Lógica modal epistémica

La lógica modal epistémica es un subcampo de la lógica modal que se ocupa del razonamiento sobre el conocimiento . Si bien la epistemología tiene una larga tradición filosófica que se remonta a la antigua Grecia , la lógica epistémica es un desarrollo mucho más reciente con aplicaciones en muchos campos, incluida la filosofía , la informática teórica , la inteligencia artificial , la economía y la lingüística . Mientras que los filósofos desde Aristóteles han discutido la lógica modal, y los filósofos medievales como Avicena , Ockham yDuns Scotus desarrolló muchas de sus observaciones, fue CI Lewis quien creó el primer acercamiento simbólico y sistemático al tema, en 1912. Continuó madurando como campo, alcanzando su forma moderna en 1963 con el trabajo de Kripke .

Desarrollo histórico

Muchos documentos fueron escritos en la década de 1950 que hablaban de una lógica del conocimiento, de paso, pero era filósofo finlandés von Wright 's papel de un ensayo en lógica modal a partir de 1951 que se ve como un documento de fundación. No fue hasta 1962 que otro finlandés, Hintikka , escribiría Knowledge and Belief , la primera obra de tamaño de un libro que sugiere el uso de modalidades para capturar la semántica del conocimiento en lugar de los enunciados aléticos típicamente discutidos en la lógica modal. Este trabajo sentó muchas de las bases para el tema, pero se ha llevado a cabo una gran cantidad de investigación desde entonces. Por ejemplo, la lógica epistémica se ha combinado recientemente con algunas ideas de la lógica dinámica para crearlógica epistémica dinámica , que se puede utilizar para especificar y razonar sobre el cambio de información y el intercambio de información en sistemas de múltiples agentes . Las obras fundamentales en este campo son de Plaza, Van Benthem y Baltag, Moss y Solecki.

Modelo estándar de mundos posibles

La mayoría de los intentos de modelar el conocimiento se han basado en el modelo de mundos posibles . Para hacer esto, debemos dividir el conjunto de mundos posibles entre los que son compatibles con el conocimiento de un agente y los que no lo son. Esto generalmente se ajusta al uso común. Si sé que es viernes o sábado, estoy seguro de que no es jueves. No hay mundo posible compatible con mi conocimiento donde es jueves, ya que en todos estos mundos es viernes o sábado. Si bien discutiremos principalmente el enfoque basado en la lógica para lograr esta tarea, vale la pena mencionar aquí el otro método primario en uso, el eventoenfoque basado en En este uso particular, los eventos son conjuntos de mundos posibles y el conocimiento es un operador de eventos. Aunque las estrategias están estrechamente relacionadas, hay dos distinciones importantes entre ellas:

• El modelo matemático subyacente del enfoque basado en la lógica es la semántica de Kripke , mientras que el enfoque basado en eventos emplea las estructuras de Aumann relacionadas .
• En el enfoque basado en eventos, las fórmulas lógicas se eliminan por completo, mientras que el enfoque basado en la lógica utiliza el sistema de lógica modal.

Por lo general, el enfoque basado en la lógica se ha utilizado en campos como la filosofía, la lógica y la inteligencia artificial, mientras que el enfoque basado en eventos se utiliza con más frecuencia en campos como la teoría de juegos y la economía matemática . En el enfoque basado en la lógica, se ha construido una sintaxis y una semántica utilizando el lenguaje de la lógica modal, que ahora describiremos.

Sintaxis

El operador modal básico de la lógica epistémica, generalmente escrito K , puede leerse como "se sabe que", "es epistémicamente necesario que" o "es inconsistente con lo que se sabe que no". Si hay más de un agente cuyo conocimiento es para ser representados, subíndices se pueden unir al operador ( , , etc.) para indicar que un agente está hablando. Por tanto, se puede leer como "El agente lo sabe ". Así, la lógica epistémica puede ser un ejemplo de lógica multimodal aplicada a la representación del conocimiento . ^[1] El dual de K , que estaría en la misma relación con K que con${\displaystyle {\mathit {K}}_{1}}$${\displaystyle {\mathit {K}}_{2}}$${\displaystyle {\mathit {K}}_{a}\varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \Diamond }$${\displaystyle \Box }$, no tiene un símbolo específico, pero puede ser representado por , que puede leerse como " no sabe que no " o "es consistente con el conocimiento de que es posible". La declaración " no sabe si " se puede expresar como .${\displaystyle \neg K_{a}\neg \varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \neg K_{a}\varphi \land \neg K_{a}\neg \varphi }$

