En matemáticas, se dice que una matriz cuadrada es diagonalmente dominante si, para cada fila de la matriz, la magnitud de la entrada diagonal en una fila es mayor o igual que la suma de las magnitudes de todas las demás (no diagonal) entradas en esa fila. Más precisamente, la matriz A es diagonalmente dominante si
donde a ij denota la entrada en la i- ésima fila y la j- ésima columna.
Tenga en cuenta que esta definición utiliza una desigualdad débil y, por lo tanto, a veces se denomina dominancia diagonal débil . Si se usa una desigualdad estricta (>), esto se denomina dominancia diagonal estricta . El término dominio diagonal no calificado puede significar un dominio diagonal tanto estricto como débil, según el contexto. [1]
Variaciones
La definición del primer párrafo suma las entradas en las filas. Por lo tanto, a veces se le llama dominancia diagonal de filas . Si uno cambia la definición para sumar columnas, esto se llama dominio de la diagonal de la columna .
Cualquier matriz estrictamente diagonalmente dominante es trivialmente una matriz diagonalmente dominante débilmente encadenada . Las matrices diagonalmente dominantes débilmente encadenadas no son singulares e incluyen la familia de matrices diagonalmente dominantes irreductibles . Estas son matrices irreductibles que son débilmente dominantes en diagonal, pero estrictamente dominantes en diagonal en al menos una fila.
Ejemplos de
La matriz
es diagonalmente dominante porque
- desde
- desde
- desde .
La matriz
no es diagonalmente dominante porque
- desde
- desde
- desde .
Es decir, la primera y la tercera filas no satisfacen la condición de dominancia diagonal.
La matriz
es estrictamente diagonalmente dominante porque
- desde
- desde
- desde .
Aplicaciones y propiedades
Una matriz estrictamente diagonalmente dominante (o una matriz diagonalmente dominante irreductible [2] ) no es singular . Este resultado se conoce como el teorema de Levy-Desplanques. [3]
Prueba : suponga que A es una matriz estrictamente dominante en diagonal y es un vector distinto de cero tal que . Let Me ser tal quees el máximo en valor absoluto. Luego
contradiciendo la hipótesis.
Una matriz hermitiana diagonalmente dominantecon entradas diagonales reales no negativas es positivo semidefinido .
Prueba : deje que la matriz diagonal contienen las entradas diagonales de . Conectar y a través de un segmento de matrices . Este segmento consta de matrices estrictamente dominantes en diagonal (por lo tanto, no singulares), excepto tal vez por. Esto muestra que. Aplicando este argumento a los principales menores de, la semidefinidad positiva sigue el criterio de Sylvester .
Si se elimina el requisito de simetría, dicha matriz no es necesariamente semidefinida positiva. Por ejemplo, considere
Sin embargo, las partes reales de sus valores propios siguen siendo no negativas según el teorema del círculo de Gershgorin .
De manera similar, una matriz hermitiana estrictamente diagonalmente dominante con entradas diagonales positivas reales es positiva definida , ya que equivale a la suma de alguna matriz hermitiana diagonalmente dominante. con entradas diagonales reales no negativas (que es semidefinida positiva) y por algún número real positivo (que es positivo definido).
No es necesario un pivote (parcial) para una matriz estrictamente dominante en diagonal de columna cuando se realiza la eliminación gaussiana (factorización LU).
Los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel para resolver un sistema lineal convergen si la matriz es estrictamente (o irreductiblemente) diagonalmente dominante.
Muchas matrices que surgen en los métodos de elementos finitos son diagonalmente dominantes.
Se utiliza una ligera variación de la idea de dominancia diagonal para demostrar que el emparejamiento en diagramas sin bucles en el álgebra de Temperley-Lieb no es degenerado. [4] Para una matriz con entradas polinomiales, una definición sensata de dominancia diagonal es si la potencia más alta deque aparece en cada fila aparece solo en la diagonal. (Las evaluaciones de tal matriz a grandes valores de son diagonalmente dominantes en el sentido anterior.)
Notas
- ↑ Por ejemplo, Horn y Johnson (1985, p. 349) lo usan para referirse a una dominancia diagonal débil.
- ^ Horn y Johnson, Thm 6.2.27.
- ^ Horn y Johnson, Thm 6.1.10. Este resultado ha sido redescubierto de forma independiente decenas de veces. Algunos notables son Lévy (1881), Desplanques (1886), Minkowski (1900), Hadamard (1903), Schur, Markov (1908), Rohrbach (1931), Gershgorin (1931), Artin (1932), Ostrowski (1937). ) y Furtwängler (1936). Para una historia de este "teorema recurrente" ver: Taussky, Olga (1949). "Un teorema recurrente sobre los determinantes" (PDF) . American Mathematical Monthly . The American Mathematical Monthly, vol. 56, núm. 10. 56 (10): 672–676. doi : 10.2307 / 2305561 . JSTOR 2305561 . Otra historia útil está en: Schneider, Hans (1977). "Influencia de Olga Taussky-Todd en la teoría de la matriz y los teóricos de la matriz". Álgebra lineal y multilineal . 5 (3): 197–224. doi : 10.1080 / 03081087708817197 .
- ^ KH Ko y L. Smolinski (1991). "Una matriz combinatoria en la teoría de tres variedades". Pacific J. Math. 149 : 319–336.
Referencias
- Golub, Gene H .; Van Loan, Charles F. (1996). Cálculos matriciales . ISBN 0-8018-5414-8.
- Horn, Roger A .; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis (edición de bolsillo). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-38632-2.