En las matemáticas de los juegos combinatorios , la suma o suma disyuntiva de dos juegos es un juego en el que los dos juegos se juegan en paralelo, y cada jugador puede moverse en solo uno de los juegos por turno. El juego de suma finaliza cuando no quedan movimientos en ninguno de los dos juegos paralelos, momento en el que (en el juego normal ) gana el último jugador en mover. Esta operación puede extenderse a sumas disyuntivas de cualquier número de juegos, nuevamente jugando los juegos en paralelo y moviéndose exactamente en uno de los juegos por turno. Es la operación fundamental que se utiliza en el teorema de Sprague-Grundy para juegos imparciales y que condujo al campo de la teoría de juegos combinatorios.para juegos partidistas .
Aplicación a juegos comunes
Las sumas disyuntivas surgen en juegos que, naturalmente, se dividen en componentes o regiones que no interactúan excepto en que cada jugador por turno debe elegir solo un componente para jugar. Ejemplos de tales juegos son Go , Nim , Sprouts , Domineering , el Juego del Amazonas y los juegos de colorear mapas .
En tales juegos, cada componente se puede analizar por separado para simplificaciones que no afecten su resultado o el resultado de su suma disyuntiva con otros juegos. Una vez realizado este análisis, los componentes se pueden combinar tomando la suma disyuntiva de dos juegos a la vez, combinándolos en un solo juego con el mismo resultado que el juego original.
Matemáticas
La operación de suma fue formalizada por Conway (1976) . Es una operación conmutativa y asociativa : si se combinan dos juegos, el resultado es el mismo independientemente del orden en que se combinen, y si se combinan más de dos juegos, el resultado es el mismo independientemente de cómo se agrupen.
La negación - G de un juego G (el juego formado al intercambiar los roles de los dos jugadores) forma un inverso aditivo bajo sumas disyuntivas: el juego G + - G es un juego de cero (ganado por quien va segundo) usando un simple eco estrategia en la que el segundo jugador copia repetidamente el movimiento del primer jugador en el otro juego. Para dos juegos cualesquiera G y H , el juego H + G + - G tiene el mismo resultado que el propio H (aunque puede tener un conjunto mayor de movimientos disponibles).
Con base en estas propiedades, se puede pensar que la clase de juegos combinatorios tiene la estructura de un grupo abeliano , aunque con una clase adecuada de elementos en lugar de (como es más estándar para los grupos) un conjunto de elementos. Para una subclase importante de los juegos llamados números surrealistas , existe un operador de multiplicación que extiende este grupo a un campo .
Para juegos de juego de misère imparcial , se puede desarrollar una teoría análoga de sumas, pero con menos de estas propiedades: estos juegos forman un monoide conmutativo con un solo elemento invertible no trivial, llamado estrella ( * ), de orden dos.
Referencias
- John Horton Conway (1976), Sobre números y juegos , Academic Press.