La lógica epistémica dinámica (DEL) es un marco lógico que se ocupa del cambio de conocimiento e información. Por lo general, DEL se enfoca en situaciones que involucran a múltiples agentes y estudia cómo cambia su conocimiento cuando ocurren los eventos . Estos eventos pueden cambiar las propiedades fácticas del mundo real (se denominan eventos ónticos ): por ejemplo, una tarjeta roja está pintada de azul. También pueden provocar cambios de conocimiento sin cambiar las propiedades fácticas del mundo (se denominan eventos epistémicos): por ejemplo, una tarjeta se revela públicamente (o en privado) como roja. Originalmente, DEL se centró en eventos epistémicos. En esta entrada solo presentamos algunas de las ideas básicas del marco DEL original; más detalles sobre DEL en general se pueden encontrar en las referencias.
Por la naturaleza de su objeto de estudio y su enfoque abstracto, DEL se relaciona y tiene aplicaciones en numerosas áreas de investigación, como la informática ( inteligencia artificial ), la filosofía ( epistemología formal ), la economía ( teoría de juegos ) y las ciencias cognitivas . En informática, DEL está, por ejemplo, muy relacionado con los sistemas multiagente , que son sistemas en los que varios agentes inteligentes interactúan e intercambian información.
Como combinación de lógica dinámica y lógica epistémica , la lógica epistémica dinámica es un campo de investigación joven. Realmente comenzó en 1989 con la lógica del anuncio público de Plaza. [1] Independientemente, Gerbrandy y Groeneveld [2] propusieron un sistema que se ocupaba además de los anuncios privados y que se inspiraba en el trabajo de Veltman. [3] Otro sistema fue propuesto por van Ditmarsch cuya principal inspiración fue el juego Cluedo . [4] Pero el sistema más influyente y original fue el propuesto por Baltag, Moss y Solecki. [5] [6] Este sistema puede abordar todos los tipos de situaciones estudiadas en los trabajos anteriores y su metodología subyacente se basa conceptualmente. Presentaremos en esta entrada algunas de sus ideas básicas.
Formalmente, DEL extiende la lógica epistémica ordinaria mediante la inclusión de modelos de eventos para describir acciones y un operador de actualización de productos que define cómo se actualizan los modelos epistémicos como consecuencia de la ejecución de acciones descritas a través de modelos de eventos. Primero se recordará la lógica epistémica . Luego, las acciones y los eventos entrarán en escena y presentaremos el marco DEL. [7]
Lógica epistémica
La lógica epistémica es una lógica modal que se ocupa de las nociones de conocimiento y creencia. Como lógica , se ocupa de comprender el proceso de razonamiento sobre el conocimiento y la creencia: ¿qué principios que relacionan las nociones de conocimiento y creencia son intuitivamente plausibles? Como la epistemología, proviene de la palabra griegao 'episteme' que significa conocimiento. Sin embargo, la epistemología se preocupa más por analizar la naturaleza y el alcance del conocimiento, abordando preguntas como "¿Cuál es la definición de conocimiento?" o “¿Cómo se adquieren los conocimientos?”. De hecho, la lógica epistémica surgió de la epistemología en la Edad Media gracias a los esfuerzos de Burley y Ockham. [8] El trabajo formal, basado en la lógica modal, que inauguró la investigación contemporánea sobre la lógica epistémica se remonta sólo a 1962 y se debe a Hintikka . [9] Luego, en la década de 1960, provocó discusiones sobre los principios del conocimiento y las creencias, y se propusieron y discutieron muchos axiomas para estas nociones. [10] Por ejemplo, los axiomas de interacción y a menudo se consideran principios intuitivos: si un agente sabe entonces (s) él también cree , o si un agente cree , entonces él sabe que él cree . Más recientemente, este tipo de teorías filosóficas fueron retomadas por investigadores en economía , [11] inteligencia artificial e informática teórica [12] donde el razonamiento sobre el conocimiento es un tema central. Debido al nuevo escenario en el que se utilizó la lógica epistémica, se agregaron nuevas perspectivas y nuevas características, como cuestiones de computabilidad , a la agenda de investigación de la lógica epistémica.
