En matemáticas , el concepto de álgebra lineal de base dual se puede aplicar en el contexto de una extensión finita L / K , utilizando la traza de campo . Esto requiere la propiedad de que el campo de traza Tr L / K proporciona un no degenerado forma cuadrática sobre K . Esto se puede garantizar si la extensión es separable ; es automáticamente cierto si K es un campo perfecto y, por tanto, en los casos en que K es finito o de característica cero.
Una base dual () no es una base concreta como la base polinomial o la base normal ; más bien proporciona una forma de utilizar una segunda base para los cálculos.
Considere dos bases para elementos en un campo finito , GF ( p m ):
y
entonces B 2 puede considerarse una base dual de B 1 siempre que
Aquí, la traza de un valor en GF ( p m ) se puede calcular de la siguiente manera:
El uso de una base dual puede proporcionar una forma de comunicarse fácilmente entre dispositivos que usan bases diferentes, en lugar de tener que convertir explícitamente entre bases utilizando la fórmula de cambio de bases . Además, si se implementa una base dual, la conversión de un elemento en la base original a la base dual se puede lograr con la multiplicación por la identidad multiplicativa (generalmente 1).
Referencias
- Lidl, Rudolf; Niederreiter, Harald (1994). Introducción a los campos finitos y sus aplicaciones . Cambridge: Cambridge University Press. doi : 10.1017 / cbo9781139172769 . ISBN 9781139172769., Definición 2.30, pág. 54.