En el análisis complejo , una rama de las matemáticas , la estrella Mittag-Leffler de una función analítica compleja es un conjunto en el plano complejo obtenido al intentar extender esa función a lo largo de los rayos que emanan de un punto dado. Este concepto lleva el nombre de Gösta Mittag-Leffler .
Definición y propiedades elementales
Formalmente, la estrella de Mittag-Leffler de una función analítica compleja ƒ definida en un disco abierto U en el plano complejo centrado en un punto a es el conjunto de todos los puntos z en el plano complejo de manera que ƒ puede continuar analíticamente a lo largo de la línea segmento de unirse a una y z (ver continuación analítica a lo largo de una curva ).
Se desprende de la definición que la estrella de Mittag-Leffler es un proceso abierto star set-convexa (con respecto al punto de una ) y que contiene el disco de U . Además, ƒ admite una continuación analítica de valor único para la estrella Mittag-Leffler.
Ejemplos de
- La estrella de Mittag-Leffler de la función exponencial compleja definida en una vecindad de a = 0 es el plano complejo completo.
- La estrella de Mittag-Leffler del logaritmo complejo definido en la vecindad del punto a = 1 es el plano complejo completo sin el origen y el eje real negativo. En general, dada la compleja logaritmo definido en el entorno de un punto un ≠ 0 en el plano complejo, esta función se puede extender todo el camino hasta el infinito en cualquier rayo a partir de una , excepto en el rayo que va de una al origen , no se puede extender el logaritmo complejo más allá del origen a lo largo de ese rayo.
- Cualquier conjunto abierto de estrellas convexas es la estrella Mittag-Leffler de alguna función analítica compleja, ya que cualquier conjunto abierto en el plano complejo es un dominio de holomorfia .
Usos
Cualquier función analítica compleja ƒ definida alrededor de un punto a en el plano complejo se puede expandir en una serie de polinomios que es convergente en toda la estrella Mittag-Leffler de ƒ en a . Cada polinomio de esta serie es una combinación lineal de los primeros términos en la expansión de la serie de Taylor de ƒ alrededor de a .
Tal expansión en serie de f , llamada expansión de Mittag-Leffler , es convergente en un conjunto más grande que la expansión en serie de Taylor de f en a . De hecho, el conjunto abierto más grande en el que la última serie es convergente es un disco centrado en a y contenido dentro de la estrella Mittag-Leffler de ƒ en a
Referencias
- Shenitzer, Abe; Stillwell, John, eds. (2002). Evoluciones matemáticas . Washington, DC: Asociación Matemática de América. pag. 32. ISBN 0-88385-536-4.
- Korevaar, Jacob (2004). Teoría tauberiana: un siglo de desarrollos . Berlina; Nueva York: Springer. ISBN 3-540-21058-X.
enlaces externos
- ED Solomentsev (2001) [1994], "Star_of_a_function_element" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press