La lógica de relevancia , también llamada lógica relevante , es un tipo de lógica no clásica que requiere que el antecedente y el consecuente de las implicaciones estén relacionados de manera relevante. Pueden verse como una familia de lógicas subestructurales o modales . (Por lo general, pero no universalmente, llamada lógica relevante por los británicos y, sobre todo, australianos lógicos , y la relevancia lógica por los lógicos estadounidenses.)
La lógica de relevancia tiene como objetivo capturar aspectos de implicación que son ignorados por el operador de " implicación material " en la lógica funcional de verdad clásica , es decir, la noción de relevancia entre antecedente y condicional de una implicación verdadera. Esta idea no es nueva: CI Lewis fue llevado a inventar la lógica modal, y específicamente la implicación estricta , sobre la base de que la lógica clásica otorga paradojas de implicación material como el principio de que una falsedad implica cualquier proposición . [1] [2]Por lo tanto, "si soy un burro, entonces dos y dos son cuatro" es verdadero cuando se traduce como una implicación material, pero parece intuitivamente falso ya que una implicación verdadera debe unir el antecedente y el consecuente por alguna noción de relevancia. Y si soy o no un burro no parece de ninguna manera relevante para si dos y dos son cuatro.
¿Cómo captura formalmente la lógica de relevancia una noción de relevancia? En términos de una restricción sintáctica para un cálculo proposicional , es necesario, pero no suficiente, que las premisas y la conclusión compartan fórmulas atómicas (fórmulas que no contienen conectivos lógicos ). En un cálculo de predicados , la relevancia requiere compartir variables y constantes entre premisas y conclusión. Esto puede garantizarse (junto con condiciones más estrictas), por ejemplo, imponiendo ciertas restricciones a las reglas de un sistema de deducción natural. En particular, una deducción natural al estilo de Fitch se puede adaptar para acomodar la relevancia introduciendo etiquetas al final de cada línea de una aplicación de una inferencia que indique las premisas relevantes para la conclusión de la inferencia. Los cálculos de secuencias de estilo Gentzen se pueden modificar eliminando las reglas de debilitamiento que permiten la introducción de fórmulas arbitrarias en el lado derecho o izquierdo de las secuencias .
Una característica notable de las lógicas de relevancia es que son lógicas paraconsistentes : la existencia de una contradicción no provocará una " explosión ". Esto se sigue del hecho de que un condicional con un antecedente contradictorio que no comparte ninguna letra proposicional o predicativa con el consecuente no puede ser verdadero (o derivable).
Historia
La lógica de la relevancia fue propuesta en 1928 por el filósofo ruso soviético Ivan E. Orlov (1886 - circa 1936) en su artículo estrictamente matemático "La lógica de la compatibilidad de las proposiciones" publicado en Matematicheskii Sbornik. La idea básica de implicación relevante aparece en la lógica medieval, y Ackermann , [3] Moh , [4] e Church [5] realizaron un trabajo pionero en la década de 1950. Basándose en ellos, Nuel Belnap y Alan Ross Anderson (con otros) escribieron la obra maestra del tema, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity in the 1970s (el segundo volumen se publicó en los noventa). Se centraron tanto en los sistemas de vinculación como en los sistemas de relevancia, donde se supone que las implicaciones de los primeros son relevantes y necesarias.
Axiomas
Los primeros desarrollos en la lógica de relevancia se centraron en los sistemas más fuertes. El desarrollo de la semántica de Routley-Meyer sacó a la luz una serie de lógicas más débiles. La más débil de estas lógicas es la lógica de relevancia B. Se axiomatiza con los siguientes axiomas y reglas.
Las reglas son las siguientes.
Se pueden obtener lógicas más sólidas agregando cualquiera de los siguientes axiomas.
Hay algunas lógicas notables más fuertes que B que se pueden obtener agregando axiomas a B de la siguiente manera.
- Para DW, agregue el axioma 1.
- Para DJ, agregue los axiomas 1, 2.
