Operador Dunkl

En matemáticas , particularmente en el estudio de grupos de Lie , un operador de Dunkl es un cierto tipo de operador matemático , que involucra operadores diferenciales pero también reflejos en un espacio subyacente.

Formalmente, dejar que G sea un grupo de Coxeter con reducida sistema de raíces R y k _v una función arbitraria "multiplicidad" en R (por lo k _u = k _v siempre que las reflexiones sigma _u y σ _v correspondiente a las raíces u y v son conjugado en G ). Entonces, el operador Dunkl está definido por:

${\displaystyle T_{i}f(x)={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(x)+\sum _{v\in R_{+}}k_{v}{\frac {f(x)-f(x\sigma _{v})}{\left\langle x,v\right\rangle }}v_{i}}$

donde es el i componente -ésimo de v , 1 ≤ i ≤ N , x en R ^N , y f una función suave en R ^N .${\displaystyle v_{i}}$

Los operadores Dunkl fueron introducidos por Charles Dunkl  ( 1989 ). Uno de los principales resultados de Dunkl fue que los operadores de Dunkl "conmutan", es decir, satisfacen tal como lo hacen las derivadas parciales. Por tanto, los operadores de Dunkl representan una generalización significativa de derivadas parciales.${\displaystyle T_{i}(T_{j}f(x))=T_{j}(T_{i}f(x))}$

Referencias

• Dunkl, Charles F. (1989), "Operadores de diferencia diferencial asociados a grupos de reflexión", Transactions of the American Mathematical Society , 311 (1): 167–183, doi : 10.2307 / 2001022 , ISSN  0002-9947 , MR  0951883