Series geométricas

En matemáticas , una serie geométrica es la suma de un número infinito de términos que tienen una razón constante entre términos sucesivos. Por ejemplo, la serie

es geométrico, porque cada término sucesivo se puede obtener multiplicando el término anterior por 1/2. En general, una serie geométrica se escribe como a + ar + ar 2 + ar 3 + ..., donde a es el coeficiente de cada término yr es la razón común entre términos adyacentes. Las series geométricas se encuentran entre los ejemplos más simples de series infinitas y pueden servir como una introducción básica a las series de Taylor y Fourier . Las series geométricas tuvieron un papel importante en el desarrollo temprano del cálculo., se utilizan en todas las matemáticas y tienen aplicaciones importantes en física , ingeniería , biología , economía , informática , teoría de colas y finanzas .

La distinción entre una progresión y una serie es que una progresión es una secuencia, mientras que una serie es una suma.

La serie geométrica a + ar + ar 2 + ar 3 + ... se escribe en forma expandida. [1] Todos los coeficientes de la serie geométrica son iguales. En contraste, las series de potencia escriben como un 0 + un 1 r + un 2 r 2 + un 3 r 3 + ... en forma expandida tiene coeficientes de un i que puede variar de término a término. En otras palabras, la serie geométrica es un caso especial.de la serie de potencias. El primer término de una serie geométrica en forma expandida es el coeficiente a de esa serie geométrica.

Además de la forma expandida de la serie geométrica, existe una forma generadora [1] de la serie geométrica escrita como

La derivación de la forma cerrada a partir de la forma expandida se muestra en la sección Suma de este artículo . La derivación requiere que todos los coeficientes de la serie sean iguales (coeficiente a) para aprovechar la auto-semejanza y reducir el número infinito de adiciones y operaciones de potencia en la forma expandida a la resta simple y división simple en la forma expandida. forma cerrada. Sin embargo, incluso sin que la derivación, el resultado puede ser confirmado con la división larga : un dividido por (1 - r ) resulta en un + ar + ar 2 + ar 3 + ..., que es la forma expandida de la serie geométrica.

