En matemáticas , una serie geométrica infinita de la forma
es divergente si y solo si | r | ≥ 1 . Los métodos para la suma de series divergentes a veces son útiles y, por lo general, evalúan series geométricas divergentes a una suma que concuerda con la fórmula del caso convergente.
Esto es cierto para cualquier método de suma que posea las propiedades de regularidad, linealidad y estabilidad .
Ejemplos de
En orden creciente de dificultad para sumar:
- 1 - 1 + 1 - 1 + · · · , cuya razón común es −1
- 1-2 + 4-8 + · · · , cuya razón común es −2
- 1 + 2 + 4 + 8 + · · · , cuya razón común es 2
- 1 + 1 + 1 + 1 + · · · , cuya razón común es 1.
Motivación para estudiar
Es útil averiguar qué métodos de suma producen la fórmula de la serie geométrica para qué razones comunes. Una aplicación para esta información es el llamado principio de Borel-Okada : si un método de suma regular suma Σ z n a 1 / (1 - z ) para todo z en un subconjunto S del plano complejo , dadas ciertas restricciones en S , entonces el método también da la continuación analítica de cualquier otra función f ( z ) = Σ a n z n en la intersección de S con la estrella de Mittag-Leffler para f . [1]
Summability por región
Disco de unidad abierto
La suma ordinaria solo tiene éxito para las proporciones comunes | z | <1.
Disco de unidad cerrado
Discos más grandes
Medio plano
La serie es Borel sumable para cada z con la parte real <1. Cualquiera de tales serie también es sumable por el método de Euler generalizada (E, un ) para apropiado una .
Plano sombreado
Ciertos métodos de constante de momento además de la suma de Borel pueden sumar la serie geométrica en toda la estrella de Mittag-Leffler de la función 1 / (1 - z ), es decir, para todo z excepto el rayo z ≥ 1. [2]
En todas partes
Notas
Referencias
- Korevaar, Jacob (2004). Teoría tauberiana: un siglo de desarrollos . Saltador. ISBN 3-540-21058-X.
- Moroz, Alexander (1991). "Teoría cuántica de campos como problema de reanimación". arXiv : hep-th / 9206074 .