En la física clásica , el momento es el producto de la masa y la velocidad y es una cantidad vectorial, pero en la mecánica de fluidos se trata como una cantidad longitudinal (es decir, una dimensión) evaluada en la dirección del flujo. Además, se evalúa como momento por unidad de tiempo, correspondiente al producto del caudal másico y la velocidad, y por lo tanto tiene unidades de fuerza. Las fuerzas de impulso consideradas en el flujo de canal abierto son la fuerza dinámica, que depende de la profundidad y el caudal, y la fuerza estática, que depende de la profundidad, ambas afectadas por la gravedad .
El principio de conservación de la cantidad de movimiento en el flujo de un canal abierto se aplica en términos de fuerza específica o función de la cantidad de movimiento; que tiene unidades de longitud al cubo para cualquier forma de sección transversal, o puede tratarse como longitud al cuadrado en el caso de canales rectangulares. Aunque no sea técnicamente correcto, el término impulso se utilizará para reemplazar el concepto de función de impulso. La ecuación de profundidad conjugada, que describe las profundidades a cada lado de un salto hidráulico , se puede derivar de la conservación del impulso en canales rectangulares, según la relación entre el impulso y la profundidad del flujo. El concepto de impulso también se puede aplicar para evaluar la fuerza de empuje en una compuerta, un dispositivo que conserva energía específica pero pierde impulso.
Derivación de la ecuación de la función de momento a partir del equilibrio de momento-fuerza
En dinámica de fluidos, el equilibrio momento-fuerza sobre un volumen de control viene dado por:
Dónde:
- M = impulso por unidad de tiempo (ML / t 2 )
- F w = fuerza gravitacional debida al peso del agua (ML / t 2 )
- F f = fuerza debida a la fricción (ML / t 2 )
- F P = fuerza de presión (ML / t 2 )
- los subíndices 1 y 2 representan ubicaciones aguas arriba y aguas abajo, respectivamente
- Unidades: L = longitud, t = tiempo, M = masa
Aplicando el equilibrio momento-fuerza en la dirección del flujo, en un canal horizontal (es decir, F w = 0) y despreciando la fuerza de fricción (lecho y paredes lisas del canal):
Sustituyendo los componentes del momento por unidad de tiempo y fuerza de presión (con sus respectivas direcciones positivas o negativas):
La ecuación se convierte en:
Dónde:
- = caudal másico (M / t)
- ρ = densidad del fluido (M / L 3 )
- Q = caudal o descarga en el canal (L 3 / t)
- V = velocidad de flujo (L / t)
- = presión media (M / Lt 2 )
- A = área de flujo en sección transversal (L 2 )
- los subíndices 1 y 2 representan ubicaciones aguas arriba y aguas abajo, respectivamente
- Unidades: L (largo); t (tiempo); M (masa)
La distribución de la presión hidrostática tiene una forma triangular desde la superficie del agua hasta el fondo del canal (Figura 1). La presión promedio se puede obtener de la integral de la distribución de presión:
Dónde:
- y = profundidad de flujo (L)
- g = constante gravitacional (L / t 2 )
Aplicando la ecuación de continuidad:
Para el caso de canales rectangulares (es decir, de ancho constante "b"), el caudal, Q, puede ser reemplazado por la unidad de descarga q, donde q = Q / b, que produce:
Y por lo tanto:
Dividiendo el lado izquierdo y derecho de la ecuación de momento-fuerza por el ancho del canal y sustituyendo las relaciones anteriores:
- los subíndices 1 y 2 representan ubicaciones aguas arriba y aguas abajo, respectivamente.
Dividiendo por ρg:
Separando las variables en función de los lados del salto:
En la relación anterior ambos lados corresponden a la fuerza específica , o la función de impulso por la anchura del canal, también llamado M unidad .
Esta ecuación solo es válida en ciertas circunstancias únicas, como en un canal de laboratorio , donde el canal es verdaderamente rectangular y la pendiente del canal es cero o pequeña. Cuando este es el caso, es posible suponer que se aplica una distribución de presión hidrostática . La unidad M se expresa en unidades de L 2 . Si se conoce el ancho del canal, la fuerza específica total (L 3 ) en un punto se puede determinar multiplicando la unidad M por el ancho, b.