Para acomodar las nociones de conocimiento común y conocimiento distribuido , se pueden agregar al lenguaje otros tres operadores modales. Estos son , que dice "todo agente del grupo G sabe"; , que dice "es de conocimiento común para todos los agentes en G"; y , que dice "es conocimiento distribuido a todos los agentes en G." Si es una fórmula de nuestro lenguaje, entonces también lo son , y . Así como el subíndice después se puede omitir cuando sólo hay un agente, el subíndice después de que los operadores modales , y se puede omitir cuando el grupo es el conjunto de todos los agentes.${\displaystyle {\mathit {E}}_{\mathit {G}}}$${\displaystyle {\mathit {C}}_{\mathit {G}}}$${\displaystyle {\mathit {D}}_{\mathit {G}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathit {E}}_{G}\varphi }$${\displaystyle {\mathit {C}}_{G}\varphi }$${\displaystyle {\mathit {D}}_{G}\varphi }$${\displaystyle {\mathit {K}}}$${\displaystyle {\mathit {E}}}$${\displaystyle {\mathit {C}}}$${\displaystyle {\mathit {D}}}$

Semántica

Como mencionamos anteriormente, el enfoque basado en la lógica se basa en el modelo de mundos posibles, cuya semántica a menudo se da una forma definida en las estructuras de Kripke, también conocidas como modelos de Kripke. Una estructura de Kripke M para n agentes es una tupla (n + 2) , donde S es un conjunto no vacío de estados o mundos posibles , es una interpretación , que asocia con cada estado en S una asignación de verdad a las proposiciones primitivas en , y son relaciones binarias en S para n números de agentes. Es importante aquí no confundir nuestro operador modal y nuestra relación de accesibilidad.${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle (S,\pi ,{\mathcal {K}}_{1},...,{\mathcal {K}}_{n})}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\mathcal {K}}_{1},...,{\mathcal {K}}_{n}}$${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$

La asignación de verdad nos dice si una proposición p es verdadera o falsa en cierto estado. Entonces nos dice si p es cierto en el estado s del modelo . La verdad depende no solo de la estructura, sino también del mundo actual. El hecho de que algo sea cierto en un mundo no significa que sea cierto en otro. Para afirmar que una fórmula es verdadera en un mundo determinado, se escribe , normalmente se lee como " es verdadera en (M, s)" o "(M, s) satisface ".${\displaystyle \pi (s)(p)}$${\displaystyle {\mathcal {M}}}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (M,s)\models \varphi }$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi }$

Es útil pensar en nuestra relación binaria como una relación de posibilidad , porque está destinada a capturar qué mundos o estados el agente i considera posibles. En las explicaciones idealizadas del conocimiento (por ejemplo, describiendo el estado epistémico de los razonadores perfectos con capacidad de memoria infinita), tiene sentido que sea una relación de equivalencia , ya que esta es la forma más fuerte y la más apropiada para el mayor número de aplicaciones. Una relación de equivalencia es una relación binaria que es reflexiva , simétrica y transitiva.${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$. La relación de accesibilidad no tiene por qué tener estas cualidades; Ciertamente, hay otras opciones posibles, como las que se utilizan al modelar creencias en lugar de conocimientos.

Las propiedades del conocimiento

Suponiendo que se trata de una relación de equivalencia y que los agentes son razonadores perfectos, se pueden derivar algunas propiedades del conocimiento. Las propiedades enumeradas aquí a menudo se conocen como las "Propiedades de S5", por las razones que se describen en la sección de Axiom Systems a continuación.${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$

El axioma de la distribución

Este axioma se conoce tradicionalmente como K . En términos epistémicos, establece que si un agente sabe y sabe eso , entonces el agente también debe saberlo . Entonces,${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \varphi \implies \psi }$${\displaystyle \,\psi }$

${\displaystyle (K_{i}\varphi \land K_{i}(\varphi \implies \psi ))\implies K_{i}\psi }$

Este axioma es válido en cualquier marco de la semántica relacional .