Sintaxis
En la secuela, es un conjunto finito cuyos elementos se denominan agentes y es un conjunto de letras proposicionales.
El lenguaje epistémico es una extensión del lenguaje multimodal básico de la lógica modal con un operador de conocimiento común .y un operador de conocimiento distribuido. Formalmente, el lenguaje epistémico se define inductivamente por la siguiente gramática en BNF :
dónde , y . El lenguaje epistémico básico es el idioma sin el conocimiento común y los operadores de conocimiento distribuido. La formula es una abreviatura de (para una dada ), es una abreviatura de , es una abreviatura de y una abreviatura de .
Nociones de grupo: conocimiento general, común y distribuido.
En un entorno de agentes múltiples hay tres conceptos epistémicos importantes: conocimiento general, conocimiento distribuido y conocimiento común. Lewis estudió por primera vez la noción de conocimiento común en el contexto de las convenciones. [13] Luego se aplicó a sistemas distribuidos [12] ya la teoría de juegos , [14] donde permite expresar que la racionalidad de los jugadores, las reglas del juego y el conjunto de jugadores son comúnmente conocidos.
Conocimientos generales.
Conocimiento general de significa que todos en el grupo de agentes saber eso . Formalmente, esto corresponde a la siguiente fórmula:
Conocimiento común.
Conocimiento común de significa que todo el mundo sabe pero también que todo el mundo sabe que todo el mundo sabe , que todo el mundo sabe que todo el mundo sabe que todo el mundo sabe y así hasta el infinito . Formalmente, esto corresponde a la siguiente fórmula
Como no permitimos la conjunción infinita, la noción de conocimiento común deberá introducirse como primitiva en nuestro lenguaje.
Antes de definir el lenguaje con este nuevo operador, vamos a dar un ejemplo presentado por Lewis que ilustra la diferencia entre las nociones de conocimiento general y conocimiento común. Lewis quería saber qué tipo de conocimiento se necesita para que la declaración: “Todo conductor debe conducir por la derecha” es una convención entre un grupo de agentes. En otras palabras, quería saber qué tipo de conocimiento se necesita para que todos se sientan seguros al conducir por la derecha. Supongamos que solo hay dos agentes y . Entonces todos sabiendo (formalmente ) no es suficiente. De hecho, es posible que el agente considera posible que el agente no sabe (formalmente ). En ese caso el agente no se sentirá seguro al conducir por la derecha porque podría considerar que el agente , sin saber , podría conducir por la izquierda. Para evitar este problema, podríamos asumir que todos saben que todos saben que (formalmente ). Nuevamente, esto no es suficiente para garantizar que todos se sientan seguros al conducir por la derecha. De hecho, es posible que el agente considera posible que el agente considera posible que el agente no sabe (formalmente ). En ese caso y deel punto de vista, considera posible que , sin saber , conducirá por la izquierda. Entonces deel punto de vista, también podría conducir por la izquierda (por el mismo argumento que el anterior). Entoncesno se sentirá seguro al conducir por la derecha. Razonando por inducción, Lewis demostró que para cualquier, no es suficiente para que los conductores se sientan seguros al conducir por la derecha. De hecho, lo que necesitamos es una conjunción infinita. En otras palabras, necesitamos un conocimiento común de: .
Conocimiento distribuido.
Conocimiento distribuido de significa que si los agentes sacaran su conocimiento por completo, sabrían que sostiene. En otras palabras, el conocimiento dese distribuye entre los agentes. La formula se lee como 'es conocimiento distribuido entre el conjunto de agentes que sostiene '.