Saltos hidráulicos y conservación de impulso
La figura 2 muestra un salto hidráulico . Un salto hidráulico es una región de flujo rápidamente variado y se forma en un canal cuando un flujo supercrítico pasa a ser subcrítico . [1] Este cambio en el tipo de flujo se manifiesta como un cambio abrupto en la profundidad del flujo desde el flujo supercrítico menos profundo y de movimiento más rápido hasta el flujo subcrítico más profundo y de movimiento más lento. Suponiendo que no hay fuerzas de arrastre adicionales, se conserva el impulso.
Un salto hace que la superficie del agua se eleve abruptamente y, como resultado, se forman rodillos en la superficie, se produce una mezcla intensa, se arrastra aire y, por lo general, se disipa una gran cantidad de energía. Por estas razones, en los sistemas de ingeniería a veces se fuerza un salto hidráulico en un intento de disipar la energía del flujo, mezclar productos químicos o actuar como un dispositivo de aireación . [2] [3]
La ley de conservación de la cantidad de movimiento establece que la cantidad de movimiento total de un sistema cerrado de objetos (que no tiene interacciones con agentes externos) es constante. [4] A pesar de que hay una pérdida de energía, aún se conserva el impulso a través de un salto hidráulico. Esto significa que la profundidad del flujo a cada lado del salto tendrá el mismo impulso, y de esta manera, si se conoce el impulso y la profundidad del flujo a cada lado del salto, es posible determinar la profundidad en el otro lado del salto. el salto. Estas profundidades emparejadas se conocen como profundidades secuenciales o profundidades conjugadas . Esto último es válido a menos que el salto sea causado por una fuerza externa o una influencia externa.
El cuadro verde en la Figura 2 representa el volumen de control que encierra el sistema de salto y muestra las principales fuerzas de presión sobre el sistema (F P1 y F P2 ). Como este sistema se considera horizontal (o casi horizontal) y sin fricción, se desprecian las componentes horizontales de la fuerza que normalmente existen debido a la fricción (F f ) y al peso del agua de un canal inclinado (F w ). Vale la pena señalar que la pendiente de las distribuciones triangulares de presión hidrostática en cada ubicación corresponde al peso específico del agua (γ), que tiene unidades de (m / L 2 t 2 )
El Mi diagrama
Un diagrama My es un gráfico de la profundidad del flujo (y) frente al momento (M). En este caso M no se refiere a la cantidad de movimiento (M / Lt 2 ), sino a la función de la cantidad de movimiento (L 3 o L 2 ). Esto produce una curva de impulso específica que se genera calculando el impulso para un rango de valores de profundidad y graficando los resultados. Cada curva My es única para un caudal específico , Q, o unidad de descarga, q. La cantidad de movimiento en el eje x de la gráfica puede tener unidades de longitud 3 (cuando se usa la ecuación de la función de cantidad de movimiento general) o unidades de longitud 2 (cuando se usa la ecuación de unidad de forma rectangular M ). En un canal rectangular de ancho unitario, se traza una curva My usando:
La Figura 3 muestra un ejemplo de diagrama My que muestra los gráficos de cuatro curvas de impulso específicas. Cada una de estas curvas corresponde a una q específica como se indica en la figura. A medida que aumenta la descarga de la unidad, la curva se desplaza hacia la derecha.
Mis diagramas pueden proporcionar información sobre las características y el comportamiento de una determinada descarga en un canal. En primer lugar, un diagrama My mostrará qué profundidades de flujo corresponden a un flujo supercrítico o subcrítico para una descarga determinada , además de definir la profundidad crítica y el momento crítico de un flujo. Además, Mis diagramas pueden ayudar a encontrar profundidades de flujo conjugadas que tengan la misma función específica de fuerza o momento, como en el caso de las profundidades de flujo a ambos lados de un salto hidráulico . Se puede crear y utilizar una forma adimensional del diagrama My que representa la descarga de cualquier unidad en lugar de las curvas My particulares que se analizan aquí y a las que se hace referencia en la Figura 3.