- Para TW, agregue los axiomas 1, 2, 3, 4.
- Para RW, agregue los axiomas 1, 2, 3, 4, 8, 9.
- Para T, agregue los axiomas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11.
- Para R, agregue los axiomas 1-11.
- Para E, agregue los axiomas 1-7, 10, 11, , y , dónde Se define como .
- Para RM, agregue todos los axiomas adicionales.
Modelos
Modelos de Routley-Meyer
La teoría del modelo estándar para las lógicas de relevancia es la semántica relacional ternaria de Routley-Meyer desarrollada por Richard Routley y Robert Meyer . Un marco de Routley-Meyer F para un lenguaje proposicional es un cuádruple (W, R, *, 0), donde W es un conjunto no vacío, R es una relación ternaria en W y * es una función de W a W, y. Un modelo M de Routley-Meyer es un marco F de Routley-Meyer junto con una valoración,, que asigna un valor de verdad a cada proposición atómica relativa a cada punto . Hay algunas condiciones impuestas en los marcos de Routley-Meyer. Definir como .
- .
- Si y , luego .
- Si y , luego .
- .
- Si , luego .
Escribir y para indicar que la fórmula es cierto, o no es cierto, respectivamente, en el punto en . Una condición final en los modelos de Routley-Meyer es la condición de herencia.
- Si y , luego , para todas las proposiciones atómicas .
Mediante un argumento inductivo, se puede demostrar que la herencia se extiende a fórmulas complejas, utilizando las siguientes condiciones de verdad.
- Si y , luego , para todas las fórmulas .
Las condiciones de verdad para fórmulas complejas son las siguientes.
- y
- o
Una fórmula sostiene en un modelo por si acaso . Una fórmula se sostiene en un marco si A se cumple en todos los modelos . Una fórmulaes válido en una clase de fotogramas si A se cumple en todos los fotogramas de esa clase. La clase de todos los marcos de Routley-Meyer que satisfacen las condiciones anteriores valida esa lógica de relevancia B. Se pueden obtener marcos de Routley-Meyer para otras lógicas de relevancia colocando las restricciones apropiadas en R y en *. Estas condiciones son más fáciles de establecer utilizando algunas definiciones estándar. Dejar ser definido como , y deja ser definido como . Algunas de las condiciones del marco y los axiomas que validan son los siguientes.
Nombre | Condición del cuadro | Axioma |
---|---|---|
Pseudo-modus ponens | ||
Prefijo | ||
Sufijo | ||
Contracción | ||
Silogismo conjuntivo | ||
Afirmación | ||
E axioma | ||
Mezcla axioma | o | |
Reductio | ||
Contraposición | ||
Medio excluido | ||
Debilitamiento de implicación estricta | ||
Debilitamiento |
Las dos últimas condiciones validan formas de debilitamiento que originalmente se desarrollaron para evitar las lógicas de relevancia. Se incluyen para mostrar la flexibilidad de los modelos Routley-Meyer.
Modelos operacionales
Modelos Urquhart
Alasdair Urquhart desarrolló modelos operativos para fragmentos libres de negación de lógicas de relevancia en su tesis doctoral y en trabajos posteriores. La idea intuitiva detrás de los modelos operativos es que los puntos en un modelo son piezas de información, y la combinación de información que respalda un condicional con la información que respalda su antecedente produce cierta información que respalda el consecuente. Dado que los modelos operativos generalmente no interpretan la negación, esta sección considerará solo los lenguajes con condicional, conjunción y disyunción.
Un marco operativo es un triple , dónde es un conjunto no vacío, , y es una operación binaria en . Los marcos tienen condiciones, algunas de las cuales pueden descartarse para modelar diferentes lógicas. Las condiciones que propuso Urquhart para modelar el condicional de la lógica de relevancia R son las siguientes.
En estas condiciones, el marco operativo es un semirretículo de unión .