Semántica
La lógica epistémica es una lógica modal . Entonces, lo que llamamos un modelo epistémico es solo un modelo de Kripke como se define en la lógica modal. El conjuntoes un conjunto no vacío cuyos elementos se denominan mundos posibles y la interpretación es una función que especifica qué hechos proposicionales (como "Ann tiene la tarjeta roja") son verdaderos en cada uno de estos mundos. Las relaciones de accesibilidad son relaciones binarias para cada agente; pretenden captar la incertidumbre de cada agente (sobre el mundo real y sobre la incertidumbre de los otros agentes). Intuitivamente, tenemos cuando el mundo es compatible con el agente la información en el mundo o, en otras palabras, cuando el agente considera ese mundo podría corresponder al mundo (desde este punto de vista). Escribimos abusivamente por y denota el conjunto de mundos .
Intuitivamente, un modelo epistémico puntiagudo , dónde , representa desde un punto de vista externo cómo el mundo real es percibido por los agentes .
Para cada modelo epistémico , cada y cada , definimos inductivamente por las siguientes condiciones de verdad :
si | ||
si | ||
si | ||
si | ||
si | ||
si |
dónde es el cierre transitivo de: tenemos eso si, y solo si, hay y tal que y para todos , .
A pesar de que la noción de creencia común tiene que ser introducida como primitiva en el lenguaje, podemos notar que la definición de modelos epistémicos no tiene que ser modificada para dar valor de verdad a los operadores de conocimiento común y conocimiento distribuido.
Ejemplo de tarjeta:
Jugadores , y (representa a Ann, Bob y Claire) juega un juego de cartas con tres cartas: una roja, una verde y una azul. Cada uno de ellos tiene una sola carta pero no conocen las cartas de los otros jugadores. Ann tiene la tarjeta roja, Bob tiene la tarjeta verde y Claire tiene la tarjeta azul. Este ejemplo se representa en el modelo epistémico puntiagudorepresentado a continuación. En este ejemplo, y . Cada mundo está etiquetado por las letras proposicionales que son verdaderas en este mundo ycorresponde al mundo actual. Hay una flecha indexada por agente. de un mundo posible a un mundo posible Cuándo . Se omiten las flechas reflexivas, lo que significa que para todos y todo , tenemos eso .
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/1/12/WikiDEL1b.png)
representa : " tiene la tarjeta roja ''
representar: " tiene la tarjeta azul ''
representa: " tiene la tarjeta verde ''
y así...
Cuando las relaciones de accesibilidad son relaciones de equivalencia (como en este ejemplo) y tenemos que , decimos que agente no puedo distinguir el mundo del mundo (o mundo es indistinguible del mundo para el agente ). Así por ejemplo, no puedo distinguir el mundo real del mundo posible donde tiene la tarjeta azul), tiene la tarjeta verde) y todavía tiene la tarjeta roja).
En particular, las siguientes declaraciones son válidas:
'Todos los agentes conocen el color de su tarjeta'.
' saber eso tiene la tarjeta azul o la verde y que tiene la tarjeta azul o la verde '.
'Todos saben eso tiene la tarjeta roja, verde o azul y esto es de conocimiento común entre todos los agentes '.
Conocimiento versus creencia
Usamos la misma notación tanto por el conocimiento como por la fe. Por tanto, dependiendo del contexto, leerá 'el agente K ahoras que sostiene 'o' el agente B elieves quesostiene '. Una diferencia crucial es que, a diferencia del conocimiento, las creencias pueden estar equivocadas : el axiomasólo se aplica al conocimiento, pero no necesariamente a la creencia. Este axioma llamado axioma T (de Verdad) establece que si el agente conoce una proposición, entonces esta proposición es verdadera. A menudo se considera que es el sello distintivo del conocimiento y no ha sido objeto de ningún ataque serio desde su introducción en el Theaetetus por Platón .
