En mecánica estadística , el álgebra de Temperley-Lieb es un álgebra a partir de la cual se construyen ciertas matrices de transferencia , inventadas por Neville Temperley y Elliott Lieb . También se relaciona con modelos integrables , teoría de nudos y el grupo de trenzas , grupos cuánticos y subfactores de álgebras de von Neumann .
Definición
Dejar ser un anillo conmutativo y arreglar. El álgebra de Temperley-Lieb es el -álgebra generada por los elementos, sujeto a las relaciones de Jones:
- para todos
- para todos
- para todos
- para todos tal que
puede representarse esquemáticamente como el espacio vectorial sobre pares no cruzados de puntos en dos lados opuestos de un rectángulo con n puntos en cada uno de los dos lados.
El elemento de identidad es el diagrama en el que cada punto está conectado con el que está directamente a través del rectángulo. El generador es el diagrama en el que -th y -th punto en el lado izquierdo están conectados entre sí, de manera similar los dos puntos opuestos a estos en el lado derecho, y todos los demás puntos están conectados al punto directamente a través del rectángulo.
Los generadores de están:
De izquierda a derecha, la unidad 1 y los generadores , , , .
La multiplicación de los elementos básicos se puede realizar colocando dos rectángulos uno al lado del otro y reemplazando los bucles cerrados por un factor. , por ejemplo :
× = = .
Las relaciones de Jones se pueden ver gráficamente:
=
=
=
Los cinco elementos básicos de son los siguientes:
.
De izquierda a derecha, la unidad 1, los generadores , , y , .
El Hamiltoniano de Temperley-Lieb
Considere un modelo de interacción alrededor de una cara, por ejemplo, un modelo de celosía cuadrada y dejesea el número de sitios en la celosía. Siguiendo a Temperley y Lieb [1] definimos el Hamiltoniano de Temperley-Lieb (el Hamiltoniano TL) como
Aplicaciones
En lo que sigue consideramos el caso especial .
En primer lugar, consideraremos el caso. . El TL Hamiltoniano es, a saber
= 2 - - .
Tenemos dos estados posibles,
y .
Al actuar por en estos estados, encontramos
= 2 - - = - ,
y
= 2 - - = - + .
Escritura como una matriz en la base de posibles estados tenemos,
El vector propio de con el valor propio más bajo se conoce como estado fundamental . En este caso, el valor propio más bajo por es . El vector propio correspondiente es. A medida que variamos el número de sitiosencontramos la siguiente tabla [2]
2 | (1) | 3 | (1, 1) |
4 | (2, 1) | 5 | |
6 | 7 | ||
8 | 9 | ||
donde hemos usado la notación -veces, por ejemplo, .
Propiedades combinatorias
Una observación interesante es que los componentes más grandes del estado fundamental de tenemos una enumeración combinatoria a medida que variamos el número de sitios, [3] como fue observado por primera vez por Murray Batchelor , Jan de Gier y Bernard Nienhuis. [2] Utilizando los recursos de la enciclopedia en línea de secuencias enteras , Batchelor et al. encontrado, para un número par de sitios
y para un número impar de sitios
Sorprendentemente, estas secuencias correspondían a objetos combinatorios bien conocidos. Paraincluso, esto (secuencia A051255 en el OEIS ) corresponde a particiones del plano del complemento de transposición cíclicamente simétricas y paraimpares, (secuencia A005156 en la OEIS ), corresponden a matrices de signo alterno simétricas con respecto al eje vertical.
Referencias
- ^ Temperley, Neville ; Lieb, Elliott (1971). "Relaciones entre el problema de 'percolación' y 'coloración' y otros problemas gráficos-teóricos asociados con celosías planas regulares: algunos resultados exactos para el problema de 'percolación'". Actas de la Royal Society A: Ciencias Matemáticas, Físicas e Ingeniería . 322 (1549): 251–280. doi : 10.1098 / rspa.1971.0067 . JSTOR 77727 . Señor 0498284 .
- ^ a b Batchelor, Murray ; de Gier, Jan; Nienhuis, Bernard (2001). "El simétrico cuántico cadena en , Matrices alterna-muestra y particiones de plano". Journal of Physics A . 34 (19):. L265-L270 arXiv : cond-mat / 0101385 . Doi : 10,1088 / 0305-4470 / 34/19/ 101 . MR 1.836.155 .
- ^ de Gier, enero (2005). "Bucles, emparejamientos y matrices de signo alterno". Matemáticas discretas . 298 (1–3): 365–388. arXiv : matemáticas / 0211285 . doi : 10.1016 / j.disc.2003.11.060 . Señor 2163456 .
Otras lecturas
- Kauffman, Louis H. (1987). "Modelos de estado y el polinomio de Jones" . Topología . 26 (3): 395–407. doi : 10.1016 / 0040-9383 (87) 90009-7 . Señor 0899057 .
- Baxter, Rodney J. (1982). Modelos exactamente resueltos en mecánica estadística . Londres: Academic Press Inc. ISBN 0-12-083180-5. Señor 0690578 .