En matemáticas , la función G de Barnes G ( z ) es una función que es una extensión de los superfactoriales a los números complejos . Está relacionado con la función gamma , la función K y la constante de Glaisher-Kinkelin , y recibió su nombre del matemático Ernest William Barnes . [1] Se puede escribir en términos de la función gamma doble .
La función Barnes G a lo largo de parte del eje real
Formalmente, la función G de Barnes se define en la siguiente forma de producto Weierstrass :
GRAMO ( 1 + z ) = ( 2 π ) z / 2 Exp ( - z + z 2 ( 1 + γ ) 2 ) ∏ k = 1 ∞ { ( 1 + z k ) k Exp ( z 2 2 k - z ) } {\ Displaystyle G (1 + z) = (2 \ pi) ^ {z / 2} \ exp \ left (- {\ frac {z + z ^ {2} (1+ \ gamma)} {2}} \ derecha) \, \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left \ {\ left (1 + {\ frac {z} {k}} \ right) ^ {k} \ exp \ left ({\ frac {z ^ {2}} {2k}} - z \ right) \ right \}} dónde γ {\ Displaystyle \, \ gamma} es la constante de Euler-Mascheroni , exp ( x ) = e x , y ∏ es la notación pi mayúscula .
Ecuación funcional y argumentos enteros La función G de Barnes satisface la ecuación funcional
GRAMO ( z + 1 ) = Γ ( z ) GRAMO ( z ) {\ Displaystyle G (z + 1) = \ Gamma (z) \, G (z)} con normalización G (1) = 1. Nótese la similitud entre la ecuación funcional de la función G de Barnes y la de la función gamma de Euler :
Γ ( z + 1 ) = z Γ ( z ) . {\ Displaystyle \ Gamma (z + 1) = z \, \ Gamma (z).} La ecuación funcional implica que G toma los siguientes valores en argumentos enteros :
GRAMO ( norte ) = { 0 Si norte = 0 , - 1 , - 2 , ... ∏ I = 0 norte - 2 I ! Si norte = 1 , 2 , ... {\ Displaystyle G (n) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {if}} n = 0, -1, -2, \ dots \\\ prod _ {i = 0} ^ {n-2} i! & {\ text {if}} n = 1,2, \ dots \ end {cases}}} (En particular, GRAMO ( 0 ) = 0 , GRAMO ( 1 ) = 1 {\ Displaystyle \, G (0) = 0, G (1) = 1} ) y por lo tanto
GRAMO ( norte ) = ( Γ ( norte ) ) norte - 1 K ( norte ) {\ Displaystyle G (n) = {\ frac {(\ Gamma (n)) ^ {n-1}} {K (n)}}} dónde Γ ( X ) {\ Displaystyle \, \ Gamma (x)} denota la función gamma y K indica la K-función . La ecuación funcional define de forma única la función G si la condición de convexidad: D 3 D X 3 GRAMO ( X ) ≥ 0 {\ Displaystyle \, {\ frac {d ^ {3}} {dx ^ {3}}} G (x) \ geq 0} está agregado. [2]
Valor a 1/2 GRAMO ( 1 2 ) = 2 1 24 mi 3 2 ζ ′ ( - 1 ) π - 1 4 . {\ Displaystyle G \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) = 2 ^ {\ frac {1} {24}} e ^ {{\ frac {3} {2}} \ zeta '( -1)} \ pi ^ {- {\ frac {1} {4}}}.}
Fórmula de reflexión 1.0 La ecuación en diferencia para la función G, junto con la ecuación funcional para la función gamma , se puede utilizar para obtener la siguiente fórmula de reflexión para la función G de Barnes (probada originalmente por Hermann Kinkelin ):
Iniciar sesión GRAMO ( 1 - z ) = Iniciar sesión GRAMO ( 1 + z ) - z Iniciar sesión 2 π + ∫ 0 z π X cuna π X D X . {\ Displaystyle \ log G (1-z) = \ log G (1 + z) -z \ log 2 \ pi + \ int _ {0} ^ {z} \ pi x \ cot \ pi x \, dx. } La integral logtangent en el lado derecho se puede evaluar en términos de la función de Clausen (de orden 2), como se muestra a continuación:
