]
Se dice que dos conjuntos parcialmente ordenados son isomorfos de orden cuando existe un isomorfismo de orden de uno a otro. [9] Las funciones de identidad, las funciones inversas y las composiciones de funciones corresponden, respectivamente, a las tres características definitorias de una relación de equivalencia : reflexividad , simetría y transitividad . Por tanto, el isomorfismo de orden es una relación de equivalencia. La clase de conjuntos parcialmente ordenados puede dividirse en clases de equivalencia , familias de conjuntos parcialmente ordenados que son todos isomorfos entre sí. Estas clases de equivalencia se denominan tipos de orden .
Ver también
- Patrón de permutación, una permutación que es orden-isomórfica a una subsecuencia de otra permutación
Notas
- ^ Bloch (2011) ; Ciesielski (1997) .
- ^ Ésta es la definición utilizada por Ciesielski (1997) . Para Bloch (2011) y Schröder (2003) es una consecuencia de una definición diferente.
- ^ Ésta es la definición utilizada por Bloch (2011) y Schröder (2003) .
- ^ Schröder (2003) , p. 13.
- ↑ Esta definición es equivalente a la establecida en Fuchs (1963) .
- ^ Véase el ejemplo 4 de Ciesielski (1997) , p. 39., para un ejemplo similar con números enteros en lugar de números reales.
- ^ Ciesielski (1997) , ejemplo 1, p. 39.
- ^ Ciesielski (1997) ; Schröder (2003) .
- ^ Ciesielski (1997) .
Referencias
- Bloch, Ethan D. (2011), Pruebas y fundamentos: Un primer curso en matemáticas abstractas , Textos de pregrado en matemáticas (2ª ed.), Springer, págs. 276–277, ISBN 9781441971265.
- Ciesielski, Krzysztof (1997), Teoría de conjuntos para el matemático que trabaja , Textos estudiantiles de la London Mathematical Society, 39 , Cambridge University Press, págs. 38–39, ISBN 9780521594653.
- Schröder, Bernd Siegfried Walter (2003), Conjuntos ordenados: Introducción , Springer, p. 11, ISBN 9780817641283.
- Fuchs, Laszlo (1963), Sistemas algebraicos parcialmente ordenados , Publicaciones de Dover; Edición de reimpresión (5 de marzo de 2014), págs. 2-3, ISBN 0486483878.