Función gamma múltiple

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En matemáticas, la función gamma múltiple es una generalización de la función gamma de Euler y la función G de Barnes . Barnes (1901) estudió la función doble gamma . Al final de este artículo mencionó la existencia de múltiples funciones gamma generalizándolas, y las estudió más a fondo en Barnes (1904) .${\ Displaystyle \ Gamma _ {N}}$

Las funciones de doble gamma están estrechamente relacionadas con la función q-gamma , y las funciones de triple gamma están relacionadas con la función gamma elíptica .${\ Displaystyle \ Gamma _ {2}}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {3}}$

Porque , deja ${\ Displaystyle \ Re a_ {i}> 0}$

donde es la función zeta de Barnes . (Esto difiere por una constante de la definición original de Barnes).${\ Displaystyle \ zeta _ {N}}$

Considerado como una función meromórfica de , no tiene ceros. Tiene polos en para números enteros no negativos . Estos polos son simples a menos que algunos de ellos coincidan. Hasta la multiplicación por el exponencial de un polinomio, es la función meromórfica única de orden finito con estos polos y ceros.${\ Displaystyle w}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {N} (w \ mid a_ {1}, \ ldots, a_ {N})}$${\ Displaystyle w = - \ sum _ {i = 1} ^ {N} n_ {i} a_ {i}}$${\ Displaystyle n_ {i}}$${\ Displaystyle \ Gamma _ {N} (w \ mid a_ {1}, \ ldots, a_ {N})}$

La función gamma múltiple tiene una representación de producto infinita que hace manifiesto que es meromórfica, y que también manifiesta las posiciones de sus polos. En el caso de la función gamma doble, esta representación es ^[1]

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