En matemáticas , un operador es generalmente un mapeo o función que actúa sobre elementos de un espacio para producir elementos de otro espacio (posiblemente el mismo espacio, a veces se requiere que sea el mismo espacio). No existe una definición general de operador , pero el término se usa a menudo en lugar de función cuando el dominio es un conjunto de funciones u otros objetos estructurados. Además, el dominio de un operador a menudo es difícil de caracterizar explícitamente (por ejemplo, en el caso de un operador integral ), y puede extenderse a objetos relacionados (un operador que actúa sobre funciones puede actuar también sobreecuaciones diferenciales cuyas funciones son soluciones). Consulte Operador (física) para ver otros ejemplos.
Los operadores más básicos (en cierto sentido) son mapas lineales , que actúan sobre espacios vectoriales . Sin embargo, cuando se usa "operador lineal" en lugar de "mapa lineal", los matemáticos a menudo se refieren a acciones en espacios vectoriales de funciones , que también conservan otras propiedades, como la continuidad . Por ejemplo, la diferenciación y la integración indefinida son operadores lineales; Los operadores que se construyen a partir de ellos se denominan operadores diferenciales , operadores integrales u operadores integro-diferenciales .
El operador también se usa para denotar el símbolo de una operación matemática . Esto está relacionado con el significado de "operador" en la programación de computadoras , ver operador (programación de computadoras) .
Operadores lineales
El tipo de operador más común que se encuentra son los operadores lineales . Deje que U y V sean espacios vectoriales sobre un campo K . Un mapeo A : U → V es lineal si
para todos x , y en U por todas α, β en K . Esto significa que un operador lineal conserva las operaciones de espacio vectorial, en el sentido de que no importa si aplica el operador lineal antes o después de las operaciones de suma y multiplicación escalar. En palabras más técnicas, los operadores lineales son morfismos entre espacios vectoriales.
En el caso de dimensión finita, los operadores lineales se pueden representar mediante matrices de la siguiente manera. Dejar ser un campo, y y ser espacios vectoriales de dimensión finita sobre . Seleccionemos una base en y en . Entonces deja ser un vector arbitrario en (asumiendo la convención de Einstein ), yser un operador lineal. Luego
- .
Luego es la matriz del operador en bases fijas. no depende de la elección de , y Si . Así, en bases fijas, las matrices n-por-m están en correspondencia biyectiva con los operadores lineales de a .
Los conceptos importantes directamente relacionados con los operadores entre espacios vectoriales de dimensión finita son los de rango , determinante , operador inverso y autoespacio .
Los operadores lineales también juegan un papel importante en el caso de dimensión infinita. Los conceptos de rango y determinante no pueden extenderse a matrices de dimensión infinita. Es por esto que se emplean técnicas muy diferentes al estudiar operadores lineales (y operadores en general) en el caso de dimensión infinita. El estudio de operadores lineales en el caso de dimensión infinita se conoce como análisis funcional (llamado así porque varias clases de funciones forman ejemplos interesantes de espacios vectoriales de dimensión infinita).
El espacio de secuencias de números reales, o más generalmente secuencias de vectores en cualquier espacio vectorial, forman ellos mismos un espacio vectorial de dimensión infinita. Los casos más importantes son secuencias de números reales o complejos, y estos espacios, junto con los subespacios lineales, se conocen como espacios de secuencia . Los operadores en estos espacios se conocen como transformaciones de secuencia .
Los operadores lineales acotados sobre el espacio de Banach forman un álgebra de Banach con respecto a la norma de operador estándar. La teoría de las álgebras de Banach desarrolla un concepto muy general de espectros que generaliza elegantemente la teoría de los espacios propios.
Operadores acotados
Sean U y V dos espacios vectoriales sobre el mismo campo ordenado (por ejemplo,), y están equipados con normas . Entonces, un operador lineal de U a V se llama acotado si existe C > 0 tal que
para toda x en U .
Los operadores acotados forman un espacio vectorial. Sobre este espacio vectorial podemos introducir una norma que sea compatible con las normas de U y V :
- .
En el caso de operadores de U a sí mismo, se puede demostrar que
- .