2 π Iniciar sesión ( GRAMO ( 1 - z ) GRAMO ( 1 + z ) ) = 2 π z Iniciar sesión ( pecado π z π ) + Cl 2 ( 2 π z ) {\ Displaystyle 2 \ pi \ log \ left ({\ frac {G (1-z)} {G (1 + z)}} \ right) = 2 \ pi z \ log \ left ({\ frac {\ sin \ pi z} {\ pi}} \ right) + \ operatorname {Cl} _ {2} (2 \ pi z)} La prueba de este resultado depende de la siguiente evaluación de la integral cotangente: introduciendo la notación Lc ( z ) {\ Displaystyle \ operatorname {Lc} (z)} para la integral logcotangente, y utilizando el hecho de que ( D / D X ) Iniciar sesión ( pecado π X ) = π cuna π X {\ Displaystyle \, (d / dx) \ log (\ sin \ pi x) = \ pi \ cot \ pi x} , una integración por partes da
Lc ( z ) = ∫ 0 z π X cuna π X D X = z Iniciar sesión ( pecado π z ) - ∫ 0 z Iniciar sesión ( pecado π X ) D X = z Iniciar sesión ( pecado π z ) - ∫ 0 z [ Iniciar sesión ( 2 pecado π X ) - Iniciar sesión 2 ] D X = z Iniciar sesión ( 2 pecado π z ) - ∫ 0 z Iniciar sesión ( 2 pecado π X ) D X . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ operatorname {Lc} (z) & = \ int _ {0} ^ {z} \ pi x \ cot \ pi x \, dx \\ & = z \ log (\ sin \ pi z) - \ int _ {0} ^ {z} \ log (\ sin \ pi x) \, dx \\ & = z \ log (\ sin \ pi z) - \ int _ {0} ^ { z} {\ Bigg [} \ log (2 \ sin \ pi x) - \ log 2 {\ Bigg]} \, dx \\ & = z \ log (2 \ sin \ pi z) - \ int _ {0 } ^ {z} \ log (2 \ sin \ pi x) \, dx. \ end {alineado}}} Realizando la sustitución integral y = 2 π X ⇒ D X = D y / ( 2 π ) {\ Displaystyle \, y = 2 \ pi x \ Rightarrow dx = dy / (2 \ pi)} da
z Iniciar sesión ( 2 pecado π z ) - 1 2 π ∫ 0 2 π z Iniciar sesión ( 2 pecado y 2 ) D y . {\ Displaystyle z \ log (2 \ sin \ pi z) - {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi z} \ log \ left (2 \ sin {\ frac {y} {2}} \ right) \, dy.} La función de Clausen - de segundo orden - tiene la representación integral
Cl 2 ( θ ) = - ∫ 0 θ Iniciar sesión | 2 pecado X 2 | D X . {\ Displaystyle \ operatorname {Cl} _ {2} (\ theta) = - \ int _ {0} ^ {\ theta} \ log {\ Bigg |} 2 \ sin {\ frac {x} {2}} { \ Bigg |} \, dx.} Sin embargo, dentro del intervalo 0 < θ < 2 π {\ Displaystyle \, 0 <\ theta <2 \ pi} , el signo del valor absoluto dentro del integrando se puede omitir, ya que dentro del rango la función 'medio seno' en la integral es estrictamente positiva y estrictamente distinta de cero. Comparando esta definición con el resultado anterior para la integral logtangente, la siguiente relación se cumple claramente:
Lc ( z ) = z Iniciar sesión ( 2 pecado π z ) + 1 2 π Cl 2 ( 2 π z ) . {\ Displaystyle \ operatorname {Lc} (z) = z \ log (2 \ sin \ pi z) + {\ frac {1} {2 \ pi}} \ operatorname {Cl} _ {2} (2 \ pi z ).} Por lo tanto, después de una ligera reordenación de términos, la prueba está completa:
