Los sistemas dinámicos proyectados es una teoría matemática que investiga el comportamiento de sistemas dinámicos donde las soluciones están restringidas a un conjunto de restricciones. La disciplina comparte conexiones y aplicaciones tanto con el mundo estático de optimización y problemas de equilibrio como con el mundo dinámico de ecuaciones diferenciales ordinarias . Un sistema dinámico proyectado viene dado por el flujo a la ecuación diferencial proyectada
donde K es nuestro conjunto de restricciones. Las ecuaciones diferenciales de esta forma se caracterizan por tener un campo vectorial discontinuo.
Historia de los sistemas dinámicos proyectados
Los sistemas dinámicos proyectados han evolucionado a partir del deseo de modelar dinámicamente el comportamiento de soluciones no estáticas en problemas de equilibrio sobre algún parámetro, por lo general toman tiempo. Esta dinámica difiere de la de las ecuaciones diferenciales ordinarias en que las soluciones todavía están restringidas a cualquier conjunto de restricciones en el que estuviera trabajando el problema de equilibrio subyacente, por ejemplo, la no negatividad de las inversiones en modelos financieros , conjuntos poliédricos convexos en investigación de operaciones , etc. Una clase de equilibrio particularmente importante El problema que ha contribuido al surgimiento de los sistemas dinámicos proyectados ha sido el de las desigualdades variacionales .
La formalización de los sistemas dinámicos proyectados se inició en la década de los noventa. Sin embargo, se pueden encontrar conceptos similares en la literatura matemática anterior a esto, especialmente en relación con las desigualdades variacionales y las inclusiones diferenciales.
Proyecciones y conos
Cualquier solución a nuestra ecuación diferencial proyectada debe permanecer dentro de nuestro conjunto de restricciones K durante todo el tiempo. Este resultado deseado se logra mediante el uso de operadores de proyección y dos clases particulares importantes de conos convexos . Aquí tomamos K ser un cerrado , convexo subconjunto de algún espacio de Hilbert X .
El cono normal al conjunto K en el punto x en K está dado por
El cono tangente (o cono contingente ) al conjunto K en el punto x viene dado por
El operador de proyección (o mapeo del elemento más cercano ) de un punto x en X a K viene dado por el puntoen K tal que
para cada y en K .
El operador de proyección vectorial de un vector v en X en un punto x en K está dado por
Que es solo la Derivada Gateaux calculada en la dirección del campo Vector
Ecuaciones diferenciales proyectadas
Dado un subconjunto cerrado y convexo K de un espacio de Hilbert X y un campo vectorial -F que toma elementos de K a X , la ecuación diferencial proyectada asociada con K y -F se define como
En el interior de K, las soluciones se comportan como lo harían si el sistema fuera una ecuación diferencial ordinaria sin restricciones. Sin embargo, dado que el campo vectorial es discontinuo a lo largo del límite del conjunto, las ecuaciones diferenciales proyectadas pertenecen a la clase de ecuaciones diferenciales ordinarias discontinuas. Si bien esto hace que gran parte de la teoría de la ecuación diferencial ordinaria sea inaplicable, se sabe que cuando -F es un campo vectorial continuo de Lipschitz , existe una única solución absolutamente continua a través de cada punto inicial x (0) = x 0 en K en el intervalo.
Esta ecuación diferencial se puede caracterizar alternativamente por
o
La convención de denotar el campo vectorial -F con un signo negativo surge de una conexión particular que los sistemas dinámicos proyectados comparten con desigualdades variacionales. La convención en la literatura es referirse al campo vectorial como positivo en la desigualdad variacional y negativo en el correspondiente sistema dinámico proyectado.
Ver también
Referencias
- Aubin, JP y Cellina, A., Inclusiones diferenciales , Springer-Verlag, Berlín (1984).
- Nagurney, A. y Zhang, D., Sistemas dinámicos proyectados y desigualdades variacionales con aplicaciones , Kluwer Academic Publishers (1996).
- Cojocaru, M. y Jonker L., Existencia de soluciones a ecuaciones diferenciales proyectadas en espacios de Hilbert , Proc. Amer. Matemáticas. Soc., 132 (1), 183-193 (2004).
- Brogliato, B., y Daniilidis, A., y Lemaréchal, C. , y Acary, V., "Sobre la equivalencia entre sistemas de complementariedad, sistemas proyectados e inclusiones diferenciales", Systems and Control Letters , vol.55, pp.45 -51 (2006)