Un modelo operativo es un marco con una valoración que mapea pares de puntos y proposiciones atómicas a valores de verdad, T o F. se puede ampliar a una valoración en fórmulas complejas de la siguiente manera.
- , para proposiciones atómicas
- y
- o
Una fórmula sostiene en un modelo si . Una fórmula es válido en una clase de modelos si se mantiene en cada modelo .
El fragmento condicional de R es sólido y completo con respecto a la clase de modelos de semirred. La lógica con conjunción y disyunción es propiamente más fuerte que el fragmento condicional, conjunción, disyunción de R. En particular, la fórmulaes válido para los modelos operacionales pero no es válido en R. La lógica generada por los modelos operacionales para R tiene un sistema de prueba axiomático completo, debido a Kit Fine ya Gerald Charlwood. Charlwood también proporcionó un sistema de deducción natural para la lógica, que demostró ser equivalente al sistema axiomático. Charlwood demostró que su sistema de deducción natural es equivalente a un sistema proporcionado por Dag Prawitz .
La semántica operativa se puede adaptar para modelar el condicional de E agregando un conjunto de mundos no vacíos y una relación de accesibilidad en a los marcos. Se requiere que la relación de accesibilidad sea reflexiva y transitiva, para capturar la idea de que el condicional de E tiene una necesidad de S4. Las valoraciones luego mapean triples de proposiciones atómicas, puntos y mundos a valores de verdad. La condición de verdad para el condicional se cambia a la siguiente.
La semántica operacional se puede adaptar para modelar el condicional de T agregando una relación en . Se requiere que la relación obedezca las siguientes condiciones.
- Si y , luego
- Si , luego
La condición de verdad para el condicional se cambia a la siguiente.
Hay dos formas de modelar las lógicas de relevancia sin contracciones TW y RW con los modelos operativos. La primera forma es eliminar la condición de que. La segunda forma es mantener las condiciones de semirrejilla en los marcos y agregar una relación binaria,, de desarticulación con el marco. Para estos modelos, las condiciones de verdad para el condicional se cambian a lo siguiente, con la adición del orden en el caso de TW.
Modelos de Humberstone
Urquhart demostró que la lógica semirredurada para R es propiamente más fuerte que el fragmento positivo de R. Lloyd Humberstone proporcionó un enriquecimiento de los modelos operacionales que permitieron una condición de verdad diferente para la disyunción. La clase de modelos resultante genera exactamente el fragmento positivo de R.
Un marco operativo es un cuádruple , dónde es un conjunto no vacío, , y {, } son operaciones binarias en . Dejar ser definido como . Las condiciones del marco son las siguientes.
- , y
Un modelo operativo es un marco con una valoración que mapea pares de puntos y proposiciones atómicas a valores de verdad, T o F. se puede ampliar a una valoración en fórmulas complejas de la siguiente manera.
- , para proposiciones atómicas
- y
- y
- o o ; y
Una fórmula sostiene en un modelo si . Una fórmula es válido en una clase de modelos si se mantiene en cada modelo .
El fragmento positivo de R es sólido y completo con respecto a la clase de estos modelos. La semántica de Humberstone se puede adaptar para modelar diferentes lógicas eliminando o agregando condiciones de marco de la siguiente manera.
Sistema | Condiciones del marco | |
---|---|---|
B | 1, 5-9, 14 | |
TW | 1, 11, 12, 5-9, 14 | |
EW | 1, 10, 11, 5-9, 14 | |
RW | 1-3, 5-9 | |
T | 1, 11, 12, 13, 5-9, 14 | |
mi | 1, 10, 11, 13, 5-9, 14 | |
R | 1-9 | |
RM | 1-3, 5-9, 15 |
Modelos algebraicos
A algunas lógicas de relevancia se les pueden dar modelos algebraicos, como la lógica R. Las estructuras algebraicas para R son monoides de Morgan , que son sextuplos dónde
- es una celosía distributiva con una operación unaria, obedecer las leyes y si luego ;
- , la operación binaria es conmutativa () y asociativo (), y , es decir es un monoide abeliano con identidad ;
- el monoide está ordenado en celosía y satisface ;
- ; y
- Si , luego .