2 π Iniciar sesión ( GRAMO ( 1 - z ) GRAMO ( 1 + z ) ) = 2 π z Iniciar sesión ( pecado π z π ) + Cl 2 ( 2 π z ) . ◻ {\ Displaystyle 2 \ pi \ log \ left ({\ frac {G (1-z)} {G (1 + z)}} \ right) = 2 \ pi z \ log \ left ({\ frac {\ sin \ pi z} {\ pi}} \ right) + \ operatorname {Cl} _ {2} (2 \ pi z) \,. \, \ Box} Usando la relación GRAMO ( 1 + z ) = Γ ( z ) GRAMO ( z ) {\ Displaystyle \, G (1 + z) = \ Gamma (z) \, G (z)} y dividiendo la fórmula de reflexión por un factor de 2 π {\ Displaystyle \, 2 \ pi} da la forma equivalente:
Iniciar sesión ( GRAMO ( 1 - z ) GRAMO ( z ) ) = z Iniciar sesión ( pecado π z π ) + Iniciar sesión Γ ( z ) + 1 2 π Cl 2 ( 2 π z ) {\ Displaystyle \ log \ left ({\ frac {G (1-z)} {G (z)}} \ right) = z \ log \ left ({\ frac {\ sin \ pi z} {\ pi} } \ right) + \ log \ Gamma (z) + {\ frac {1} {2 \ pi}} \ operatorname {Cl} _ {2} (2 \ pi z)} Ref: consulte Adamchik a continuación para obtener una forma equivalente de la fórmula de reflexión , pero con una prueba diferente.
Fórmula de reflexión 2.0 Reemplazar z con (1/2) - z '' en la fórmula de reflexión anterior da, después de alguna simplificación, la fórmula equivalente que se muestra a continuación (que involucra polinomios de Bernoulli ):
Iniciar sesión ( GRAMO ( 1 2 + z ) GRAMO ( 1 2 - z ) ) = {\ Displaystyle \ log \ left ({\ frac {G \ left ({\ frac {1} {2}} + z \ right)} {G \ left ({\ frac {1} {2}} - z \ derecha)}} \ derecha) =} Iniciar sesión Γ ( 1 2 - z ) + B 1 ( z ) Iniciar sesión 2 π + 1 2 Iniciar sesión 2 + π ∫ 0 z B 1 ( X ) broncearse π X D X {\ Displaystyle \ log \ Gamma \ left ({\ frac {1} {2}} - z \ right) + B_ {1} (z) \ log 2 \ pi + {\ frac {1} {2}} \ log 2+ \ pi \ int _ {0} ^ {z} B_ {1} (x) \ tan \ pi x \, dx}
Expansión de la serie Taylor Mediante el teorema de Taylor , y considerando las derivadas logarítmicas de la función de Barnes, se puede obtener la siguiente expansión en serie:
Iniciar sesión GRAMO ( 1 + z ) = z 2 Iniciar sesión 2 π - ( z + ( 1 + γ ) z 2 2 ) + ∑ k = 2 ∞ ( - 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 . {\ Displaystyle \ log G (1 + z) = {\ frac {z} {2}} \ log 2 \ pi - \ left ({\ frac {z + (1+ \ gamma) z ^ {2}} {2 }} \ derecha) + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ zeta (k)} {k + 1}} z ^ {k + 1} .} Es valido para 0 < z < 1 {\ Displaystyle \, 0 . Aquí, ζ ( X ) {\ Displaystyle \, \ zeta (x)} es la función Riemann Zeta :
ζ ( s ) = ∑ norte = 1 ∞ 1 norte s . {\ Displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}.} Exponenciar ambos lados de la expansión de Taylor da:
GRAMO ( 1 + z ) = Exp [ z 2 Iniciar sesión 2 π - ( z + ( 1 + γ ) z 2 2 ) + ∑ k = 2 ∞ ( - 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 ] = ( 2 π ) z / 2 Exp [ - z + ( 1 + γ ) z 2 2 ] Exp [ ∑ k = 2 ∞ ( - 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 ] . {\ Displaystyle {\ begin {alineado} G (1 + z) & = \ exp \ left [{\ frac {z} {2}} \ log 2 \ pi - \ left ({\ frac {z + (1+ \ gamma) z ^ {2}} {2}} \ right) + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ zeta (k)} {k + 1}} z ^ {k + 1} \ right] \\ & = (2 \ pi) ^ {z / 2} \ exp \ left [- {\ frac {z + (1+ \ gamma) z ^ {2} } {2}} \ right] \ exp \ left [\ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ zeta (k)} {k + 1}} z ^ {k + 1} \ right]. \ end {alineado}}} Al comparar esto con la forma de producto de Weierstrass de la función de Barnes, se obtiene la siguiente relación:
Exp [ ∑ k = 2 ∞ ( - 1 ) k ζ ( k ) k + 1 z k + 1 ] = ∏ k = 1 ∞ { ( 1 + z k ) k Exp ( z 2 2 k - z ) } {\ Displaystyle \ exp \ left [\ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} {\ frac {\ zeta (k)} {k + 1}} z ^ {k + 1} \ right] = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left \ {\ left (1 + {\ frac {z} {k}} \ right) ^ {k} \ exp \ left ( {\ frac {z ^ {2}} {2k}} - z \ right) \ right \}}
Fórmula de multiplicación
Expansión asintótica
Relación con la integral Loggamma El Loggamma paramétrico se puede evaluar en términos de la función G de Barnes (Ref: este resultado se encuentra en Adamchik a continuación, pero se indica sin prueba):
∫ 0 z Iniciar sesión Γ ( X ) D X = z ( 1 - z ) 2 + z 2 Iniciar sesión 2 π + z Iniciar sesión Γ ( z ) - Iniciar sesión GRAMO ( 1 + z ) {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {z} \ log \ Gamma (x) \, dx = {\ frac {z (1-z)} {2}} + {\ frac {z} {2}} \ log 2 \ pi + z \ log \ Gamma (z) - \ log G (1 + z)} La demostración es algo indirecta e implica considerar primero la diferencia logarítmica de la función gamma y la función G de Barnes:
z Iniciar sesión Γ ( z ) - Iniciar sesión GRAMO ( 1 + z ) {\ Displaystyle z \ log \ Gamma (z) - \ log G (1 + z)} dónde
1 Γ ( z ) = z mi γ z ∏ k = 1 ∞ { ( 1 + z k ) mi - z / k } {\ Displaystyle {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} = ze ^ {\ gamma z} \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ left \ {\ left (1 + {\ frac {z} {k}} \ derecha) e ^ {- z / k} \ derecha \}} y γ {\ Displaystyle \, \ gamma} es la constante de Euler-Mascheroni .
Tomando el logaritmo de las formas del producto de Weierstrass de la función de Barnes y la función gamma se obtiene:
z Iniciar sesión Γ ( z ) - Iniciar sesión GRAMO ( 1 + z ) = - z Iniciar sesión ( 1 Γ ( z ) ) - Iniciar sesión GRAMO ( 1 + z ) = - z [ Iniciar sesión z + γ z + ∑ k = 1 ∞ { Iniciar sesión ( 1 + z k ) - z k } ] - [ z 2 Iniciar sesión 2 π - z 2 - z 2 2 - z 2 γ 2 + ∑ k = 1 ∞ { k Iniciar sesión ( 1 + z k ) + z 2 2 k - z } ] {\ Displaystyle {\ begin {alineado} & z \ log \ Gamma (z) - \ log G (1 + z) = - z \ log \ left ({\ frac {1} {\ Gamma (z)}} \ right ) - \ log G (1 + z) \\ [5pt] = {} & {- z} \ left [\ log z + \ gamma z + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Bigg \ { } \ log \ left (1 + {\ frac {z} {k}} \ right) - {\ frac {z} {k}} {\ Bigg \}} \ right] \\ [5pt] & {} - \ left [{\ frac {z} {2}} \ log 2 \ pi - {\ frac {z} {2}} - {\ frac {z ^ {2}} {2}} - {\ frac {z ^ {2} \ gamma} {2}} + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Bigg \ {} k \ log \ left (1 + {\ frac {z} {k}} \ derecha) + {\ frac {z ^ {2}} {2k}} - z {\ Bigg \}} \ right] \ end {alineado}}} Una pequeña simplificación y reordenación de términos da la expansión de la serie:
∑ k = 1 ∞ { ( k + z ) Iniciar sesión ( 1 + z k ) - z 2 2 k - z } = - z Iniciar sesión z - z 2 Iniciar sesión 2 π + z 2 + z 2 2 - z 2 γ 2 - z Iniciar sesión Γ ( z ) + Iniciar sesión GRAMO ( 1 + z ) {\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Bigg \ {} (k + z) \ log \ left (1 + {\ frac {z} {k} } \ derecha) - {\ frac {z ^ {2}} {2k}} - z {\ Bigg \}} \\ [5pt] = {} & {- z} \ log z - {\ frac {z} {2}} \ log 2 \ pi + {\ frac {z} {2}} + {\ frac {z ^ {2}} {2}} - {\ frac {z ^ {2} \ gamma} {2 }} - z \ log \ Gamma (z) + \ log G (1 + z) \ end {alineado}}} Finalmente, tome el logaritmo de la forma del producto de Weierstrass de la función gamma e integre sobre el intervalo [ 0 , z ] {\ Displaystyle \, [0, \, z]} para obtener:
∫ 0 z Iniciar sesión Γ ( X ) D X = - ∫ 0 z Iniciar sesión ( 1 Γ ( X ) ) D X = - ( z Iniciar sesión z - z ) - z 2 γ 2 - ∑ k = 1 ∞ { ( k + z ) Iniciar sesión ( 1 + z k ) - z 2 2 k - z } {\ Displaystyle {\ begin {alineado} & \ int _ {0} ^ {z} \ log \ Gamma (x) \, dx = - \ int _ {0} ^ {z} \ log \ left ({\ frac {1} {\ Gamma (x)}} \ right) \, dx \\ [5pt] = {} & {- (z \ log zz)} - {\ frac {z ^ {2} \ gamma} {2 }} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ Bigg \ {} (k + z) \ log \ left (1 + {\ frac {z} {k}} \ right) - {\ frac {z ^ {2}} {2k}} - z {\ Bigg \}} \ end {alineado}}} La equiparación de las dos evaluaciones completa la demostración:
∫ 0 z Iniciar sesión Γ ( X ) D X = z ( 1 - z ) 2 + z 2 Iniciar sesión 2 π + z Iniciar sesión Γ ( z ) - Iniciar sesión GRAMO ( 1 + z ) {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {z} \ log \ Gamma (x) \, dx = {\ frac {z (1-z)} {2}} + {\ frac {z} {2}} \ log 2 \ pi + z \ log \ Gamma (z) - \ log G (1 + z)} Y desde GRAMO ( 1 + z ) = Γ ( z ) GRAMO ( z ) {\ Displaystyle \, G (1 + z) = \ Gamma (z) \, G (z)} luego,
∫ 0 z Iniciar sesión Γ ( X ) D X = z ( 1 - z ) 2 + z 2 Iniciar sesión 2 π - ( 1 - z ) Iniciar sesión Γ ( z ) - Iniciar sesión GRAMO ( z ) . {\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {z} \ log \ Gamma (x) \, dx = {\ frac {z (1-z)} {2}} + {\ frac {z} {2}} \ log 2 \ pi - (1-z) \ log \ Gamma (z) - \ log G (z) \ ,.}
Referencias ^ EW Barnes, "La teoría de la función G", Quarterly Journ. Puro y Appl. Matemáticas. 31 (1900), 264–314. ^ MF Vignéras, L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL ( 2 , Z ) {\ Displaystyle (2, \ mathbb {Z})} , Astérisque 61 , 235–249 (1979). ^ I. Vardi, Determinantes de laplacianos y múltiples funciones gamma , SIAM J. Math. Anal. 19 , 493–507 (1988). ^ ET Whittaker y GN Watson , " Un curso de análisis moderno ", CUP. Askey, RA; Roy, R. (2010), "Función G de Barnes" , en Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), Manual de funciones matemáticas del NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5 , MR 2723248 Adamchik, Viktor S. (2003). "Contribuciones a la teoría de la función de Barnes". arXiv : matemáticas / 0308086 .