Cualquier álgebra normalizada unital con esta propiedad se llama álgebra de Banach . Es posible generalizar la teoría espectral a tales álgebras. Las álgebras C * , que son álgebras de Banach con alguna estructura adicional, juegan un papel importante en la mecánica cuántica .
Ejemplos de
Geometría
En geometría , a veces se estudian estructuras adicionales en espacios vectoriales . Los operadores que mapean estos espacios vectoriales a sí mismos de forma biyectiva son muy útiles en estos estudios, naturalmente forman grupos por composición.
Por ejemplo, los operadores biyectivos que preservan la estructura de un espacio vectorial son precisamente los operadores lineales invertibles . Forman el grupo lineal general bajo composición. Ellos no forman un espacio vectorial bajo la adición de los operadores, por ejemplo, ambos Identificación y -id son invertible (biyectiva), pero su suma, 0, no lo es.
Los operadores que conservan la métrica euclidiana en dicho espacio forman el grupo de isometría , y los que fijan el origen forman un subgrupo conocido como grupo ortogonal . Los operadores del grupo ortogonal que también conservan la orientación de las tuplas vectoriales forman el grupo ortogonal especial o grupo de rotaciones.
Teoría de probabilidad
Los operadores también están involucrados en la teoría de la probabilidad, como la expectativa , la varianza y la covarianza . De hecho, cada covarianza es básicamente un producto escalar; toda varianza es un producto escalar de un vector consigo mismo y, por tanto, es una norma cuadrática; toda desviación estándar es una norma (raíz cuadrada de la norma cuadrática); el coseno correspondiente a este producto escalar es el coeficiente de correlación de Pearson ; El valor esperado es básicamente un operador integral (utilizado para medir formas ponderadas en el espacio).
Cálculo
Desde el punto de vista del análisis funcional , el cálculo es el estudio de dos operadores lineales: el operador diferencial y el operador de Volterra .
Serie de Fourier y transformada de Fourier
La transformada de Fourier es útil en matemáticas aplicadas, particularmente en física y procesamiento de señales. Es otro operador integral; es útil principalmente porque convierte una función en un dominio (temporal) en una función en otro dominio (frecuencia), de una manera efectivamente invertible . No se pierde información, ya que existe un operador de transformación inversa. En el caso simple de las funciones periódicas , este resultado se basa en el teorema de que cualquier función periódica continua se puede representar como la suma de una serie de ondas sinusoidales y ondas coseno:
La tupla (a 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 , ...) es de hecho un elemento de un espacio vectorial de dimensión infinita ℓ 2 , por lo que la serie de Fourier es un operador lineal.
Cuando se trata de la función general R → C , la transformada toma una forma integral :
Transformada de Laplace
La transformada de Laplace es otro operador integral y participa en la simplificación del proceso de resolución de ecuaciones diferenciales.
Dado f = f ( s ), se define por:
Operadores fundamentales en campos escalares y vectoriales
Tres operadores son clave para el cálculo vectorial :
- Grad ( degradado ), (con símbolo de operador ∇ {\ Displaystyle \ nabla} ) asigna un vector en cada punto de un campo escalar que apunta en la dirección de mayor tasa de cambio de ese campo y cuya norma mide el valor absoluto de esa mayor tasa de cambio.
- Div ( divergencia ), (con símbolo de operador ∇ ⋅ {\ Displaystyle \ nabla \ cdot} ) es un operador vectorial que mide la divergencia o convergencia de un campo vectorial hacia un punto dado.
- Curl , (con símbolo de operador ∇ × {\ Displaystyle \ nabla \ times} ) es un operador vectorial que mide la tendencia de curvatura (enrollamiento, rotación) de un campo vectorial en torno a un punto determinado.
Como una extensión de los operadores de cálculo vectorial a la física, la ingeniería y los espacios tensoriales, los operadores Grad, Div y Curl también se asocian a menudo con el cálculo tensorial y con el cálculo vectorial. [1]
Ver también
- Función
- Álgebra de operadores
- Lista de operadores
Referencias
- ^ hm schey (2005). Div Grad Curl y todo eso . Nueva York: WW Norton. ISBN 0-393-92516-1.