En matemáticas , una desigualdad variacional es una desigualdad que involucra un funcional , que debe resolverse para todos los valores posibles de una variable dada , que generalmente pertenece a un conjunto convexo . La teoría matemática de las desigualdades variacionales se desarrolló inicialmente para tratar problemas de equilibrio , precisamente el problema de Signorini : en ese problema modelo, el funcional involucrado se obtuvo como la primera variación de la energía potencial involucrada . Por tanto, tiene un origen variacional, recordado por el nombre del problema abstracto general. Desde entonces, la aplicabilidad de la teoría se ha ampliado para incluir problemas de economía , finanzas , optimización y teoría de juegos .
Historia
El primer problema de desigualdad variacional fue el problema de Signorini , planteado por Antonio Signorini en 1959 y resuelto por Gaetano Fichera en 1963, según las referencias ( Antman 1983 , pp. 282-284) y ( Fichera 1995 ): los primeros trabajos de las teorías fueron ( Fichera 1963 ) y ( Fichera 1964a ), ( Fichera 1964b ). Posteriormente, Guido Stampacchia demostró su generalización al teorema de Lax-Milgram en ( Stampacchia 1964 ) para estudiar el problema de regularidad para ecuaciones diferenciales parciales y acuñó el nombre de "desigualdad variacional" para todos los problemas que involucran desigualdades de este tipo. Georges Duvaut animó a sus estudiantes de posgrado a estudiar y ampliar el trabajo de Fichera, después de asistir a una conferencia en Brixen en 1965 donde Fichera presentó su estudio del problema de Signorini, como Antman 1983 , p. 283 informes: así la teoría se hizo ampliamente conocida en toda Francia . También en 1965, Stampacchia y Jacques-Louis Lions ampliaron los resultados anteriores de ( Stampacchia 1964 ), anunciándolos en el periódico ( Lions & Stampacchia 1965 ): las pruebas completas de sus resultados aparecieron más adelante en el documento ( Lions & Stampacchia 1967 ).
Definición
Siguiendo a Antman (1983 , p. 283), la definición formal de una desigualdad variacional es la siguiente.
Definición 1. Dado un espacio de Banach , un subconjunto de y funcional de al espacio dual del espacio , el problema de desigualdad variacional es el problema de resolver la variable perteneciendo a la siguiente desigualdad :
dónde es el emparejamiento de dualidad .
En general, el problema desigualdad variacional se puede formular en cualquier finito - o infinito - dimensional espacio de Banach . Los tres pasos obvios en el estudio del problema son los siguientes:
- Demuestre la existencia de una solución: este paso implica la corrección matemática del problema, mostrando que hay al menos una solución.
- Demuestre la unicidad de la solución dada: este paso implica la corrección física del problema, mostrando que la solución puede usarse para representar un fenómeno físico. Es un paso particularmente importante ya que la mayoría de los problemas modelados por desigualdades variacionales son de origen físico.
- Encuentra la solución.
Ejemplos de
El problema de encontrar el valor mínimo de una función de valor real de variable real
Este es un problema de ejemplo estándar, informado por Antman (1983 , p. 283): considere el problema de encontrar el valor mínimo de una función diferenciable en un intervalo cerrado . Dejar ser un punto en donde ocurre el mínimo. Pueden ocurrir tres casos:
- Si luego
- Si luego
- Si luego
Estas condiciones necesarias pueden resumirse como el problema de encontrar tal que
- por
El mínimo absoluto debe buscarse entre las soluciones (si hay más de una) de la desigualdad anterior : tenga en cuenta que la solución es un número real , por lo tanto, esta es una desigualdad variacional de dimensión finita .
La desigualdad variacional general de dimensión finita
Una formulación del problema general en es el siguiente: dado un subconjunto de y un mapeo , El finito - dimensional problema de la desigualdad variacional asociado con consistir en encontrar un norte {\ Displaystyle n} dimensional del vector perteneciendo a tal que
dónde es el producto interno estándar en el espacio vectorial .
La desigualdad variacional para el problema de Signorini
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Classical_Signorini_problem.svg/400px-Classical_Signorini_problem.svg.png)
En el relevamiento histórico ( Fichera 1995 ), Gaetano Fichera describe la génesis de su solución al problema de Signorini : el problema consiste en encontrar la configuración de equilibrio elástico de un cuerpo elástico anisotrópico no homogéneo que se encuentra en un subconjunto del espacio euclidiano tridimensional cuyo límite es, descansando sobre una superficie rígida sin fricción y sujeta solo a sus fuerzas de masa . La solucióndel problema existe y es único (bajo supuestos precisos) en el conjunto de desplazamientos admisibles es decir, el conjunto de vectores de desplazamiento que satisfacen el sistema de condiciones de contorno ambiguas si y solo si
dónde y son los siguientes funcionales , escritos usando la notación de Einstein
- , ,
donde, para todos ,
- es la superficie de contacto (o más generalmente un conjunto de contactos ),
- es la fuerza corporal aplicada al cuerpo,
- es la fuerza superficial aplicada a,
- es el tensor de deformación infinitesimal ,
- es el tensor de tensión de Cauchy , definido como
- dónde es la energía potencial elástica y es el tensor de elasticidad .