La noción de conocimiento podría cumplir con algunas otras restricciones (o axiomas) como : si agente sabe algo, ella sabe que lo sabe. Estas limitaciones pueden afectar la naturaleza de las relaciones de accesibilidadque luego puede cumplir con algunas propiedades adicionales. Entonces, ahora vamos a definir algunas clases particulares de modelos epistémicos que agregan algunas restricciones adicionales a las relaciones de accesibilidad.. Estas restricciones se corresponden con axiomas particulares para el operador del conocimiento.. Debajo de cada propiedad, damos el axioma que define [15] la clase de marcos epistémicos que cumplen con esta propiedad. ( representa para cualquier .)
de serie | |
D | |
transitivo | |
4 | |
Euclidicidad | |
5 | |
reflexivo | |
T | |
simétrico | |
B | |
confluente | |
.2 | |
débilmente conectado | |
.3 | |
semi-euclidiana | |
.3.2 | |
R1 | |
.4 |
Discutimos los axiomas anteriores. El axioma 4 establece que si el agente conoce una proposición, entonces sabe que la conoce (este axioma también se conoce como el "principio KK" o la "tesis KK"). En epistemología, el axioma 4 tiende a ser aceptado por internalistas , pero no por externalistas . [16] No obstante, el axioma 4 es ampliamente aceptado por los informáticos (pero también por muchos filósofos, incluidos Platón , Aristóteles , San Agustín , Spinoza y Schopenhauer , como recuerda Hintikka ). Un axioma más controvertido para la lógica del conocimiento es el axioma 5 para la euclidicidad: este axioma establece que si el agente no conoce una proposición, entonces sabe que no la conoce. La mayoría de los filósofos (incluido Hintikka) han atacado este axioma, ya que numerosos ejemplos de la vida cotidiana parecen invalidarlo. [17] En general, el axioma 5 se invalida cuando el agente tiene creencias erróneas, lo que puede deberse, por ejemplo, a percepciones erróneas, mentiras u otras formas de engaño. El axioma B establece que no puede darse el caso de que el agente considere posible que conozca una proposición falsa (es decir,). Si asumimos que los axiomas T y 4 son válidos, entonces el axioma B cae presa del mismo ataque que el del axioma 5, ya que este axioma es derivable. El axioma D establece que las creencias del agente son consistentes. En combinación con el axioma K (donde el operador de conocimiento es reemplazado por un operador de creencias), el axioma D es de hecho equivalente a un axioma D 'más simple que transmite, quizás más explícitamente, el hecho de que las creencias del agente no pueden ser inconsistentes:. Los otros complejos axiomas .2, .3, .3.2 y .4 han sido introducidos por lógicos epistémicos como Lenzen y Kutchera en la década de 1970 [10] [18] y presentados para algunos de ellos como axiomas clave de la lógica epistémica. Pueden caracterizarse en términos de axiomas de interacción intuitiva que relacionan conocimientos y creencias. [19]
Axiomatización
El sistema de prueba de Hilbert K para la lógica modal básica se define mediante los siguientes axiomas y reglas de inferencia : para todos,
Apuntalar | Todos los axiomas y reglas de inferencia de la lógica proposicional |
K | |
Comité ejecutivo nacional | Si luego |
Los axiomas de una lógica epistémica muestran obviamente la forma en que los agentes razonan. Por ejemplo, el axioma K junto con la regla de inferencia Nec implican que si conozco () y yo sé que implica ( entonces se que (). Se pueden agregar restricciones más fuertes. Los siguientes sistemas de prueba para se utilizan a menudo en la literatura.
KD45 | = | K + D + 4 + 5 | S4.2 | = | S4 + .2 | S4.3.2 | = | S4 + .3.2 | S5 | = | S4 + 5 | |||||||||
S4 | = | K + T + 4 | S4.3 | = | S4 + .3 | S4.4 | = | S4 + .4 | Br | = | K + T + B |
Definimos el conjunto de sistemas de prueba .
