Momento en flujo de canal abierto
¿Qué es el impulso?
El momento para el flujo unidimensional en un canal puede estar dado por la expresión:
dónde: - M es el impulso [L 3 ]
- Q es la tasa de flujo [L 3 / s]
- g es la aceleración debida a la gravedad [L / T 2 ]
- A es el área de la sección transversal del flujo [L 2 ]
- ȳ es la distancia desde el centroide de A a la superficie del agua [L]
Para los cálculos de flujo de canal abierto donde se puede suponer que se conserva la cantidad de movimiento , como en un salto hidráulico, nosotros [ ¿quién? ] puede equiparar el Momentum en una ubicación aguas arriba, M 1 , con el de una ubicación aguas abajo, M 2 , de manera que:
Momento en un canal rectangular
En la circunstancia única en la que el flujo está en un canal rectangular (como un canal de laboratorio), podemos describir esta relación como unidad de momento , dividiendo ambos lados de la ecuación por el ancho del canal. Esto produce u M en términos de ft 2 , y viene dado por la ecuación:
dónde: - u M es M / b [L 2 ]
- q es Q / b [L 2 / T]
- b es el ancho de la base del canal rectangular [L]
¿Por qué es importante el impulso en el flujo de canal abierto?
Momentum es una de las definiciones básicas más importantes en Mecánica de Fluidos . La conservación del impulso es uno de los tres principios físicos fundamentales tanto en Mecánica de Fluidos como en [Flujo en canal abierto | flujo de canal abierto] (los otros dos son conservación de masa y conservación de energía). Este principio conduce a la ecuación de la cantidad de movimiento establecida en tres dimensiones (x, y y z). Con diferentes supuestos, estas ecuaciones de momento se pueden simplificar a varias formas ampliamente aplicadas:
Con la segunda ley de Newton , el supuesto de los fluidos newtonianos y la hipótesis de Stokes, las ecuaciones originales del momento de los fluidos se derivan como las ecuaciones de Navier-Stokes . Estas ecuaciones son clásicas en Mecánica de Fluidos, pero la no linealidad en estas ecuaciones diferenciales parciales las hace difíciles de resolver matemáticamente. Como resultado, las soluciones analíticas para las ecuaciones de Navier-Stokes siguen siendo un tema de investigación difícil.
Para un flujo de alto número de Reynolds, los efectos de la viscosidad son insignificantes. En estos casos, con el supuesto no viscoso, las ecuaciones de Navier-Stokes se pueden derivar como ecuaciones de Euler . Aunque todavía son ecuaciones diferenciales parciales no lineales, la eliminación de términos viscosos simplifica el problema.
En algunas aplicaciones, cuando se puede despreciar la viscosidad, la rotacionalidad y la compresibilidad del fluido, las ecuaciones de Navier-Stokes se pueden simplificar aún más a la forma de la ecuación de Laplace, que se conoce como flujo potencial .
En dinámica de fluidos computacional , resolver las ecuaciones de momento diferencial parcial mencionadas anteriormente con ecuaciones algebraicas discretizadas es el procedimiento más importante para estudiar las características del flujo en diferentes aplicaciones.
Momentum también nos permite describir las características del flujo cuando la energía no se conserva. HEC-RAS , un modelo informático ampliamente utilizado desarrollado por el Cuerpo de Ingenieros del Ejército de EE. UU. Para calcular los perfiles de la superficie del agua, considera que cuando el flujo pasa a través de una profundidad crítica, la suposición básica de flujo variable gradualmente requerido para la ecuación de energía no es aplicable. Los lugares donde el flujo puede hacer tal transición incluyen: cambios significativos en la pendiente, geometría del canal (por ejemplo, secciones de puentes), estructuras de control de pendiente y la confluencia de cuerpos de agua. En estos casos, HEC-RAS utilizará una forma de la ecuación del momento para resolver la elevación de la superficie del agua en una ubicación desconocida.
Además, el flujo de impulso es uno de los parámetros para estimar el impacto de los fluidos en las estructuras costa afuera. El análisis del flujo de impulso en las regiones costeras puede proporcionar una planificación aconsejable del diseño de la infraestructura para minimizar los peligros potenciales de eventos extremos como marejadas ciclónicas, huracanes y tsunamis (por ejemplo, (Park et al. 2013), (Yeh 2006), (Guard et al. 2005). ) y (Chanson et al. 2002)).
¿Cuáles son las características del impulso?