Ver también
- Teoría de la complementariedad
- Desigualdad variacional diferencial
- Programación matemática extendida para problemas de equilibrio
- Programación matemática con restricciones de equilibrio
- Problema de obstáculos
- Sistema dinámico proyectado
- Problema de Signorini
- Contacto unilateral
Referencias
Referencias históricas
- Antman, Stuart (1983), "La influencia de la elasticidad en el análisis: desarrollos modernos", Bulletin of the American Mathematical Society , 9 (3): 267-291, doi : 10.1090 / S0273-0979-1983-15185-6 , MR 0714990 , Zbl 0533.73001. Un artículo histórico sobre la fructífera interacción de la teoría de la elasticidad y el análisis matemático : la creación de la teoría de las desigualdades variacionales por Gaetano Fichera se describe en §5, páginas 282-284.
- Duvaut, Georges (1971), "Problèmes unilatéraux en mécanique des milieux continus" , Actes du Congrès international des mathématiciens, 1970 , ICM Proceedings , Mathématiques appliquées (E), Histoire et Enseignement (F) - Volumen 3, París : Gauthier-Villars , págs. 71–78, archivado desde el original (PDF) el 25 de julio de 2015 , consultado el 25 de julio de 2015. Una breve encuesta de investigación que describe el campo de las desigualdades variacionales, precisamente el subcampo de los problemas de la mecánica del continuo con restricciones unilaterales.
- Fichera, Gaetano (1995), "La nascita della teoria delle disequazioni variazionali ricordata dopo trent'anni", Incontro scientifico italo-spagnolo. Roma, 21 de octubre de 1993 , Atti dei Convegni Lincei (en italiano), 114 , Roma : Accademia Nazionale dei Lincei , págs. 47–53. El nacimiento de la teoría de las desigualdades variacionales recordado treinta años después (traducción al inglés del título) es un artículo histórico que describe el comienzo de la teoría de las desigualdades variacionales desde el punto de vista de su fundador.
Trabajos científicos
- Facchinei, Francisco; Pang, Jong-Shi (2003), Desigualdades variacionales de dimensión finita y problemas de complementariedad, vol. 1 , Springer Series in Operations Research, Berlín - Heidelberg - Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 0-387-95580-1, Zbl 1062.90001
- Facchinei, Francisco; Pang, Jong-Shi (2003), Desigualdades variacionales de dimensión finita y problemas de complementariedad, vol. 2 , Springer Series in Operations Research, Berlín - Heidelberg - Nueva York : Springer-Verlag , ISBN 0-387-95581-X, Zbl 1062.90001
- Fichera, Gaetano (1963), "Sul problema elastostatico di Signorini con ambigue condizioni al contorno", Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 (en italiano), 34 (2): 138–142 , Zbl 0128.18305. " Sobre el problema elastostático de Signorini con condiciones de contorno ambiguas " (traducción al inglés del título) es una breve nota de investigación que anuncia y describe la solución del problema de Signorini.
- Fichera, Gaetano (1964a), "Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: il problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno", Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 (en italiano), 7 (2 ): 91-140, Zbl 0146.21204. " Problemas elastostáticos con restricciones unilaterales: el problema de Signorini con condiciones de contorno ambiguas " (traducción al inglés del título) es el primer artículo en el que se demuestra un teorema de existencia y unicidad para el problema de Signorini.
- Fichera, Gaetano (1964b), "Problemas elastostáticos con restricciones unilaterales: el problema de Signorini con condiciones de contorno ambiguas", Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963 , Roma : Edizioni Cremonese, págs. 613–679. Una traducción al inglés de ( Fichera 1964a ).
- Glowinski, Roland ; Leones, Jacques-Louis ; Trémolières, Raymond (1981), Análisis numérico de desigualdades variacionales. Traducido del francés , Studies in Mathematics and its Applications, 8 , Amsterdam - Nueva York - Oxford : North-Holland , págs. Xxix + 776, ISBN 0-444-86199-8, MR 0635927 , Zbl 0.463,65046
- Kinderlehrer, David ; Stampacchia, Guido (1980), Introducción a las desigualdades variacionales y sus aplicaciones , Matemáticas puras y aplicadas, 88 , Boston - Londres - Nueva York - San Diego - Sídney - Tokio - Toronto : Academic Press , ISBN 0-89871-466-4, Zbl 0457.35001.
- Leones, Jacques-Louis ; Stampacchia, Guido (1965), "Inéquations variacionesnelles non coercives" , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences , 261 : 25-27, Zbl 0136.11906, disponible en Gallica . Anuncios de los resultados del papel ( Lions & Stampacchia 1967 ).
- Leones, Jacques-Louis ; Stampacchia, Guido (1967), "Desigualdades variacionales" , Comunicaciones sobre matemáticas puras y aplicadas , 20 (3): 493–519, doi : 10.1002 / cpa.3160200302 , Zbl 0152.34601 , archivado desde el original el 5 de enero de 2013 Enlace externo en
|journal=
( ayuda ) . Un artículo importante que describe el enfoque abstracto de los autores de la teoría de las desigualdades variacionales. - Roubíček, Tomáš (2013), Ecuaciones diferenciales parciales no lineales con aplicaciones , ISNM. International Series of Numerical Mathematics, 153 (2.a ed.), Basel – Boston – Berlin: Birkhäuser Verlag , pp. Xx + 476, doi : 10.1007 / 978-3-0348-0513-1 , ISBN 978-3-0348-0512-4, MR 3014456 , Zbl 1270.35005.
- Stampacchia, Guido (1964), "Formes bilineaires coercitives sur les ensembles convexes" , Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences , 258 : 4413–4416, Zbl 0124.06401, disponible en Gallica . El artículo que contiene la generalización de Stampacchia del teorema de Lax-Milgram .
enlaces externos
- Panagiotopoulos, PD (2001) [1994], "Desigualdades variacionales" , Enciclopedia de las matemáticas , EMS Press
- Alessio Figalli, Sobre soluciones globales homogéneas al problema de Signorini ,