En mecánica de fluidos , la similitud dinámica es el fenómeno de que cuando hay dos recipientes geométricamente similares (la misma forma, diferentes tamaños) con las mismas condiciones de contorno (por ejemplo, sin deslizamiento, velocidad de la línea central) y los mismos números de Reynolds y Womersley , entonces los flujos de fluido serán idénticos. Esto se puede ver en la inspección de la ecuación de Navier-Stokes subyacente , con cuerpos geométricamente similares, números de Reynolds y Womersley iguales, las funciones de velocidad (u ', v', w ') y presión (P') para cualquier variación de flujo. [1]
Derivación
El número de Reynolds y el número de Womersley son los únicos dos parámetros físicos necesarios para resolver un problema de flujo de fluido incompresible. El número de Reynolds viene dado por:
Los términos de la ecuación en sí representan lo siguiente:
- .
Cuando el número de Reynolds es grande, muestra que el flujo está dominado por efectos inerciales convectivos; Cuando el número de Reynolds es pequeño, muestra que el flujo está dominado por efectos de cizallamiento. El número de Womersley viene dado por:
- ,
que es simplemente la raíz cuadrada del número de Stokes; los términos de la ecuación en sí representan lo siguiente:
- .
Cuando el número de Womersley es grande (alrededor de 10 o más), muestra que el flujo está dominado por fuerzas de inercia oscilatorias y que el perfil de velocidad es plano. Cuando el parámetro de Womersley es bajo, las fuerzas viscosas tienden a dominar el flujo, los perfiles de velocidad tienen forma parabólica y la velocidad de la línea central oscila en fase con el gradiente de presión impulsora. [2]
Comenzando con la ecuación de Navier-Stokes para el flujo cartesiano:
- .
Los términos de la ecuación en sí representan lo siguiente:
Ignorando las fuerzas gravitacionales y dividiendo la ecuación por densidad () rinde:
- ,
dónde es la viscosidad cinemática. Dado que tanto los números de Reynolds como los de Womersley son adimensionales, Navier-Stokes también debe representarse como una expresión adimensional. Elegir, , y como una velocidad, frecuencia y longitud características, respectivamente, produce variables adimensionales: Longitud adimensional Término (lo mismo para y 'y z'):, Término de velocidad adimensional (lo mismo para v 'y w'): , Término de presión adimensional: , Término de tiempo adimensional: . Dividiendo la ecuación de Navier-Stokes por (Término de fuerza inercial convectiva) da:
- ,
Con la adición de la ecuación de continuidad adimensional (que se ve a continuación) en cualquier problema de flujo de fluido incompresible, los números de Reynolds y Womersley son los únicos dos parámetros físicos que están en las dos ecuaciones:
- , [4]
Espesor de la capa límite
Los números de Reynolds y Womersley también se utilizan para calcular el grosor de las capas límite que pueden formarse a partir de los efectos viscosos del flujo de fluido. El número de Reynolds se usa para calcular el espesor de la capa límite de inercia convectiva que se puede formar, y el número de Womersley se usa para calcular el espesor de la frontera inercial transitoria que se puede formar. A partir del número de Womersley se puede demostrar que la fuerza de inercia transitoria está representada por, y desde el último término en la ecuación de Navier-Stokes no modificada que la fuerza viscosa está representada por (el subíndice uno indica que el espesor de la capa límite es el de la capa límite transitoria). Al igualar las dos fuerzas se obtiene: Resolviendo para rinde: Agregar una longitud característica (L) a ambos lados da la relación: Por lo tanto, se puede ver que cuando el flujo tiene un número de Womersley alto, el espesor de la capa límite transitoria es muy pequeño, en comparación con la longitud característica, que para los vasos circulares es el radio. Como se mostró anteriormente, la fuerza de inercia convectiva está representada por el término; equiparando eso con el término de fuerza viscosa se obtiene: Resolviendo para el espesor de la capa límite convectiva se obtiene: Factorizar una longitud característica da la relación: De la ecuación se muestra que para un flujo con un número de Reynolds grande, habrá una capa límite convectiva correspondientemente pequeña en comparación con la longitud característica del recipiente. [5] Al conocer los números de Reynolds y Womersley para un flujo dado, es posible calcular los espesores de la capa límite transitoria y convectiva, y relacionarlos con un flujo en otro sistema. El espesor de la capa límite también es útil para saber cuándo se puede tratar el fluido como un fluido ideal. Esto es a una distancia que es mayor que ambos espesores de capa límite. [6]
Ver también
Referencias
- ^ Jones, Robert T. "Flujo sanguíneo", Revisión anual de mecánica de fluidos , 1 (1969) 223: 244.
- ^ Ku, David N. "Flujo sanguíneo en las arterias", Revisión anual de mecánica de fluidos , 1 (1969) 223: 44.
- ^ Fung, Yuan-cheng. "Biomecánica: Circulación", Similitud dinámica , "Nueva York: Springer", 2 (2008) 130: 134.
- ^ van de Vosse, Frans M. "Propagación de ondas de pulso en el árbol arterial" . Revisión anual de mecánica de fluidos , 43 (2011) 467: 499.
- ^ Skalak, Richard. Biofluid Mechanics, Annual Review Fluid Mechanics , 21 (1989) 167: 204.
- ^ Taylor, M G. "Hemodinámica", Revisión anual de fisiología , 35 (1973) 87: 116.