Función zeta de Barnes

En matemáticas , una función zeta de Barnes es una generalización de la función zeta de Riemann introducida por EW Barnes ( 1901 ). Se generaliza aún más mediante la función zeta de Shintani .

Definición

La función zeta de Barnes está definida por

{\ Displaystyle \ zeta _ {N} (s, w \ mid a_ {1}, \ ldots, a_ {N}) = \ sum _ {n_ {1}, \ dots, n_ {N} \ geq 0} { \ frac {1} {(w + n_ {1} a_ {1} + \ cdots + n_ {N} a_ {N}) ^ {s}}}}

donde w y un _j tienen parte real positiva y s tiene parte real mayor que N .

Tiene una continuación meromórfica a todos los complejos s , cuyo único singularidades son polos simples en s = 1, 2, ..., N . Para N = w = a ₁ = 1, es la función zeta de Riemann.

Referencias

Barnes, EW (1899), "The Theory of the Double Gamma Function. [Abstract]", Actas de la Royal Society of London , The Royal Society, 66 : 265-268, doi : 10.1098 / rspl.1899.0101 , ISSN 0370- 1662 , JSTOR 116064 , S2CID 186213903
Barnes, EW (1901), "La teoría de la función de doble gama", Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A, que contiene artículos de carácter matemático o físico , The Royal Society, 196 (274–286): 265–387, Bibcode : 1901RSPTA.196..265B , doi : 10.1098 / rsta.1901.0006 , ISSN 0264-3952 , JSTOR 90809
Barnes, EW (1904), "Sobre la teoría de la función gamma múltiple", Trans. Camb. Philos. Soc. , 19 : 374–425
Friedman, Eduardo; Ruijsenaars, Simon (2004), "Funciones zeta y gamma de Shintani – Barnes", Advances in Mathematics , 187 (2): 362–395, doi : 10.1016 / j.aim.2003.07.020 , ISSN 0001-8708 , MR 2078341
Ruijsenaars, SNM (2000), "On Barnes 'multiple zeta and gamma functions" , Advances in Mathematics , 156 (1): 107-132, doi : 10.1006 / aima.2000.1946 , ISSN 0001-8708 , MR 1800255

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