Desigualdad diferencial variacional

Este artículo incluye una lista de referencias , lecturas relacionadas o enlaces externos , pero sus fuentes siguen sin estar claras porque carece de citas en línea . Ayude a mejorar este artículo introduciendo citas más precisas. ( Junio ​​de 2020 ) ( Obtenga información sobre cómo y cuándo eliminar este mensaje de plantilla )

En matemáticas, una desigualdad variacional diferencial (DVI) es un sistema dinámico que incorpora ecuaciones diferenciales ordinarias y desigualdades variacionales o problemas de complementariedad .

Los DVI son útiles para representar modelos que involucran restricciones tanto de dinámica como de desigualdad . Ejemplos de tales problemas incluyen, por ejemplo, problemas de impacto mecánico, circuitos eléctricos con diodos ideales , problemas de fricción de Coulomb para los cuerpos en contacto y problemas económicos dinámicos y problemas relacionados, como redes de tráfico dinámico y redes de colas (donde las restricciones pueden ser límites superiores en la longitud de la cola o que la longitud de la cola no puede ser negativa). Los DVI están relacionados con una serie de otros conceptos que incluyen inclusiones diferenciales , sistemas dinámicos proyectados , desigualdades evolutivas yDesigualdades variacionales parabólicas .

Las desigualdades variacionales diferenciales fueron introducidas formalmente por primera vez por Pang y Stewart , cuya definición no debe confundirse con la desigualdad variacional diferencial utilizada en Aubin y Cellina (1984).

Las desigualdades variacionales diferenciales tienen la forma de encontrar tales que${\displaystyle u(t)\in K}$

${\displaystyle \langle v-u(t),F(t,x(t),u(t))\rangle \geq 0}$

para todos y casi todos los t ; K un conjunto convexo cerrado, donde${\displaystyle v\in K}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(t,x(t),u(t)),\quad x(t_{0})=x_{0}.}$

Estrechamente asociados con los DVI hay problemas de complementariedad dinámica / diferencial: si K es un cono convexo cerrado, entonces la desigualdad variacional es equivalente al problema de complementariedad :

${\displaystyle K\ni u(t)\quad \perp \quad F(t,x(t),u(t))\in K^{*}.}$

Ejemplos de

Contacto Mecánico

Considere una bola rígida de radio que cae desde una altura hacia una mesa. Suponga que las fuerzas que actúan sobre la pelota son la gravitación y las fuerzas de contacto de la mesa que impiden la penetración. Entonces la ecuación diferencial que describe el movimiento es${\displaystyle r}$

${\displaystyle m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-mg+N(t)}$

donde es la masa de la bola y es la fuerza de contacto de la mesa, y es la aceleración gravitacional. Tenga en cuenta que ambos y son desconocidos a priori . Mientras la bola y la mesa están separadas, no hay fuerza de contacto. No puede haber penetración (para una bola rígida y una mesa rígida), así que para todos . Si entonces . Por otro lado, si , entonces puede tomar cualquier valor no negativo. (No permitimos ya que corresponde a algún tipo de adhesivo). Esto se puede resumir en la relación de complementariedad${\displaystyle m}$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle g}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle y(t)-r\geq 0}$${\displaystyle t}$${\displaystyle y(t)-r>0}$${\displaystyle N(t)=0}$${\displaystyle y(t)-r=0}$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle N(t)<0}$

${\displaystyle 0\leq y(t)-r\quad \perp \quad N(t)\geq 0.}$

En la formulación anterior, podemos establecer , de modo que su cono dual sea ​​también el conjunto de números reales no negativos; este es un problema de complementariedad diferencial.${\displaystyle K=\{\,z\mid z\geq 0\,\}}$${\displaystyle K^{*}=K}$

Diodos ideales en circuitos eléctricos.

Un diodo ideal es un diodo que conduce electricidad en la dirección de avance sin resistencia si se aplica un voltaje de avance, pero no permite que la corriente fluya en la dirección de retroceso. Entonces, si el voltaje inverso es y la corriente directa es , entonces existe una relación de complementariedad entre los dos:${\displaystyle v(t)}$${\displaystyle i(t)}$

${\displaystyle 0\leq v(t)\quad \perp \quad i(t)\geq 0}$

para todos . Si el diodo está en un circuito que contiene un elemento de memoria, como un condensador o un inductor, entonces el circuito se puede representar como una desigualdad variacional diferencial.${\displaystyle t}$

Índice

El concepto de índice de un DVI es importante y determina muchas cuestiones de existencia y singularidad de las soluciones a un DVI. Este concepto está estrechamente relacionado con el concepto de índice para ecuaciones algebraicas diferenciales.(DAE), que es el número de veces que se deben diferenciar las ecuaciones algebraicas de un DAE para obtener un sistema completo de ecuaciones diferenciales para todas las variables. También es una noción cercana al grado relativo de Teoría de Control, que es, en términos generales, el número de veces que una variable de "salida" tiene que ser diferenciada para que una variable de "entrada" aparezca explícitamente en la Teoría de Control que se usa para derivar una forma canónica de espacio de estados que involucra la llamada "dinámica cero", un concepto fundamental para el control). Para un DVI, el índice es el número de diferenciaciones de F ( t ,  x , u ) = 0 necesaria para localmente singularmente identifican u como una función de t y x .

Este índice se puede calcular para los ejemplos anteriores. Para el ejemplo del impacto mecánico, si diferenciamos una vez que lo tenemos , que todavía no implica explícitamente . Sin embargo, si diferenciamos una vez más, podemos usar la ecuación diferencial para dar , lo que implica explícitamente . Además, si , podemos determinar explícitamente en términos de . ${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle dy/dt(t)}$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle d^{2}y/dt^{2}=(1/m)[-mg+N(t)]}$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle d^{2}y/dt^{2}=b(t)}$${\displaystyle N(t)}$${\displaystyle b(t)}$

Para los sistemas de diodos ideales, los cálculos son considerablemente más difíciles, pero siempre que se cumplan algunas condiciones generalmente válidas, se puede demostrar que la desigualdad variacional diferencial tiene un índice uno.

Las desigualdades variacionales diferenciales con un índice mayor que dos generalmente no son significativas, pero ciertas condiciones e interpretaciones pueden hacerlas significativas (ver las referencias Acary, Brogliato y Goeleven, y Heemels, Schumacher y Weiland a continuación). Un paso crucial es definir primero un espacio adecuado de soluciones (distribuciones de Schwartz).

Referencias

• Pang y Stewart (2008) "Desigualdades variacionales diferenciales", Programación matemática, vol. 113, no. 2, Serie A, 345–424.
• Aubin y Cellina (1984) Inclusiones diferenciales Springer-Verlag.
• Acary y Brogliato y Goeleven (2006) "Proceso de barrido de Moreau de orden superior. Formulación matemática y formulación numérica", Programación matemática A, 113, 133-217, 2008.
• Avi Mandelbaum (1989) "Problemas de complementariedad dinámica", manuscrito inédito.
• Heemels, Schumacher y Weiland (2000) "Sistemas de complementariedad lineal", SIAM Journal on Applied Mathematics, vol. 60, no. 4, 1234-1269.