Además, para todos , definimos el sistema de prueba agregando los siguientes esquemas de axiomas y reglas de inferencia a los de. Para todos,
Dis | |
Mezcla | |
Indiana |
La fuerza relativa de los sistemas de prueba para el conocimiento es la siguiente:
Entonces, todos los teoremas de son también teoremas de y . Muchos filósofos afirman que en los casos más generales, la lógica del conocimiento es o . [18] [20] Normalmente, en informática y en muchas de las teorías desarrolladas en inteligencia artificial, la lógica de la creencia ( lógica doxástica ) se consideray la lógica del conocimiento ( lógica epistémica ) se toma como, incluso si solo es adecuado para situaciones en las que los agentes no tienen creencias erróneas. [17] ha sido propuesto por Floridi como la lógica de la noción de 'estar informado' que se diferencia principalmente de la lógica del conocimiento por la ausencia de introspección de los agentes. [21]
Para todos , la clase de–Modelos o–Modelos es la clase de modelos epistémicos cuyas relaciones de accesibilidad satisfacen las propiedades enumeradas anteriormente definidas por los axiomas de o . Entonces, para todos, es sólido y muy completo para wrt la clase de –Modelos y es sólido y muy completo para wrt la clase de –Modelos.
Decidibilidad y complejidad
El problema de la satisfacibilidad para todas las lógicas introducidas es decidible . Enumeramos a continuación la complejidad computacional del problema de satisfacibilidad para cada uno de ellos. Tenga en cuenta que se vuelve lineal en el tiempo si solo hay un número finito de letras proposicionales en el idioma. Para, si nos restringimos al anidamiento finito, entonces el problema de satisfacibilidad es NP-completo para todas las lógicas modales consideradas. Si luego restringimos aún más el lenguaje para que tenga solo un número finito de proposiciones primitivas, la complejidad se reduce a lineal en el tiempo en todos los casos. [22] [23]
Lógica | con conocimiento común | ||
---|---|---|---|
K, S4 | PSPACE | PSPACE | EXPTIME |
KD45 | notario público | PSPACE | EXPTIME |
S5 | notario público | PSPACE | EXPTIME |
La complejidad computacional del problema de verificación del modelo está en P en todos los casos.
Añadiendo dinámica
La Lógica Epistémica Dinámica (DEL) es un marco lógico para modelar situaciones epistémicas que involucran a varios agentes y los cambios que ocurren en estas situaciones como resultado de la información entrante o de una acción entrante en general. La metodología de DEL es tal que divide la tarea de representar las creencias y conocimientos de los agentes en tres partes:
- Uno representa sus creencias sobre una situación inicial gracias a un modelo epistémico ;
- Uno representa sus creencias sobre un evento que tiene lugar en esta situación gracias a un modelo de evento ;
- Uno representa la forma en que los agentes actualizan sus creencias sobre la situación después (o durante) la ocurrencia del evento gracias a una actualización de producto .
Normalmente, un evento informativo puede ser un anuncio público para todos los agentes de una fórmula. : este anuncio público y actualización correlativa constituyen la parte dinámica. Sin embargo, los eventos epistémicos pueden ser mucho más complejos que un simple anuncio público, incluyendo ocultar información para algunos de los agentes, hacer trampa, mentir, engañar, etc. Esta complejidad se aborda cuando introducimos la noción de modelo de evento. Primero nos centraremos en los anuncios públicos para tener una intuición de las principales ideas subyacentes de DEL.
Eventos publicos
En esta sección, asumimos que todos los eventos son públicos. Comenzamos dando un ejemplo concreto donde se puede usar DEL, para comprender mejor lo que está sucediendo. Este ejemplo se llama el rompecabezas de los niños embarrados . Luego, presentaremos una formalización de este rompecabezas en una lógica llamada Lógica de Anuncio Público (PAL). El rompecabezas de los niños embarrados es uno de los rompecabezas más conocidos que jugó un papel en el desarrollo de DEL. Otros rompecabezas importantes incluyen la suma y el producto de puzzle , el dilema de Monty Hall , el problema de las tarjetas de Rusia , el problema de dos sobres , la paradoja de Moore , la paradoja del ahorcado , etc . [24]
Ejemplo de niños fangosos:
Tenemos dos hijos, A y B, ambos sucios. A puede ver a B pero no a sí mismo, y B puede ver a A pero no a sí misma. Dejar ser la proposición que dice que A está sucio, y sea la proposición que dice que B está sucio.
