En la teoría de anillos conmutativos , una rama de las matemáticas , el radical de un ideal es un ideal tal que un elemento está en el radical si y sólo si algún poder de es en (tomar el radical se llama radicalización ). Un ideal radical (o ideal semiprimo ) es un ideal que es igual a su propio radical. El radical de un ideal primario es un ideal primario.
Este concepto se generaliza a anillos no conmutativos en el artículo de anillo Semiprime .
Definición
El radical de un idealen un anillo conmutativo , denotado por o , Se define como
(tenga en cuenta que ). Intuitivamente, se obtiene tomando todas las raíces de los elementos de dentro del ring . Equivalentemente,es la preimagen del ideal de elementos nilpotentes (el nilradical ) en el anillo del cociente (a través del mapa natural ). Este último muestraes en sí mismo un ideal. [Nota 1]
Si el radical de se genera finitamente, entonces algo de poder de está contenido en . [1] En particular, si y son ideales de un anillo noetheriano , entonces y tienen el mismo radical si y solo si contiene algo de poder de y contiene algo de poder de .
Si un ideal coincide con su propio radical, entonces se llama ideal radical o ideal semiprimo .
Ejemplos de
- Considere el anillo de enteros .
- El radical del ideal de múltiplos enteros de es .
- El radical de es .
- El radical de es .
- En general, el radical de es , dónde es el producto de todos los factores primos distintos de, el factor libre de cuadrados más grande de(ver radical de un número entero ). De hecho, esto se generaliza a un ideal arbitrario (ver la sección de Propiedades ).
- Considere el ideal . Es trivial mostrar (usando la propiedad básica ), pero damos algunos métodos alternativos. [ aclaración necesaria ] El radicalcorresponde al nilradical del anillo del cociente , que es la intersección de todos los ideales primos del anillo del cociente. Esto está contenido en el radical de Jacobson , que es la intersección de todos los ideales máximos, que son los núcleos de los homomorfismos de los campos. Cualquier morfismo de anillo debe tener en el kernel para tener un morfismo bien definido (si dijéramos, por ejemplo, que el kernel debe ser La composición de sería que es lo mismo que intentar forzar ). Desde está algebraicamente cerrado, cada morfismo debe factorizar a través de , por lo que solo tenemos el cálculo de la intersección de para calcular el radical de Entonces encontramos que
Propiedades
Esta sección continuará la convención de que I es un ideal de un anillo conmutativo:
- Siempre es cierto que , es decir, la radicalización es una operación idempotente . Es más, es el ideal radical más pequeño que contiene .
- es la intersección de todos los ideales primordiales de que contienen y así el radical de un ideal primo es igual a sí mismo. Prueba: por un lado, todo ideal primo es radical, por lo que esta intersección contiene. Suponer es un elemento de que no esta en , y deja ser el set . Por la definición de, debe estar separado de . también se cierra multiplicativamente . Así, por una variante del teorema de Krull , existe un ideal primo eso contiene y todavía está disjunto de (ver ideal principal ). Desde contiene , pero no , esto muestra que no está en la intersección de ideales primarios que contienen . Esto termina la prueba. La afirmación puede reforzarse un poco: el radical de es la intersección de todos los ideales primordiales de que son mínimos entre los que contienen.
- Especializando el último punto, el nilradical (el conjunto de todos los elementos nilpotentes) es igual a la intersección de todos los ideales primos de[Nota 2]Esta propiedad se considera equivalente a la anterior a través del mapa natural. que produce una biyección :definido por [2] [Nota 3]
- Un ideal en un anillo es radical si y solo si el anillo del cociente se reduce .
- El radical de un ideal homogéneo es homogéneo.
- El radical de una intersección de ideales es igual a la intersección de sus radicales: .
- El radical de un ideal primario es primo. Si el radical de un ideal es máximo, entonces es primario. [3]
- Si es un ideal, . Dado que los ideales principales son ideales radicales, para cualquier ideal principal .
- Dejar ser ideales de un anillo . Sison comaximales , entoncesson comaximales. [Nota 4]
- Dejar ser un módulo finitamente generado sobre un anillo noetheriano . Entonces [4]dónde es el apoyo de y es el conjunto de primos asociados de.
Aplicaciones
La motivación principal en el estudio de los radicales es el Nullstellensatz de Hilbert en álgebra conmutativa . Una versión de este célebre teorema establece que para cualquier idealen el anillo polinomial sobre un campo algebraicamente cerrado , uno tiene
dónde
y
Geométricamente, esto dice que si una variedad es recortado por las ecuaciones polinomiales , entonces los únicos otros polinomios que desaparecen en son los que están en el radical del ideal .
Otra forma de decirlo: la composición. es un operador de cierre sobre el conjunto de ideales de un anillo.
Ver también
Notas
- ^ Aquí hay una prueba directa. Empezar con con algunos poderes . Para mostrar que, usamos el teorema del binomio (que se aplica a cualquier anillo conmutativo):
- ^ Para una prueba, vea la caracterización del nilradical de un anillo .
- ^ Este hecho también se conoce como cuarto teorema del isomorfismo .
- ^ Prueba: implica .
Citas
- ^ Atiyah – MacDonald 1969 , Proposición 7.14
- ^ Aluffi, Paolo (2009). Álgebra: Capítulo 0 . AMS. pag. 142. ISBN 978-0-8218-4781-7.
- ^ Atiyah – MacDonald 1969 , Proposición 4.2
- ^ Lang 2002 , Ch X, Proposición 2.10
Referencias
- M. Atiyah , IG Macdonald , Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley , 1994. ISBN 0-201-40751-5
- Eisenbud, David , Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, 150, Springer-Verlag, 1995, ISBN 0-387-94268-8 .
- Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556 , Zbl 0.984,00001