Flujo crítico
Un flujo se denomina crítico si la velocidad total del flujoes igual a la velocidad de propagación de una onda de gravedad poco profunda . [1] [5] En flujo crítico, la energía específica y el momento específico (fuerza) son mínimos para una descarga determinada. [1] La Figura 4 muestra esta relación mostrando una curva de energía específica (diagrama Ey) lado a lado con su correspondiente curva de momento específico (diagrama Mi) para una descarga unitaria q = 10 pies 2 / s. La línea verde en estas figuras cruza las curvas en el valor mínimo del eje x que exhibe cada curva. Como se señaló, ambas intersecciones ocurren a una profundidad de aproximadamente 1,46 pies, que es la profundidad de flujo crítica para las condiciones específicas en el canal dado. Esta profundidad crítica representa la profundidad de transición en el canal donde el flujo cambia de flujo supercrítico para flujo subcrítico o viceversa.
En un canal rectangular, la profundidad crítica (y c ) también se puede encontrar matemáticamente usando la siguiente ecuación:
Dónde:
- g = constante gravitacional (L / t 2 )
- q = caudal unitario o descarga: para un canal rectangular, descarga por unidad de ancho de canal (L 2 / t)
Flujo supercrítico versus flujo subcrítico en un diagrama My
Como se mencionó anteriormente, un diagrama My puede proporcionar una indicación de la clasificación de flujo para una profundidad y descarga determinadas. Cuando el flujo no es crítico, se clasifica como subcrítico o supercrítico . Esta distinción se basa en el número de Froude del flujo, que es la relación entre la velocidad total (V) y la velocidad de propagación de una onda poco profunda:. [5] La ecuación genérica del número de Froude se expresa en términos de gravedad (g), velocidad del flujo (V) y profundidad hidráulica (A / B), donde (A) representa el área de la sección transversal y (B) la ancho superior. Para canales rectangulares, esta relación es igual a la profundidad del flujo (y).
Un número de Froude mayor que uno es supercrítico y un número de Froude menor que uno es subcrítico . En general, los flujos supercríticos son poco profundos y rápidos y los subcríticos son profundos y lentos. Estas diferentes clasificaciones de flujo también se representan en los diagramas My donde diferentes regiones del gráfico representan diferentes tipos de flujo. La Figura 5 muestra estas regiones, con una curva de impulso específica correspondiente a aq = 10 pies 2 / s. Como se indicó anteriormente, el flujo crítico está representado por el impulso mínimo que existe en la curva (línea verde). Los flujos supercríticos corresponden a cualquier punto en la curva de impulso que tiene una profundidad menor que la profundidad crítica con flujos subcríticos que tienen una profundidad mayor que la profundidad crítica. [6]
Profundidades conjugadas en un canal rectangular
Las profundidades conjugadas o consecutivas son las profundidades emparejadas que resultan aguas arriba y aguas abajo de un salto hidráulico, siendo el flujo aguas arriba supercrítico y subcrítico el flujo aguas abajo. Las profundidades conjugadas se pueden encontrar gráficamente usando una curva de momento específica o algebraicamente con un conjunto de ecuaciones. Debido a que la cantidad de movimiento se conserva sobre un salto hidráulico, las profundidades conjugadas tienen una cantidad de movimiento equivalente, y dada una descarga, la conjugada a cualquier profundidad de flujo se puede determinar con un diagrama My (Figura 6).
Una línea vertical que cruza la curva My dos veces (es decir, condiciones de flujo no críticas) representa las profundidades en lados opuestos de un salto hidráulico. Dado un impulso suficiente (impulso mayor que el flujo crítico), existe un par de profundidad conjugado en cada punto donde la línea vertical se cruza con la curva My. La Figura 6 ejemplifica este comportamiento con un impulso de 10 pies 2 para una unidad de descarga de 10 pies 2 / s. Esta línea de impulso cruza la curva My a profundidades de 0.312 (y 1 ) y 4.31 pies (y 2 ). La profundidad y 1 corresponde a la profundidad supercrítica aguas arriba del salto y la profundidad y 2 corresponde a la profundidad subcrítica aguas abajo del salto.
Las profundidades conjugadas también se pueden calcular utilizando el número de Froude y la profundidad del flujo supercrítico o subcrítico . Las siguientes ecuaciones se pueden utilizar para determinar la profundidad conjugada a una profundidad conocida en un canal rectangular:
Derivación de la ecuación de profundidad conjugada para un canal rectangular
Comience con la función de conservación de la cantidad de movimiento, para canales rectangulares:
Dónde:
- q = caudal por unidad de ancho de canal (L 2 / t)
- g = constante gravitacional (L / t 2 )
- y = profundidad de flujo (L)
- los subíndices 1 y 2 representan ubicaciones aguas arriba y aguas abajo, respectivamente.
