En álgebra lineal , dado un espacio vectorial V con una base B de vectores indexados por un conjunto de índices I (la cardinalidad de I es la dimensionalidad de V ), el conjunto dual de B es un conjunto B ∗ de vectores en el espacio dual V ∗ con el mismo conjunto de índices I tal que B y B ∗ forman un sistema biortogonal . El conjunto dual siempre es linealmente independientepero no necesariamente abarca V ∗ . Si lo hace lapso V * , entonces B * se llama el doble fundamento o base de reciprocidad para la base B .
Denotando los conjuntos de vectores indexados como y , ser biortogonal significa que los elementos se emparejan para tener un producto interno igual a 1 si los índices son iguales, e igual a 0 en caso contrario. Simbólicamente, evaluando un vector dual en V ∗ sobre un vector en el espacio original V :
dónde es el símbolo delta de Kronecker .
Introducción
Para realizar operaciones con un vector, debemos tener un método sencillo para calcular sus componentes. En un marco cartesiano, la operación necesaria es el producto escalar del vector y el vector base. [1] Por ejemplo,
dónde son las bases en un marco cartesiano. Los componentes de puede ser encontrado por
En un marco no cartesiano, no necesariamente tenemos e i · e j = 0 para todo i ≠ j . Sin embargo, siempre es posible encontrar un vector e i tal que
La igualdad se cumple cuando e i es la base dual de e i .
En un marco cartesiano, tenemos
Existencia y singularidad
El conjunto dual siempre existe y da una inyección de V a V ∗ , es decir, el mapeo que envía v i a v i . Esto dice que, en particular, que el espacio dual tiene una mayor dimensión o igual a la de V .
Sin embargo, el conjunto dual de una V de dimensión infinita no abarca su espacio dual V ∗ . Por ejemplo, considere el mapa w en V ∗ de V a los escalares subyacentes F dados por w ( v i ) = 1 para todo i . Este mapa es claramente distinto de cero en todos los v i . Si w fuera una combinación lineal finita de los vectores de base dual v i , digamospara un subconjunto finito K de I , entonces para cualquier j que no esté en K ,, contradiciendo la definición de w . Entonces, este w no se encuentra en el intervalo del conjunto dual.
El dual de un espacio de dimensión infinita tiene mayor dimensionalidad (siendo esta una cardinalidad infinita mayor) que el espacio original, y por lo tanto estos no pueden tener una base con el mismo conjunto de indexación. Sin embargo, existe un conjunto dual de vectores, que define un subespacio del isomorfo dual al espacio original. Además, para los espacios vectoriales topológicos , se puede definir un espacio dual continuo , en cuyo caso puede existir una base dual.
Espacios vectoriales de dimensión finita
En el caso de los espacios vectoriales de dimensión finita, el conjunto dual es siempre una base dual y es único. Estas bases se indican mediante B = { e 1 ,…, e n } y B ∗ = { e 1 ,…, e n } . Si se denota la evaluación de un covector en un vector como un emparejamiento, la condición de biortogonalidad se convierte en:
La asociación de una base dual con una base da un mapa desde el espacio de bases de V al espacio de bases de V ∗ , y esto también es un isomorfismo. Para campos topológicos como los números reales, el espacio de duales es un espacio topológico , y esto da un homeomorfismo entre las variedades Stiefel de bases de estos espacios.
Una construcción categórica y algebraica del espacio dual
Otra forma de introducir el espacio dual de un espacio vectorial ( módulo ) es introduciéndolo en un sentido categórico. Para hacer esto, deja ser un módulo definido sobre el anillo (es decir, es un objeto en la categoría ). Luego definimos el espacio dual de, denotado , ser - estar , el módulo formado por todos -Homorfismos de módulo lineal de dentro . Nótese entonces que podemos definir un dual a lo dual, lo que se conoce como el doble dual de, Escrito como , y definido como .
Para construir formalmente una base para el espacio dual, restringiremos ahora nuestro punto de vista al caso donde es un libre de dimensión finita (izquierda) -módulo, donde es un anillo de unidad. Entonces, asumimos que el conjunto es una base para . A partir de aquí, definimos la función Kronecker Delta sobre la base por Si y Si . Entonces el set describe un conjunto linealmente independiente con cada . Desde es de dimensión finita, la base es de cardinalidad finita. Entonces, el set es una base para y es un libre (derecho) -módulo.
Ejemplos de
Por ejemplo, los vectores base estándar de R 2 (el plano cartesiano ) son
y los vectores base estándar de su espacio dual R 2 * son
En el espacio euclidiano tridimensional , para una base dada { e 1 , e 2 , e 3 }, puede encontrar la base biortogonal (dual) { e 1 , e 2 , e 3 } mediante las fórmulas siguientes:
donde T denota la transposición y
es el volumen del paralelepípedo formado por los vectores base y
En general, la base dual de una base en un espacio vectorial de dimensión finita se puede calcular fácilmente de la siguiente manera: dada la base y base dual correspondiente podemos construir matrices
Entonces, la propiedad definitoria de la base dual establece que
De ahí la matriz para la base dual se puede calcular como
Ver también
Notas
- ^ Lebedev, Cloud y Eremeyev 2010 , p. 12.
Referencias
- Lebedev, Leonid P .; Cloud, Michael J .; Eremeyev, Victor A. (2010). Análisis tensorial con aplicaciones a la mecánica . World Scientific. ISBN 978-981431312-4.
- "Encontrar la base dual" . Stack Exchange . 27 de mayo de 2012.