La serie geométrica 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ... se muestra como áreas de cuadrados violetas. Cada uno de los cuadrados morados tiene 1/4 del área del siguiente cuadrado más grande ( 1/2 × 1/2 = 1/4, 1/4 × 1/4 = 1/16, etc.). La suma de las áreas de los cuadrados morados es un tercio del área del cuadrado grande.
Otra serie geométrica (coeficiente a = 4/9 y razón común r = 1/9) mostrada como áreas de cuadrados violetas. El área púrpura total es S = a / (1 - r ) = (4/9) / (1 - (1/9)) = 1/2, lo cual se puede confirmar al observar que el cuadrado exterior está dividido en un infinito. número de áreas en forma de L, cada una con cuatro cuadrados violetas y cuatro cuadrados amarillos, que es mitad violeta.
Los primeros nueve términos de la serie geométrica 1 + r + r 2 + r 3 ... dibujados como funciones (coloreadas en el orden rojo, verde, azul, rojo, verde, azul, ...) dentro del rango -1 < r <1. La serie geométrica de forma cerrada 1 / (1 - r ) es la línea discontinua negra.
La convergencia de la serie geométrica con r = 1/2 y a = 1/2
La convergencia de la serie geométrica con r = 1/2 y a = 1
Vista de cerca de la suma acumulada de funciones dentro del rango -1 < r <-0.5 a medida que se agregan los primeros 11 términos de la serie geométrica 1 + r + r 2 + r 3 + ... La serie geométrica 1 / (1 - r ) es la línea discontinua roja.
Serie geométrica compleja (coeficiente a = 1 y razón común r = 0.5 e iω 0 t ) que convergen en un círculo. En la animación, cada término de la serie geométrica se dibuja como un vector dos veces : una vez en el origen y nuevamente dentro de la suma vectorial de cabeza a cola que converge al círculo. El círculo interseca el eje real en 2 (= 1 / (1-1 / 2) cuando θ = 0) y en 2/3 (= 1 / (1 - (- 1/2)) cuando θ = 180 grados).
Ofreciendo una perspectiva diferente de la conocida derivación algebraica dada en la sección adyacente, la siguiente es una derivación geométrica de la forma cerrada de la serie geométrica. Como resumen, esta derivación geométrica representa los términos de la serie geométrica como áreas de cuadrados superpuestos y el objetivo es transformar esos cuadrados superpuestos en un área no superpuesta de fácil cálculo. El punto de partida es la suma parcial S = r m + r m + 1 + ... + r n-1 + r n cuando m <n y razón común r > 1. Cada término de la serie r i está representado por el área de un cuadrado superpuesto de área A ique se puede transformar en un área en forma de L no superpuesta L i = A i - A i-1 o, de manera equivalente, L i + 1 = A i + 1 - A i . Por ser una serie geométrica, A i + 1 = r A i . Por lo tanto, L i + 1 = A i + 1 - A i = (r - 1) A i , o A i = L i + 1 / ( r - 1). En palabras, cada cuadrado se superpone, pero se puede transformar en un área en forma de L no superpuesta en el siguiente cuadrado más grande (siguiente potencia de r ) y se escala en 1 / ( r- 1) para que la transformación de un cuadrado superpuesto a un área en forma de L no superpuesta mantenga la misma área. Por lo tanto, la suma S = A m + A m + 1 + ... + A n-1 + A n = (L m + 1 + L m + 2 + ... + L n + L n + 1 ) / ( r - 1). Observe que las áreas en forma de L no superpuestas desde el área en forma de L m + 1 hasta el área en forma de L n + 1 son una partición del cuadrado no superpuesto A n + 1 menos la muesca del cuadrado superior derecho A m (porque hay no hay cuadrados más pequeños superpuestos para transformarlos en esa muesca del área A m ). Por lo tanto, sustituyendo A i= r i y escalar todos los términos por el coeficiente a da como resultado la serie geométrica general de forma cerrada S = ( r n + 1 - r m ) a / ( r - 1) cuando m <n y r > 1. Aunque la prueba geométrica anterior asume r > 1, se puede mostrar que la misma fórmula de forma cerrada se aplica a cualquier valor de r con la posible excepción de r = 0 (dependiendo de cómo elija definir cero a la potencia de cero ). Por ejemplo, para el caso de r = 1, S = (1 n + 1 - 1 m ) a/ (1 - 1) = 0 / 0. Sin embargo, aplicar la regla de L'Hôpital da como resultado S = (n + 1 - m) a cuando r = 1. Para el caso de 0 <r <1, ​​comience con S = ( r n + 1 - r m ) a / ( r - 1) cuando m <n, r > 1 y sea m = -∞ y n = 0 entonces S = ar / ( r - 1) cuando r > 1. Dividiendo el numerador y denominador por r da S = a / (1 - (1 / r )) cuando r > 1, que es equivalente a S = a / (1 - r ) cuando 0 <r <1 porque invertir r invierte el orden de la serie (de mayor a menor en lugar de menor a mayor) pero no cambia la suma. El rango 0 < r <1 se puede extender al rango -1 < r <1 aplicando la fórmula derivada, S = a / (1 - r ) cuando 0 < r <1, por separado a dos particiones de la serie geométrica: uno con potencias pares de r (que no puede ser negativo) y el otro con potencias impares de r (que puede ser negativo). La suma de ambas particiones es S = a / (1 - r 2 ) + ar / (1 - r 2) = una (1 + r ) / ((1 + r ) (1 - r )) = a / (1 - r ).
La suma acumulada de funciones dentro del rango -1 < r <-0.5 cuando se agregan los primeros 51 términos de la serie geométrica 1 + r + r 2 + r 3 + ... La magnitud de la pendiente en r = -1 aumenta muy gradualmente con cada término agregado. La serie geométrica 1 / (1 - r ) es la línea discontinua roja.
Elements of Geometry, Libro IX, Proposición 35. "Si hay una multitud cualquiera de números continuamente proporcionales, e igual al primero se resta del segundo y el último, entonces como el exceso del segundo al primero, entonces el exceso del último será para todos los que le precedieron ".
Para el mismo caso de razón común r > 1, existen otras demostraciones geométricas de la forma cerrada de suma parcial de la serie geométrica. Uno que representa términos como áreas en lugar de longitudes de segmentos de línea se resume, como se muestra en la figura anterior, en tres pasos: (ARRIBA) Representa los términos de una serie geométrica como las áreas de triángulos similares superpuestos. (MEDIO) Desde el triángulo más grande al más pequeño, elimine la parte del área izquierda superpuesta (1 / r ) de la parte del área derecha no superpuesta (1-1 / r = ( r -1) / r ) y escale ese trapezoide superpuesto por r / ( r-1) por lo que su área es la misma que el área del triángulo superpuesto original. (ABAJO) Observe que el área del trapezoide agregado es el área de un triángulo grande menos el área de un triángulo pequeño vacío en la punta izquierda del triángulo grande. El triángulo grande es exactamente el triángulo superpuesto más grande escalado por r / ( r -1). El pequeño triángulo vacío comenzó como un pero esa área se transformó en un trapezoide escalado no superpuesto dejando una parte del área izquierda vacía (1 / r ). Sin embargo, ese triángulo vacío de área a / r también debe ser escalado por r / ( r -1) para que su pendiente coincida con la pendiente de todos los trapezoides escalados no superpuestos. Por lo tanto, Sn = área del triángulo grande - área del triángulo pequeño vacío = ar n + 1 / ( r -1) - a / ( r -1) = a ( r n + 1 -1) / ( r -1).
Disección de Arquímedes de un segmento parabólico en infinitos triángulos
Un diagrama bidimensional de series geométricas que Nicole Oresme utilizó para determinar que la serie infinita 1/2 + 2/4 + 3/8 + 4/16 + 5/32 + 6/64 + 7/128 + ... converge en 2.
El interior del copo de nieve de Koch es una unión de infinitos triángulos.