Mark Kac , citado por Reed & Simon (1978 , p. 38)
En matemáticas, la suma de Borel es un método de suma para series divergentes , introducido por Émile Borel ( 1899 ). Es particularmente útil para sumar series asintóticas divergentes y, en cierto sentido, proporciona la mejor suma posible para tales series. Hay varias variaciones de este método que también se denominan suma de Borel, y una generalización del mismo se llama suma de Mittag-Leffler .
Definición
Hay (al menos) tres métodos ligeramente diferentes llamados suma de Borel. Se diferencian en qué series pueden sumar, pero son consistentes, lo que significa que si dos de los métodos suman la misma serie, dan la misma respuesta.
Deje que A ( z ) denote una serie de potencias formales
y definir la transformada de Borel de A como su serie exponencial equivalente
Método de suma exponencial de Borel
Sea A n ( z ) la suma parcial
Una forma débil del método de suma de Borel define la suma de Borel de A como
Si esto converge en z ∈ C a alguna a ( z ) , decimos que la suma débil de Borel de A converge en z , y escribimos.
Método de suma integral de Borel
Suponga que la transformada de Borel converge para todos los números reales positivos a una función que crece lo suficientemente lentamente como para que la siguiente integral esté bien definida (como una integral impropia), la suma de Borel de A está dada por
Si la integral converge en z ∈ C a alguna a ( z ) , decimos que la suma de Borel de A converge en z , y escribimos.
Método de suma integral de Borel con continuación analítica
Esto es similar al método de suma integral de Borel, excepto que la transformada de Borel no necesita converger para todo t , sino que converge a una función analítica de t cerca de 0 que puede continuar analíticamente a lo largo del eje real positivo .
Propiedades básicas
Regularidad
Los métodos ( B ) y ( wB ) son ambos métodos de suma regular , lo que significa que siempre que A ( z ) converge (en el sentido estándar), la suma de Borel y la suma de Borel débil también convergen, y lo hacen al mismo valor. es decir
La regularidad de ( B ) se ve fácilmente por un cambio en el orden de integración, que es válido debido a la convergencia absoluta: si A ( z ) es convergente en z , entonces
donde la expresión más a la derecha es exactamente la suma de Borel en z .
La regularidad de ( B ) y ( wB ) implica que estos métodos proporcionan extensiones analíticas a A ( z ) .
No equivalencia de Borel y suma de Borel débil
Cualquier serie A ( z ) que sea Borel débil sumable en z ∈ C también es Borel sumable en z . Sin embargo, se pueden construir ejemplos de series que son divergentes bajo una suma de Borel débil, pero que son sumables de Borel. El siguiente teorema caracteriza la equivalencia de los dos métodos.
- Teorema (( Hardy 1992 , 8.5)).
- Sea A ( z ) una serie formal de potencias y fije z ∈ C , entonces:
- Si , luego .
- Si , y luego .
Relación con otros métodos de suma
- ( B ) es el caso especial de la sumatoria de Mittag-Leffler con α = 1 .
- ( wB ) puede verse como el caso límite del método de suma de Euler generalizado ( E , q ) en el sentido de que cuando q → ∞ el dominio de convergencia del método ( E , q ) converge hasta el dominio de convergencia para ( B ) . [1]
Teoremas de unicidad
Siempre hay muchas funciones diferentes con cualquier expansión asintótica dada. Sin embargo, a veces hay una mejor función posible, en el sentido de que los errores en las aproximaciones de dimensión finita son lo más pequeños posible en alguna región. El teorema de Watson y el teorema de Carleman muestran que la suma de Borel produce la mejor suma posible de la serie.
Teorema de Watson
El teorema de Watson da las condiciones para que una función sea la suma de Borel de su serie asintótica. Suponga que f es una función que satisface las siguientes condiciones:
- f es holomórfica en alguna región | z | < R , | arg ( z ) | < π / 2 + ε para algunos R y ε positivos.
- En esta región f tiene una serie asintótica a 0 + a 1 z + ... con la propiedad de que el error
está delimitado por
para todo z en la región (para alguna constante positiva C ).
Entonces el teorema de Watson dice que en esta región f está dada por la suma de Borel de su serie asintótica. Más precisamente, la serie para la transformada de Borel converge en una vecindad del origen y se puede continuar analíticamente hasta el eje real positivo, y la integral que define la suma de Borel converge af ( z ) para z en la región anterior.
Un poco más en general, f todavía está determinada por su serie asintótica si n ! en la estimación de error anterior se reemplaza por kn ! siempre que la condición | arg ( z ) | < π / 2 + ε se reemplaza por | arg ( z ) | < k π / 2 + ε . En cierto sentido, esto es lo mejor posible, ya que existen contraejemplos si el número k π / 2 se reemplaza por cualquier número menor. [ aclaración necesaria ]
Teorema de carleman
El teorema de Carleman muestra que una función está determinada únicamente por una serie asintótica en un sector siempre que los errores en las aproximaciones de orden finito no crezcan demasiado rápido. Más precisamente afirma que si f es analítica en el interior del sector | z | < C , Re ( z )> 0 y | f ( z ) | <| b n z | n en esta región para todo n , entonces f es cero siempre que la serie 1 / b 0 + 1 / b 1 + ... diverja.
