Dimensión de una variedad algebraica

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En matemáticas y específicamente en geometría algebraica , la dimensión de una variedad algebraica puede definirse de varias formas equivalentes.

Algunas de estas definiciones son de naturaleza geométrica, mientras que otras son puramente algebraicas y se basan en el álgebra conmutativa . Algunos están restringidos a variedades algebraicas mientras que otros se aplican también a cualquier conjunto algebraico . Algunos son intrínsecos, como independientes de cualquier incrustación de la variedad en un espacio afín o proyectivo , mientras que otros están relacionados con tal incrustación.

Sea K un campo y L ⊇ K una extensión algebraicamente cerrada. Un conjunto algebraico afín V es el conjunto de los ceros comunes en L ⁿ de los elementos de un ideal I en un anillo polinómico Sea el álgebra de las funciones polinómicas sobre V . La dimensión de V es cualquiera de los siguientes números enteros. No cambia si K se amplía, si L se reemplaza por otra extensión algebraicamente cerrada de K y si I${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$${\displaystyle A=R/I}$es reemplazado por otro ideal que tiene los mismos ceros (que tiene el mismo radical ). La dimensión también es independiente de la elección de las coordenadas; en otras palabras, no cambia si los x _i se reemplazan por combinaciones lineales linealmente independientes de ellos. La dimensión de V es

Esta definición generaliza una propiedad de la dimensión de un espacio euclidiano o un espacio vectorial . Por lo tanto, es probablemente la definición que da la descripción intuitiva más fácil de la noción.

Esta es la transcripción de la definición anterior en el lenguaje del álgebra conmutativa , siendo la dimensión de Krull la longitud máxima de las cadenas de ideales primos de A.${\displaystyle p_{0}\subset p_{1}\subset \ldots \subset p_{d}}$

Esta definición muestra que la dimensión es una propiedad local si es irreducible. ${\displaystyle V}$Si es irreducible, resulta que todos los anillos locales en puntos cerrados tienen la misma dimensión de Krull (ver ^[1] ).${\displaystyle V}$

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