La paradoja del bebedor (también conocida como el teorema del bebedor, el principio del bebedor o el principio del bebedor ) es un teorema de la lógica de predicados clásica que puede enunciarse como "Hay alguien en el bar que, si está bebiendo, entonces todos en el pub está bebiendo ". Fue popularizado por el lógico matemático Raymond Smullyan , quien lo llamó el "principio de beber" en su libro de 1978 ¿Cuál es el nombre de este libro? [1]
La naturaleza aparentemente paradójica de la declaración proviene de la forma en que generalmente se expresa en lenguaje natural . Parece contradictorio tanto que pueda haber una persona que esté provocando que los demás beban, o que pueda haber una persona tal que durante toda la noche esa persona sea siempre la última en beber. La primera objeción proviene de confundir declaraciones formales "si entonces" con causalidad (ver Correlación no implica causalidad o Lógica de relevanciapara lógicas que exigen relaciones relevantes entre premisa y consecuente, a diferencia de la lógica clásica asumida aquí). El enunciado formal del teorema es atemporal, eliminando la segunda objeción porque la persona para la que el enunciado es verdadero en un instante no es necesariamente la misma persona para la que es verdadero en cualquier otro instante. [ cita requerida ]
El enunciado formal del teorema es
donde D es un predicado arbitrario y P es un conjunto arbitrario no vacío.
Pruebas
La prueba comienza reconociendo que es cierto que todos en el pub beben, o al menos una persona en el pub no bebe. En consecuencia, hay dos casos a considerar: [1] [2]
- Supongamos que todo el mundo está bebiendo. Para cualquier persona en particular, no puede ser incorrecto decir que si esa persona en particular está bebiendo, entonces todos en el pub beben, porque todos beben. Como todos beben, esa persona debe beber porque cuando esa persona bebe, todos beben, todos incluyen a esa persona. [1] [2]
- De lo contrario, al menos una persona no está bebiendo. Para cualquier persona que no bebe , la afirmación de si esa persona en particular está bebiendo, entonces todos en el bar beben es formalmente verdadera: su antecedente ("esa persona en particular está bebiendo") es falso, por lo tanto, la afirmación es verdadera debido a la naturaleza del material. implicación en la lógica formal, que establece que "Si P, entonces Q" es siempre verdadero si P es falso. [1] [2] (Se dice que este tipo de afirmaciones son vacuasmente verdaderas ).
Una forma un poco más formal de expresar lo anterior es decir que, si todo el mundo bebe, cualquiera puede ser testigo de la validez del teorema. Y si alguien no bebe, ese individuo en particular que no bebe puede ser testigo de la validez del teorema. [3]
Explicación de la paradoja
La paradoja se basa en última instancia en el principio de lógica formal de que el enunciado es verdadero siempre que A sea falso, es decir, cualquier enunciado se sigue de un enunciado falso [1] ( ex falso quodlibet ).
Lo importante para la paradoja es que el condicional en la lógica clásica (e intuicionista) es el condicional material . Tiene la propiedad de quees verdadero si B es verdadero o si A es falso (en la lógica clásica, pero no en la lógica intuicionista , esto también es una condición necesaria).
Entonces, como se aplicó aquí, la afirmación "si él está bebiendo, todos beben" se consideró correcta en un caso, si todos bebían, y en el otro caso, si él no bebía, aunque su forma de beber pudiera no ha tenido nada que ver con la bebida de nadie.
Por otro lado, en lenguaje natural, típicamente "si ... entonces ..." se usa como condicional indicativo .
Historia y variaciones
Smullyan en su libro de 1978 atribuye el nombre de "El principio de beber" a sus estudiantes de posgrado. [1] También analiza las variantes (obtenidas al reemplazar D con otros predicados más dramáticos):
- "Hay una mujer en la tierra que si se vuelve estéril, toda la raza humana morirá". Smullyan escribe que esta formulación surgió de una conversación que tuvo con el filósofo John Bacon. [1]
- Una versión "dual" del Principio: "hay al menos una persona tal que si alguien bebe, lo hace". [1]
Como "principio de los bebedores" de Smullyan o simplemente como "principio de los bebedores" aparece en "La búsqueda de la corrección" de HP Barendregt (1996), acompañado de algunas pruebas mecánicas. [2] Desde entonces ha aparecido regularmente como ejemplo en publicaciones sobre razonamiento automatizado ; a veces se utiliza para contrastar la expresividad de los asistentes de prueba . [4]
Dominio no vacío
En el entorno en el que se permiten dominios vacíos, la paradoja del bebedor debe formularse de la siguiente manera: [5]
Un conjunto P satisface
si y solo si no está vacío.
O en palabras:
- Si y solo si hay alguien en el pub, hay alguien en el pub de modo que, si está bebiendo, todos en el pub están bebiendo .
Ver también
Referencias
- ↑ a b c d e f g h Raymond Smullyan (1978). ¿Cuál es el nombre de este libro? El acertijo de Drácula y otros acertijos lógicos . Prentice Hall . capítulo 14. Cómo probar cualquier cosa. (tema) 250. El principio de beber. págs. 209-211. ISBN 0-13-955088-7.
- ^ a b c d HP Barendregt (1996). "La búsqueda de la corrección". Imágenes de SMC Research 1996 (PDF) . Stichting Mathematisch Centrum. págs. 54–55. ISBN 978-90-6196-462-9.
- ^ Peter J. Cameron (1999). Conjuntos, lógica y categorías . Saltador. pag. 91. ISBN 978-1-85233-056-9.
- ^ Freek Wiedijk. 2001. Mizar Light para HOL Light . En Proceedings of the 14th International Conference on Theorem Proving in Higher Order Logics (TPHOLs '01), Richard J. Boulton y Paul B. Jackson (Eds.). Springer-Verlag, Londres, Reino Unido, 378-394.
- ^ Martín Escardó; Paulo Oliva. "Conjuntos de búsqueda, compacidad de Dubuc-Penon, principios de omnisciencia y la paradoja del bebedor" (PDF) . Computabilidad en Europa 2010: 2. Cite journal requiere
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