La regla de generalización del conocimiento

Otra propiedad que podemos derivar es que si es válido, entonces . Esto no significa que si es cierto, entonces el agente yo lo sé . Lo que significa es que si es cierto en todos los mundos que un agente considera un mundo posible, entonces el agente debe conocer en todos los mundos posibles. Este principio se denomina tradicionalmente N .${\displaystyle \phi }$${\displaystyle K_{i}\phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle {\text{if }}\models \varphi {\text{ then }}M\models K_{i}\varphi .\,}$

Esta regla siempre preserva la verdad en la semántica relacional .

El axioma del conocimiento o la verdad

Este axioma es también conocido como T . Dice que si un agente conoce los hechos, los hechos deben ser verdaderos. Esto se ha tomado a menudo como la principal característica distintiva entre conocimiento y creencia. Podemos creer que una declaración es verdadera cuando es falsa, pero sería imposible conocer una declaración falsa.

${\displaystyle K_{i}\varphi \implies \varphi }$

Este axioma es válido en cualquier marco reflexivo .

El axioma de la introspección positiva

Esta propiedad y la siguiente establecen que un agente tiene introspección sobre su propio conocimiento y se conocen tradicionalmente como 4 y 5 , respectivamente. El axioma de introspección positiva, también conocido como axioma KK, dice específicamente que los agentes saben que saben lo que saben . Este axioma puede parecer menos obvio que los enumerados anteriormente, y Timothy Williamson se ha opuesto a su inclusión enérgicamente en su libro, El conocimiento y sus límites .

${\displaystyle K_{i}\varphi \implies K_{i}K_{i}\varphi }$

Este axioma es válido en cualquier marco transitivo .

El axioma de la introspección negativa

El axioma de la introspección negativa dice que los agentes saben que no saben lo que no saben .

${\displaystyle \neg K_{i}\varphi \implies K_{i}\neg K_{i}\varphi }$

Este axioma es válido en cualquier marco euclidiano .

Sistemas Axiom

Se pueden derivar diferentes lógicas modales tomando diferentes subconjuntos de estos axiomas, y estas lógicas normalmente reciben el nombre de los axiomas importantes que se emplean. Sin embargo, este no es siempre el caso. KT45, la lógica modal que resulta de la combinación de K , T , 4 , 5 y la regla de generalización del conocimiento, se conoce principalmente como S5 . Esta es la razón por la que las propiedades del conocimiento descritas anteriormente a menudo se denominan Propiedades S5.

La lógica epistémica también se ocupa de la creencia, no solo del conocimiento. El operador modal básica se suele escribir B en lugar de K . En este caso, sin embargo, el axioma de conocimiento ya no parece correcto (los agentes solo a veces creen la verdad), por lo que generalmente se reemplaza con el axioma de coherencia, tradicionalmente llamado D :

${\displaystyle \neg B_{i}\bot }$

que establece que el agente no cree una contradicción, o lo que es falso. Cuando D reemplaza a T en S5, el sistema resultante se conoce como KD45. Esto también da como resultado diferentes propiedades para . Por ejemplo, en un sistema en el que un agente "cree" que algo es cierto, pero en realidad no es cierto, la relación de accesibilidad no sería reflexiva. La lógica de la creencia se llama lógica doxástica .${\displaystyle {\mathcal {K}}_{i}}$

Problemas con el posible modelo mundial y modelo modal de conocimiento

Si tomamos los mundos posibles se acercan al conocimiento, se deduce que nuestro agente epistémico una conoce todas las consecuencias lógicas de sus creencias. Si es una consecuencia lógica de , entonces no hay mundo posible donde sea ​​verdadero pero no lo sea. Así que si una sabe que , se deduce que todas las consecuencias lógicas de son verdad de todos los mundos posibles compatibles con un creencias 's. Por lo tanto, una sabe . No es epistémicamente posible que un eso no, dado su conocimiento de eso . Esta consideración fue parte de lo que llevó a Robert Stalnaker a desarrollar${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$bidimensionalismo , que podría decirse que puede explicar cómo es posible que no conozcamos todas las consecuencias lógicas de nuestras creencias, incluso si no hay mundos en los que las proposiciones que conocemos resulten verdaderas pero sus consecuencias falsas. ^[2]