- Representamos la situación inicial mediante el modelo epistémico puntiagudo representado a continuación, donde las relaciones entre mundos son relaciones de equivalencia. Estados representar intuitivamente mundos posibles, una proposición (por ejemplo ) satisfactorio en uno de estos mundos significa intuitivamente que en el mundo posible correspondiente, la interpretación intuitiva de (A es sucio) es cierto. Los vínculos entre mundos etiquetados por agentes (A o B) expresan intuitivamente una noción de indistinguibilidad para el agente en juego entre dos mundos posibles. Por ejemplo, el vínculo entre y etiquetado por A intuitivamente significa que A no puede distinguir el mundo posible de y viceversa. De hecho, A no puede verse a sí mismo, por lo que no puede distinguir entre un mundo donde está sucio y uno donde no está sucio. Sin embargo, puede distinguir entre mundos donde B está sucio o no porque puede ver B. Con esta interpretación intuitiva llegamos a asumir que nuestras relaciones entre mundos son relaciones de equivalencia. Situación inicial: modelo epistémico puntiagudo
- Ahora, supongamos que su padre viene y anuncia que al menos uno está sucio (formalmente, ). Luego actualizamos el modelo y esto produce el modelo epistémico puntiagudo que se representa a continuación. Lo que realmente hacemos es suprimir los mundos donde no se cumple el contenido del anuncio. En nuestro caso, este es el mundo donde y son verdaderas. Esta supresión es lo que llamamos actualización. Luego obtenemos el modelo que se muestra a continuación. Como resultado del anuncio, tanto A como B saben que al menos uno de ellos está sucio. Podemos leer esto desde el modelo epistémico. Modelo epistémico actualizado después del primer anuncio.
- Ahora suponga que hay un segundo (y último) anuncio que dice que ninguno de los dos sabe que están sucios (un anuncio puede expresar hechos sobre la situación así como hechos epistémicos sobre el conocimiento que tienen los agentes). Luego actualizamos de manera similar el modelo suprimiendo los mundos que no satisfacen el contenido del anuncio, o de manera equivalente, manteniendo los mundos que satisfacen el anuncio. Este proceso de actualización produce así el modelo epistémico puntual que se representa a continuación. Al interpretar este modelo, obtenemos que A y B saben que están sucios, lo que parece contradecir el contenido del anuncio. Sin embargo, si asumimos que A y B son ambos razonadores perfectos y que esto es de conocimiento común entre ellos, entonces esta inferencia tiene perfecto sentido.
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Lógica de anuncio público (PAL):
Presentamos la sintaxis y semántica de Public Announcement Logic (PAL), que combina características de la lógica epistémica y la lógica proposicional dinámica . [25]
Definimos el idiomainductivamente por la siguiente gramática en BNF :
dónde .
El idioma se interpreta sobre modelos epistémicos. Las condiciones de verdad para las conectivas del lenguaje epistémico son las mismas que en la lógica epistémica (ver arriba). La condición de verdad para la nueva modalidad de acción dinámica se define de la siguiente manera:
si |
dónde con
,
para todos y
.
La formula intuitivamente significa que después de un anuncio veraz de , sostiene. Un anuncio público de una propuesta. cambia el modelo epistémico actual como en la figura siguiente.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/5/5b/WikiDEL5b.png)
El sistema de prueba definido a continuación es sólido y muy completo para wrt la clase de todos los modelos epistémicos puntiagudos.
Los axiomas y las reglas de inferencia del sistema de prueba (véase más arriba) | ||
Rojo 1 | ||
rojo 2 | ||
Rojo 3 | ||
Rojo 4 |
Los axiomas Rojo 1 - Rojo 4 se denominan axiomas de reducción porque permiten reducir cualquier fórmula de a una fórmula demostrablemente equivalente de en . La formulaes un teorema demostrable en. Afirma que tras un anuncio público de, el agente sabe que sostiene.
PAL es decidible , su problema de verificación de modelo se puede resolver en tiempo polinomial y su problema de satisfacibilidad es PSPACE completo . [26]
Puzzle infantil fangoso formalizado con PAL:
Estas son algunas de las afirmaciones que se sostienen en el fangoso rompecabezas de los niños formalizado en PAL.