El teorema de Carleman proporciona un método de suma para cualquier serie asintótica cuyos términos no crezcan demasiado rápido, ya que la suma se puede definir como la función única con esta serie asintótica en un sector adecuado, si existe. La suma de Borel es ligeramente más débil que el caso especial de esto cuando b n = cn para alguna constante c . Más generalmente se puede definir métodos de suma ligeramente más fuerte que Borel de tomando los números b n a ser ligeramente más grande, por ejemplo b n = cn log n o b n = CN log n log log n . En la práctica, esta generalización es de poca utilidad, ya que casi no hay ejemplos naturales de series sumables por este método que no se puedan sumar también por el método de Borel.
Ejemplo
La función f ( z ) = exp (–1 / z ) tiene la serie asintótica 0 + 0 z + ... con un límite de error de la forma anterior en la región | arg ( z ) | < θ para cualquier θ < π / 2 , pero no está dado por la suma de Borel de su serie asintótica. Esto muestra que el número π / 2 en el teorema de Watson no se puede reemplazar por ningún número más pequeño (a menos que el límite del error sea más pequeño).
Ejemplos de
La serie geométrica
Considere la serie geométrica
que converge (en el sentido estándar) a 1 / (1 - z ) para | z | <1 . La transformada de Borel es
de donde obtenemos la suma Borel
que converge en la región más grande Re ( z ) <1 , dando una continuación analítica de la serie original.
Considerando en cambio la transformada débil de Borel, las sumas parciales están dadas por A N ( z ) = (1 - z N +1 ) / (1 - z ) , por lo que la suma débil de Borel es
donde, nuevamente, la convergencia está en Re ( z ) <1 . Alternativamente, esto se puede ver apelando a la parte 2 del teorema de equivalencia, ya que para Re ( z ) <1 ,
Una serie factorial alterna
Considere la serie
entonces A ( z ) no converge para ningún z ∈ C distinto de cero . La transformada de Borel es
para | t | <1 , que se puede continuar analíticamente hasta todo t ≥ 0 . Entonces la suma de Borel es
(donde Γ es la función gamma incompleta ).
Esta integral converge para todo z ≥ 0 , por lo que la serie divergente original es Borel sumable para todos esos z . Esta función tiene una expansión asintótica ya que z tiende a 0 que viene dada por la serie divergente original. Este es un ejemplo típico del hecho de que la suma de Borel a veces suma "correctamente" expansiones asintóticas divergentes.
De nuevo, desde
para todo z , el teorema de equivalencia asegura que la suma de Borel débil tenga el mismo dominio de convergencia, z ≥ 0 .
Un ejemplo en el que falla la equivalencia
El siguiente ejemplo amplía el dado en ( Hardy 1992 , 8.5). Considerar
Después de cambiar el orden de la suma, la transformada de Borel viene dada por
En z = 2, la suma de Borel está dada por
donde S ( x ) es la integral de Fresnel . A través del teorema de convergencia a lo largo de las cuerdas, la integral de Borel converge para todo z ≤ 2 (la integral diverge para z > 2 ).
Para la suma débil de Borel, observamos que
se cumple solo para z <1 , por lo que la suma de Borel débil converge en este dominio más pequeño.
Resultados de existencia y dominio de la convergencia
Summability en acordes
Si una serie formal A ( z ) es sumable por Borel en z 0 ∈ C , entonces también es sumable por Borel en todos los puntos de la cuerda O z 0 que conecta z 0 con el origen. Además, existe una función a ( z ) analítica en todo el disco con radio O z 0 tal que
para todo z = θ z 0 , θ ∈ [0,1] .
Una consecuencia inmediata es que el dominio de la convergencia de la suma de Borel es un dominio de la estrella en C . Se puede decir más sobre el dominio de convergencia de la suma de Borel, que es un dominio de estrella, que se conoce como el polígono de Borel, y está determinado por las singularidades de la serie A ( z ) .
El polígono de Borel
Supongamos que A ( z ) tiene un radio estrictamente positivo de convergencia, por lo que es analítica en una región no trivial que contiene el origen, y dejar que S A denota el conjunto de singularidades de A . Esto significa que P ∈ S A si y solo si A puede continuar analíticamente a lo largo de la cuerda abierta de 0 a P , pero no a P en sí. Para P ∈ S A , sea L P la línea que pasa por P que es perpendicular a la cuerda OP . Definir los conjuntos
el conjunto de puntos que se encuentran en el mismo lado de L P que el origen. El polígono de Borel de A es el conjunto
Borel y Phragmén utilizaron una definición alternativa ( Sansone & Gerretsen 1960 , 8.3). Dejardenotar el dominio estelar más grande en el que hay una extensión analítica de A , entonces es el subconjunto más grande de tal que para todos el interior del círculo con diámetro OP está contenido en. Refiriéndose al conjuntoya que un polígono es un nombre poco apropiado, ya que el conjunto no necesita ser poligonal en absoluto; Sin embargo, si A ( z ) tiene solo un número finito de singularidades, entonces será de hecho un polígono.