Para la discusión, consideraremos un canal rectangular ideal, sin fricción . Para cada valor de q, se puede producir una curva única donde M se muestra en función de la profundidad. Como es el caso de la energía específica, el valor mínimo de u M, u M min , corresponde a la profundidad crítica . Para cada valor de u M mayor que u M min , hay dos profundidades que pueden ocurrir. Estos se denominan profundidades conjugadas y representan alternativas supercríticas y subcríticas para el flujo de una uM dada . Dado que los saltos hidráulicos conservan el momento, si se conoce la profundidad en el extremo aguas arriba o aguas abajo de un salto hidráulico, podemos determinar la profundidad desconocida dibujando una línea vertical a través de la profundidad conocida y leyendo su conjugado. El diagrama My a continuación muestra tres curvas My con descarga unitaria de 10, 15 y 20 pies 2 / s. Se puede observar que las curvas My se desplazan en el eje M positivo a medida que aumenta el valor de q. De la ecuación My mencionada anteriormente, a medida que y aumenta hasta el infinito, el término q 2 / gy 1 sería despreciable y el valor M convergerá a 0.5y 2 (mostrado como la curva de trazos negros en Mi diagrama). Tomando la derivada dM / dy = 0, también podemos obtener la ecuación de M mínimo con diferentes valores de q:
Al eliminar el término de q en la ecuación anterior con la relación entre q y y c (y c = (q 2 / g) 1/3 ), y poner la ecuación resultante de y en la ecuación original My ccg3 c, podemos obtenga la curva característica de M e y críticos (mostrada como la curva de trazos rojos en Mi diagrama):
Diagrama adimensional M'-y '
¿Por qué necesitamos una relación adimensional impulso-profundidad?
Las profundidades conjugadas se pueden determinar a partir de curvas como la anterior. Sin embargo, dado que esta curva es única para q = 20 pies 2 / s, tendríamos que desarrollar una nueva curva para cada canal rectangular de un ancho de base dado (o descarga). Si podemos establecer una relación adimensional, podemos aplicar la curva a cualquier problema en el que la sección transversal sea de forma rectangular. Para crear una relación adimensional momento-profundidad, dividiremos ambos lados por un valor de normalización que nos permitirá usar una relación adimensional entre momento y profundidad para todos los valores de q .
Derivación de la relación adimensional momento-profundidad
Dado que:
y eso:
De acuerdo con el teorema π de Buckingham , con el análisis dimensional, podemos normalizar la relación entre profundidad y Momentum dividiendo ambos por el valor de la profundidad crítica al cuadrado y sustituyendo por q 2 para obtener:
dónde: - y c es la profundidad crítica.
Si dejamos M '= u M / y c 2 , y y' = y / y c , esta ecuación se convierte en:
El diagrama adimensional de la cantidad de movimiento y la profundidad
Al aplicar la conversión a unidades adimensionales descrita anteriormente, a continuación se produce el diagrama de cantidad de movimiento adimensional-profundidad.
¿Cuál es la relación entre el diagrama adimensional de momento-profundidad y el diagrama adimensional de energía-profundidad?
Por la inspección cercana de la dnergy profundidad adimensional diagrama, una conclusión interesante se puede extraer, que es que M 'es la misma función de y' como E 'es de 1 / y', y viceversa. Esto se demuestra en la siguiente tabla que se compara favorablemente con la tabla del diagrama de profundidad y energía sin dimensiones . Tenga en cuenta que la única diferencia entre el gráfico anterior y el siguiente es que los valores del eje y son recíprocos entre sí y que la escala se ha cambiado para que sea coherente con la escala que se encuentra en la discusión de Dimensionless Energy-Depth .
Debido a que la Energía y el Momento tienen esta relación recíproca (que se encuentra también en las formas adimensionales de estas relaciones), podemos usar un Diagrama de Profundidad-Energía Adimensional para crear un diagrama de profundidad-momento adimensional, y viceversa.
Solución de versión simple de salto hidráulico con diagrama adimensional
Para demostrar el uso de un diagrama adimensional de momento-profundidad en la solución de un problema de salto hidráulico simple (el salto hidráulico también es muy común en otras situaciones. Consideremos un canal rectangular con un ancho de base de 10 pies y un caudal de 100 ft 3 / s, con una profundidad aguas abajo inducida por el agua de cola de 6 pies. ¿Cuál es la profundidad del flujo en el extremo aguas arriba del salto hidráulico?
Paso 1 - Calcule q:
Paso 2 - Calcula y c :
(los cálculos de notas se muestran con 3 decimales para reducir los errores de redondeo en el paso 6 ) |
Paso 3 - Calcule y 'para la profundidad corriente abajo:
Paso 4 - Determine la profundidad adimensional conjugada a partir de la tabla:
Usando el gráfico sin dimensiones presentado anteriormente, grafique y '= 4.11 en su intersección con la curva M'. Lea la tabla para encontrar la profundidad conjugada y determine la nueva y 'desde el eje izquierdo.