'En la situación inicial, A está sucio y B está sucio'.
'En la situación inicial, A no sabe si está sucio y B tampoco'.
'After the public announcement that at least one of the children A and B is dirty, both of then know that at least one of them is dirty'. However:
'After the public announcement that at least one of the children A and B is dirty, they still do not know that they are dirty'. Moreover:
'After the successive public announcements that at least one of the children A and B is dirty and that they still do not know whether they are dirty, A and B then both know that they are dirty'.
In this last statement, we see at work an interesting feature of the update process: a formula is not necessarily true after being announced. That is what we technically call “self-persistence” and this problem arises for epistemic formulas (unlike propositional formulas). One must not confuse the announcement and the update induced by this announcement, which might cancel some of the information encoded in the announcement.[27]
Arbitrary Events
In this section, we assume that events are not necessarily public and we focus on items 2 and 3 above, namely on how to represent events and on how to update an epistemic model with such a representation of events by means of a product update.
Event Model
Epistemic models are used to model how agents perceive the actual world. Their perception can also be described in terms of knowledge and beliefs about the world and about the other agents’ beliefs. The insight of the DEL approach is that one can describe how an event is perceived by the agents in a very similar way. Indeed, the agents’ perception of an event can also be described in terms of knowledge and beliefs. For example, the private announcement of to that her card is red can also be described in terms of knowledge and beliefs: while tells that her card is red (event ) believes that nothing happens (event ). This leads to define the notion of event model whose definition is very similar to that of an epistemic model.
A pointed event model represents how the actual event represented by is perceived by the agents. Intuitively, means that while the possible event represented by is occurring, agent considers possible that the possible event represented by is actually occurring.
An event model is a tuple where:
- is a non-empty set of possible events,
- is a binary relation called an accessibility relation on , for each ,
- is a function called the precondition function assigning to each possible event a formula of .
denotes the set .We write for , and is called a pointed event model ( often represents the actual event).
Card Example:
Let us resume the card example and assume that players and show their card to each other. As it turns out, noticed that showed her card to but did not notice that did so to . Players and know this. This event is represented below in the event model .
The possible event corresponds to the actual event ‘players and show their and cards respectively to each other’ (with precondition ), stands for the event ‘player shows her green card’ (with precondition ) and stands for the atomic event ‘player shows her red card’ (with precondition ). Players and show their cards to each other, players and know this and consider it possible, while player considers possible that player shows her red card and also considers possible that player shows her green card, since he does not know her card. In fact, that is all that player considers possible because she did not notice that showed her card.
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Another example of event model is given below. This second example corresponds to the event whereby Player shows her red card publicly to everybody. Player shows her red card, players , and ‘know’ it, players , and ‘know’ that each of them ‘knows’ it, etc. In other words, there is common knowledge among players , and that player shows her red card.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/8/8e/WikiDEL7b.png)
Product Update
The DEL product update is defined below.[5] This update yields a new pointed epistemic model representing how the new situation which was previously represented by is perceived by the agents after the occurrence of the event represented by .
Let be an epistemic model and let be an event model. The product update of and is the epistemic model defined as follows: for all and all ,
= | ||
= | ||
= |
If and are such that then denotes the pointed epistemic model . This definition of the product update is conceptually grounded.[6]
Card Example:
As a result of the first event described above (Players and show their cards to each other in front of player ), the agents update their beliefs. We get the situation represented in the pointed epistemic model below. In this pointed epistemic model, the following statement holds: It states that player knows that player has the card but player 'believes' that it is not the case.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/f/f1/WikiDEL8b.png)
The result of the second event is represented below. In this pointed epistemic model, the following statement holds: . It states that there is common knowledge among and that they know the true state of the world (namely has the red card, has the green card and has the blue card), but does not know it.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/a/ac/WikiDEL9b.png)
Based on these three components (epistemic model, event model and product update), Baltag, Moss and Solecki defined a general logical language inspired from the logical language of propositional dynamic logic[25] to reason about information and knowledge change.[5][6]
Ver también
- Epistemic logic
- Epistemology
- Logic in computer science
- Modal logic
Notas
- ^ Plaza, Jan (2007-07-26). "Logics of public communications". Synthese. 158 (2): 165–179. doi:10.1007/s11229-007-9168-7. ISSN 0039-7857.