El siguiente teorema, debido a Borel y Phragmén, proporciona criterios de convergencia para la suma de Borel.
- Teorema ( Hardy 1992 , 8.8).
- La serie A ( z ) es ( B ) sumable en absoluto , y es ( B ) divergente en absoluto .
Tenga en cuenta que ( B ) sumabilidad para depende de la naturaleza del punto.
Ejemplo 1
Sea ω i ∈ C la m -ésima raíz de la unidad, i = 1, ..., m , y considere
que converge en B (0,1) ⊂ C . Visto como una función en C , A ( z ) tiene singularidades en S A = { ω i : i = 1, ..., m } y, en consecuencia, el polígono de Borelviene dado por el m -gon regular centrado en el origen, y tal que 1 ∈ C es el punto medio de una arista.
Ejemplo 2
La serie formal
converge para todos (por ejemplo, mediante la prueba de comparación con la serie geométrica). Sin embargo, se puede demostrar [2] que A no converge para ningún punto z ∈ C tal que z 2 n = 1 para algún n . Dado que el conjunto de tales z es denso en el círculo unitario, no puede haber una extensión analítica de A fuera de B (0,1) . Posteriormente, el dominio estelar más grande al que A puede extenderse analíticamente es S = B (0,1) del cual (a través de la segunda definición) se obtiene. En particular, se ve que el polígono de Borel no es poligonal.
Un teorema de Tauberian
Un teorema de Tauberio proporciona condiciones bajo las cuales la convergencia de un método de suma implica la convergencia bajo otro método. El principal teorema de Tauber [1] para la suma de Borel proporciona condiciones bajo las cuales el método de Borel débil implica la convergencia de la serie.
- Teorema ( Hardy 1992 , 9.13). Si A es ( wB ) sumable en z 0 ∈ C , , y
- luego , y la serie converge para todos | z | <| z 0 | .
Aplicaciones
La suma de Borel encuentra aplicación en expansiones de perturbaciones en la teoría cuántica de campos. En particular, en la teoría de campos euclidianos bidimensionales, las funciones de Schwinger a menudo se pueden recuperar de sus series de perturbaciones utilizando la suma de Borel ( Glimm y Jaffe 1987 , p. 461). Algunas de las singularidades de la transformada de Borel están relacionadas con instantones y renormalones en la teoría cuántica de campos ( Weinberg 2005 , 20.7).
Generalizaciones
Borel sumatoria requiere que los coeficientes no crecen demasiado rápido: más precisamente, un n tiene que ser limitado por n ! C n 1 para algunos C . Existe una variación de la suma de Borel que reemplaza a los factoriales n ! con ( kn )! para algún entero positivo k , que permite la suma de algunas series con una n limitada por ( kn )! C n 1 para algunos C . Esta generalización viene dada por la suma de Mittag-Leffler .
En el caso más general, la suma de Borel se generaliza mediante la reanudación de Nachbin , que se puede utilizar cuando la función delimitadora es de algún tipo general (tipo psi), en lugar de ser de tipo exponencial .
Ver también
- Suma de Abel
- Teorema de abel
- Fórmula de Abel-Plana
- Suma de Euler
- Suma cesàro
- Suma de Lambert
- Reanimación de Nachbin
- Teoremas de Abeliano y Tauberiano
- Transformación de Van Wijngaarden
Notas
- ↑ a b Hardy, GH (1992). Serie divergente . AMS Chelsea, Rhode Island.
- ^ "Límite natural" . MathWorld . Consultado el 19 de octubre de 2016 .
Referencias
- Borel, E. (1899), "Mémoire sur les séries divergentes" , Ann. Sci. CE. Norma. Súper. , Serie 3, 16 : 9–131, doi : 10.24033 / asens.463
- Glimm, James; Jaffe, Arthur (1987), Física cuántica (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-4728-9 , ISBN 978-0-387-96476-8, MR 0887102
- Hardy, Godfrey Harold (1992) [1949], Divergent Series , Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8218-2649-2, MR 0030620
- Reed, Michael; Simon, Barry (1978), Métodos de física matemática moderna. IV. Análisis de operadores , Nueva York: Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], ISBN 978-0-12-585004-9, MR 0493421
- Sansone, Giovanni; Gerretsen, Johan (1960), Conferencias sobre la teoría de funciones de una variable compleja. Funciones holomorfas , P. Noordhoff, Groningen, MR 0113988
- Weinberg, Steven (2005), La teoría cuántica de campos. , II , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55002-4, MR 2148467
- Zakharov, AA (2001) [1994], "Método de suma de Borel" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press