Incluso cuando ignoramos la posible semántica del mundo y nos ceñimos a los sistemas axiomáticos, esta característica peculiar se mantiene. Con K y N (la regla de distribución y la regla de generalización del conocimiento, respectivamente), que son axiomas que son mínimamente verdaderos de todas las lógicas modales normales, podemos demostrar que conocemos todas las consecuencias lógicas de nuestras creencias. Si es una consecuencia lógica de , a continuación, podemos derivar con N y la prueba condicional y luego con K . Cuando traducimos esto en términos epistémicos, esto dice que si es una consecuencia lógica de , entonces a sabe que lo es, y si a sabe${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {K}}_{a}(P\rightarrow Q)}$${\displaystyle {\mathcal {K}}_{a}P\rightarrow {\mathcal {K}}_{a}Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$, un sabe . Es decir, una conoce todas las consecuencias lógicas de cada proposición. Esto es necesariamente cierto para todas las lógicas modales clásicas. Pero entonces, por ejemplo, si a sabe que los números primos son divisibles solo por ellos mismos y el número uno, entonces a sabe que 8683317618811886495518194401279999999 es primo (ya que este número solo es divisible por sí mismo y el número uno). Es decir, bajo la interpretación modal del conocimiento, cuando a conoce la definición de un número primo, a sabe que ese número es primo. Debe quedar claro en este punto que un${\displaystyle Q}$no es humano. Esto muestra que la lógica modal epistémica es una explicación idealizada del conocimiento, y explica el conocimiento objetivo, más que subjetivo (si es que lo hay). ^[3]

Ver también

• Conocimiento común
• Cierre epistémico
• Epistemología
• Lógica en informática
• Lógica modal
• Explicaciones filosóficas
• Bidimensionalismo

Notas

1. p. 257 en: Ferenczi, Miklós (2002). Matematikai logika (en húngaro). Budapest: Műszaki könyvkiadó. ISBN 963-16-2870-1.

   257

2. Acosador, Robert. "Proposiciones". Problemas de la filosofía del lenguaje . Yale UP, 1976. pág. 101.
3. Véase Lógica de la filosofía de Ted Sider. Actualmente página 230, pero sujeto a cambios después de las actualizaciones.

Referencias

• Anderson, A. y ND Belnap. Vinculación: la lógica de la relevancia y la necesidad. Princeton: Princeton University Press , 1975. ASIN B001NNPJL8.
• Brown, Benjamin, Pensamientos y formas de pensar: teoría de la fuente y sus aplicaciones. Londres: Ubiquity Press , 2017. [1] .
• van Ditmarsch Hans, Halpern Joseph Y., van der Hoek Wiebe y Kooi Barteld (eds.), Manual de lógica epistémica , Londres: Publicaciones universitarias, 2015.
• Fagin, Ronald; Halpern, Joseph; Moisés, Yoram; Vardi, Moshe (2003). Razonamiento sobre el conocimiento . Cambridge: MIT Press . ISBN 978-0-262-56200-3.. Una referencia clásica.
• Ronald Fagin, Joseph Halpern, Moshe Vardi. "Un enfoque no estándar para el problema de la omnisciencia lógica". Inteligencia artificial , Volumen 79, Número 2, 1995, p. 203-40.
• Hendricks, VF Epistemología formal y convencional. Nueva York: Cambridge University Press , 2007.
• Hintikka, Jaakko (1962). Conocimiento y creencia: una introducción a la lógica de las dos nociones . Ithaca: Cornell University Press . ISBN 978-1-904987-08-6..
• Meyer, JJ C., 2001, "Epistemic Logic", en Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic . Blackwell .
• Montague, R. "Gramática universal". Theoretica , Volumen 36, 1970, pág. 373-398.
• Rescher, Nicolas (2005). Lógica epistémica: un estudio de la lógica del conocimiento . Prensa de la Universidad de Pittsburgh . ISBN 978-0-8229-4246-7..
• Shoham, Yoav; Leyton-Brown, Kevin (2009). Sistemas multiagente: fundamentos algorítmicos, teóricos de juegos y lógicos . Nueva York: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-89943-7.. Véanse los capítulos 13 y 14; descargable gratis en línea .

Enlaces externos

• "Lógica dinámica epistémica" . Enciclopedia de Filosofía de Internet .
• Hendricks, Vincent; Symons, John. "Lógica epistémica" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
• Garson, James. "Lógica modal" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
• Vanderschraaf, Peter. "Conocimiento común" . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .
• Lógica modal epistémica en PhilPapers
• " Lógica modal epistémica " —Ho Ngoc Duc.