- ^ Gerbrandy, Jelle; Groeneveld, Willem (1997-04-01). "Reasoning about Information Change". Journal of Logic, Language and Information. 6 (2): 147–169. doi:10.1023/A:1008222603071. ISSN 0925-8531.
- ^ Veltman, Frank (1996-06-01). "Defaults in update semantics". Journal of Philosophical Logic. 25 (3): 221–261. CiteSeerX 10.1.1.77.9349. doi:10.1007/BF00248150. ISSN 0022-3611.
- ^ Ditmarsch, Hans P. van (2002-06-01). "Descriptions of Game Actions". Journal of Logic, Language and Information. 11 (3): 349–365. doi:10.1023/A:1015590229647. ISSN 0925-8531.
- ^ a b c Alexandru Baltag; Lawrence S. Moss; Slawomir Solecki (1998). "The Logic of Public Announcements and Common Knowledge and Private Suspicions". Theoretical Aspects of Rationality and Knowledge (TARK).
- ^ a b c Baltag, Alexandru; Moss, Lawrence S. (2004-03-01). "Logics for Epistemic Programs". Synthese. 139 (2): 165–224. doi:10.1023/B:SYNT.0000024912.56773.5e. ISSN 0039-7857.
- ^ A distinction is sometimes made between events and actions, an action being a specific type of event performed by an agent.
- ^ Boh, Ivan (1993). Epistemic Logic in the later Middle Ages. Routledge. ISBN 978-0415057264.
- ^ Jaako, Hintikka (1962). Knowledge and Belief, An Introduction to the Logic of the Two Notions. Ithaca and London: Cornell University Press. ISBN 978-1904987086.
- ^ a b Lenzen, Wolfgang (1978). "Recent Work in Epistemic Logic". Acta Philosophica Fennica.
- ^ Battigalli, Pierpaolo; Bonanno, Giacomo (1999-06-01). "Recent results on belief, knowledge and the epistemic foundations of game theory" (PDF). Research in Economics. 53 (2): 149–225. doi:10.1006/reec.1999.0187. hdl:10419/189483.
- ^ a b Ronald Fagin; Joseph Halpern; Yoram Moses; Moshe Vardi (1995). Reasoning about Knowledge. MIT Press. ISBN 9780262562003.
- ^ Lewis, David (1969). Convention, a Philosophical Study. Harvard University Press. ISBN 978-0674170254.
- ^ Aumann, Robert J. (1976-11-01). "Agreeing to Disagree". The Annals of Statistics. 4 (6): 1236–1239. doi:10.1214/aos/1176343654. JSTOR 2958591.
- ^ Patrick Blackburn; Maarten de Rijke; Yde Venema (2001). Modal Logic. Cambridge University Press. ISBN 978-0521527149.
- ^ "Internet Encyclopedia of Philosophy » KK Principle (Knowing that One Knows) Internet Encyclopedia of Philosophy » Print". www.iep.utm.edu. Archived from the original on 2016-03-04. Retrieved 2015-12-11.
- ^ a b For example, assume that a university professor believes (is certain) that one of her colleague’s seminars is on Thursday (formally ). She is actually wrong because it is on Tuesday (). Therefore, she does not know that her colleague’s seminar is on Tuesday (). If we assume that axiom is valid then we should conclude that she knows that she does not know that her colleague’s seminar is on Tuesday () (and therefore she also believes that she does not know it: ). This is obviously counterintuitive.
- ^ a b Lenzen, Wolfgang (1979-03-01). "Epistemologische betrachtungen zu [S4, S5]". Erkenntnis (in German). 14 (1): 33–56. doi:10.1007/BF00205012. ISSN 0165-0106.
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Referencias
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enlaces externos
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