La operacion interpretar el condicional de R se define como . Un monoide de Morgan es una red residual que obedece a la siguiente condición de residuo.
Una interpretación es un homomorfismo del lenguaje proposicional a un monoide de Morgan tal que
- para todas las proposiciones atómicas,
Dado un monoide de Morgan y una interpretación , se puede decir esa fórmula aferra por si acaso . Una fórmulaes válido en caso de que se mantenga en todas las interpretaciones de todos los monoides de Morgan. La lógica R es sólida y completa para los monoides de Morgan.
Ver también
- Non sequitur (lógica)
- Sistema de tipos relevantes , un sistema de tipos subestructurales
Referencias
- ^ Lewis, CI (1912). "Implicación y álgebra de la lógica". Mind , 21 (84): 522–531.
- ^ Lewis, CI (1917). "Las cuestiones relativas a la implicación material". Revista de filosofía, psicología y métodos científicos , 14 : 350–356.
- ↑ Ackermann, W. (1956), "Begründung einer strengen Implikation", Journal of Symbolic Logic , 21 (2): 113-128, JSTOR 2268750
- ^ Moh, Shaw-kwei (1950), "Los teoremas de la deducción y dos nuevos sistemas lógicos", Methodos , 2 : 56–75 Moh Shaw-Kwei, 1950, "," Methodos 2 56–75.
- ^ Church, A. (1951), La débil teoría de la implicaciónen Kontroliertes Denken: Untersuchungen zum Logikkalkül und zur Logik der Einzelwissenschaften , Kommissions-Verlag Karl Alber, editado por A. Menne, A. Wilhelmy y H. Angsil, págs. 22–37.
Bibliografía
- Alan Ross Anderson y Nuel Belnap , 1975. Entailment: la lógica de la relevancia y la necesidad, vol. Yo . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-07192-6
- ------- y JM Dunn, 1992. Entailment: la lógica de la relevancia y la necesidad, vol. II , Prensa de la Universidad de Princeton.
- Mares, Edwin y Meyer, RK, 2001, "Relevant Logics", en Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic . Blackwell.
- Richard Routley, Val Plumwood, Robert K. Meyer y Ross T. Brady. Lógicas relevantes y sus rivales . Ridgeview, 1982.
- R. Brady (ed.), Relevant Logics and their Rivals (Volumen II) , Aldershot: Ashgate, 2003.
- Urquhart, Alasdair (1972). "Semántica para lógicas relevantes" (PDF) . Revista de lógica simbólica . 37 : 159-169. doi : 10.2307 / 2272559 .
- Alasdair Urquhart. La semántica de la vinculación . Tesis de doctorado, Universidad de Pittsburgh, 1972.
- Katalin Bimbó , Relevance logics , en Philosophy of Logic , D. Jacquette (ed.), (Volumen 5 del Handbook of the Philosophy of Science , D. Gabbay, P. Thagard, J. Woods (eds.)), Elsevier (North -Holland), 2006, págs. 723–789.
- J. Michael Dunn y Greg Restall. Lógica de relevancia. En Handbook of Philosophical Logic , Volumen 6, F. Guenthner y D. Gabbay (eds.), Dordrecht: Kluwer, 2002, págs. 1-136.
- Stephen Read, Relevant Logic , Oxford: Blackwell, 1988.
- Humberstone, Lloyd (1987). "Semántica operacional para R positivo" . Diario de Notre Dame de lógica formal . 29 (1): 61–80. doi : 10.1305 / ndjfl / 1093637771 .
enlaces externos
- Enciclopedia de Filosofía de Stanford : " Lógica de relevancia " - por Edwin Mares.
- " Lógica de relevancia " - por J. Michael Dunn y Greg Restall
- Lógica relevante - por Stephen Read