Aísle los términos q 2 en un lado del signo igual con el términos en el otro lado:
Factoriza los términos constantes q 2 / gy 1/2:
Combine los términos de profundidad en el lado izquierdo y expanda el cuadrático en el lado derecho:
Dividido por :
Recuerde de la continuidad en un canal rectangular que:
Sustituir en el lado izquierdo de la ecuación para q:
Dividido por :
Dividido por y reconocer que el lado izquierdo ahora es igual a F r1 2 :
Reorganice y establezca la ecuación igual a cero:
Para facilitar el siguiente paso, deje , y la ecuación anterior se convierte en:
Resolver usando la ecuación cuadrática con, , y -F r1 2 :
Extraiga 1/4 del interior de la raíz cuadrada:
Concéntrese en la raíz con el segundo término positivo:
Factor las (Y 1 /2) términos:
Lo anterior es la ecuación de profundidad conjugada en un canal rectangular y se puede usar para encontrar la profundidad subcrítica o supercrítica a partir de condiciones conocidas, ya sea aguas arriba (y 1 , F r1 ) o aguas abajo (y 2 , F r2 ).
Una nota sobre profundidades conjugadas versus profundidades alternativas
Es importante no confundir las profundidades conjugadas (entre las que se conserva el impulso) con las profundidades alternas (entre las que se conserva la energía). En el caso de un salto hidráulico, el flujo experimenta una cierta cantidad de pérdida de carga de energía de modo que el flujo subcrítico aguas abajo del salto contiene menos energía que el flujo supercrítico aguas arriba del salto. Las profundidades alternas son válidas sobre los dispositivos de conservación de energía, como las compuertas, y las profundidades conjugadas son válidas sobre los dispositivos de conservación de impulso, como los saltos hidráulicos .
Aplicación de la ecuación de la función de momento para evaluar la fuerza de empuje en una compuerta
La ecuación de la cantidad de movimiento se puede aplicar para determinar la fuerza ejercida por el agua sobre una compuerta (Figura 7). Contrariamente a la conservación de la energía del fluido cuando un flujo se encuentra con una compuerta, el impulso corriente arriba y corriente abajo de la compuerta no se conserva. La fuerza de empuje ejercida por el agua sobre una compuerta colocada en un canal rectangular se puede obtener de la siguiente ecuación, que se puede derivar de la misma manera que la ecuación de conservación del momento para canales rectangulares:
Dónde:
- F compuerta de empuje = fuerza ejercida por el agua sobre la compuerta de esclusa (ML / t 2 )
- γ = peso específico del agua (M / L 2 t 2 )
- Δ M unidad = diferencia en la cantidad de movimiento por unidad de ancho entre los lados aguas arriba y aguas abajo de la compuerta (L 2 ).
Ejemplo
El agua fluye a través de un canal rectangular liso y sin fricción a una velocidad de 100,0 cfs. El ancho del canal es de 10.0 pies. Se midió que la profundidad del flujo aguas arriba de la compuerta de esclusa era de 16.3 pies con profundidades alternas correspondientes de 0.312 pies. La temperatura del agua se midió en 70 ° F. ¿Cuál es la fuerza de empuje sobre la puerta?
Aplicando la ecuación de impulso por unidad de ancho a las ubicaciones aguas arriba y aguas abajo, respectivamente:
y
El peso específico del agua a 70 ° F es 62.30 . La fuerza de empuje neta resultante sobre la compuerta es:
Referencias
- ↑ a b c Henderson, FM (1966). Flujo de canal abierto, MacMillan Publishing Co., Inc., Nueva York, NY.
- ^ Chaudhry, MH (2008). Flujo de canal abierto, Springer Science + Business Media, LLC, Nueva York, NY.
- ^ Sturm, TW (2010). Hidráulica de canal abierto, McGraw-Hill, Nueva York, NY.
- ^ Finnemore, EJ y Franzini, JB (2002). Mecánica de fluidos con aplicaciones de ingeniería, McGraw-Hill, Nueva York, NY.
- ↑ a b Chow, VT (1959). Hidráulica de canal abierto, McGraw-Hill, Nueva York, NY.
- ^ Francés, RH (1985). Hidráulica de canal abierto, McGraw-Hill Nueva York, NY.