Paso 5 - Calcule la profundidad corriente arriba (conjugada) a 6 pies convirtiendo y '= 0.115 a su profundidad real:
Paso 6 - Validación:
y
La diferencia entre u M u y u M d se muestra como 0.18 pies 2 debido a errores de redondeo. Por lo tanto, se muestra que u M u y u M d representan la misma unidad de impulso a lo largo del salto y se conserva el impulso, validando los cálculos utilizando el gráfico adimensional anterior.
Esta contribución al tema se realizó en cumplimiento parcial de los requisitos para el curso de Virginia Tech, Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental: CEE 5984 - Flujo de canal abierto durante el semestre de otoño de 2010.
Solución de salto hidráulico con compuerta
El siguiente ejemplo de un salto hidráulico en la salida de una compuerta dará una idea clara de cómo se aplican la conservación de la energía y la conservación del impulso en el flujo de un canal abierto.
Como se muestra en el panel central en el diagrama esquemático, en un canal rectangular, el flujo aguas arriba profundo (posición 1) encuentra una compuerta en frente de la posición 2. Una compuerta impone una disminución en la profundidad del flujo en la posición 2, y se forma un salto hidráulico entre la posición 2 y aguas abajo donde la profundidad del flujo aumenta nuevamente (posición 3). El panel izquierdo en la Figura 2 muestra el diagrama My de estas 3 posiciones (el impulso también se conoce como otras definiciones en diferentes referencias, por ejemplo, "Fuerza específica" en (Chaudhry 2008)), mientras que el panel derecho en el diagrama esquemático muestra el diagrama Ey para estas 3 posiciones. La pérdida de energía se puede despreciar entre la posición 1 y 2 (por ejemplo, asumiendo la conservación de la energía), pero el empuje externo en la puerta causa una pérdida de impulso significativa. Por el contrario, entre las posiciones 2 y 3, la turbulencia en el salto hidráulico disipa energía, mientras que se puede suponer que se conserva el impulso. Si conocemos la descarga unitaria como q = 10 pies 2 / sy la profundidad del flujo en la posición 1 como y 1 = 8.0 pies, aplicando conservación de energía entre las posiciones 1 y 2 y conservación de la cantidad de movimiento entre 2 y 3, las profundidades del flujo en la posición Se pueden calcular 2 (y 2 ) y 3 (y 3 ).
Aplicando conservación de energía entre la posición 1 y 2:
Aplicando la conservación del impulso entre las posiciones 2 y 3:
Además, también podemos obtener el empuje de la compuerta:
(El ejemplo anterior proviene del curso "Open Channel Flow" del Dr. Moglen (CEE5384) en Virginia Tech, EE. UU.)
Referencias
- Brunner, GW, HEC-RAS, Manual de referencia hidráulica del sistema de análisis de ríos (CPD-69), Cuerpo de ingenieros del ejército de EE. UU., Centro de ingeniería hidrológica, 2010.
- Chanson, H., Aoki, S.-i. & Maruyama, M. (2002), 'Un estudio experimental de la llegada de tsunamis en costas horizontales secas y húmedas', Science of Tsunami Hazards 20 (5), 278-293.
- Chaudhry, MH, Open-Channel Flow (segunda edición), Springer Science + Business Media, llc, 2008.
- Francés, RH, Hidráulica de canal abierto, McGraw-Hill, Inc., 1985.
- Guard, P., Baldock, T. & Nielsen, P. (2005), Soluciones generales para la preparación inicial de un frente de tsunami que se rompe, en 'Simposio internacional sobre reducción de desastres en las costas', Universidad de Monash, págs. 1-8 .
- Henderson, FM, flujo de canal abierto, Prentice-Hall, 1966.
- Janna, WS, Introducción a la mecánica de fluidos, PWS-Kent Publishing Company, 1993.
- Linsey, RK, Franzini, JB, Freyberg, DL, Tchobanoglous, G., Water-Resources Engineering (cuarta edición), McGraw-Hill, Inc., 1992.
- Park, H., Cox, DT, Lynett, PJ, Wiebe, DM & Shin, S. (2013), 'Modelo de inundación de tsunamis en entornos construidos: una comparación física y numérica de la elevación, la velocidad y el momento de la superficie libre flux ', Coastal Engineering 79, 9-21.
- Yeh, H. (2006), 'Fuerzas máximas de fluidos en la zona de ejecución de tsunamis', Journal of waterway, port, costero y oceanográfico 132 (6), 496–500.