En la física , las ecuaciones de Navier-Stokes ( / n æ v j eɪ s t oʊ k s / ) son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que describen el movimiento de fluidos viscosos sustancias, el nombre de ingeniero y físico francés Claude-Louis Navier y El físico y matemático angloirlandés George Gabriel Stokes .
Las ecuaciones de Navier-Stokes expresan matemáticamente la conservación del momento y la conservación de la masa para los fluidos newtonianos . A veces van acompañadas de una ecuación de estado que relaciona la presión , la temperatura y la densidad . [1] Surgen de aplicar la segunda ley de Isaac Newton al movimiento de un fluido , junto con la suposición de que la tensión en el fluido es la suma de un término viscoso en difusión (proporcional al gradiente de velocidad) y un término de presión, por lo que se describeflujo viscoso . La diferencia entre ellas y las ecuaciones de Euler estrechamente relacionadas es que las ecuaciones de Navier-Stokes tienen en cuenta la viscosidad, mientras que las ecuaciones de Euler modelan únicamente el flujo no viscoso . Como resultado, las Navier-Stokes son una ecuación parabólica y, por lo tanto, tienen mejores propiedades analíticas, a expensas de tener menos estructura matemática (por ejemplo, nunca son completamente integrables ).
Las ecuaciones de Navier-Stokes son útiles porque describen la física de muchos fenómenos de interés científico y de ingeniería . Pueden usarse para modelar el clima, las corrientes oceánicas , el flujo de agua en una tubería y el flujo de aire alrededor de un ala . Las ecuaciones de Navier-Stokes, en su forma completa y simplificada, ayudan con el diseño de aviones y automóviles, el estudio del flujo sanguíneo, el diseño de centrales eléctricas, el análisis de la contaminación y muchas otras cosas. Junto con las ecuaciones de Maxwell , se pueden utilizar para modelar y estudiar la magnetohidrodinámica .
Las ecuaciones de Navier-Stokes también son de gran interés en un sentido puramente matemático. A pesar de su amplia gama de usos prácticos, aún no se ha demostrado si las soluciones fluidas siempre existen en tres dimensiones, es decir, son infinitamente diferenciables (o incluso limitadas) en todos los puntos del dominio . Esto se denomina problema de existencia y suavidad de Navier-Stokes . El Instituto de Matemáticas de la arcilla ha llamado a esto uno de los siete problemas abiertos más importantes de las matemáticas y ha ofrecido un US $ premio de 1 millón de dólares para una solución o un contraejemplo. [2] [3]
Velocidad de flujo
La solución de las ecuaciones es una velocidad de flujo . Es un campo vectorial: a cada punto de un fluido, en cualquier momento de un intervalo de tiempo, le da un vector cuya dirección y magnitud son las de la velocidad del fluido en ese punto en el espacio y en ese momento en el tiempo. Por lo general, se estudia en tres dimensiones espaciales y una dimensión de tiempo, aunque los casos de dos dimensiones (espaciales) y de estado estacionario se utilizan a menudo como modelos, y los análogos de dimensiones superiores se estudian tanto en matemáticas puras como aplicadas. Una vez que se calcula el campo de velocidad, se pueden encontrar otras cantidades de interés, como la presión o la temperatura , utilizando ecuaciones y relaciones dinámicas. Esto es diferente de lo que normalmente se ve en la mecánica clásica , donde las soluciones son típicamente trayectorias de posición de una partícula o desviación de un continuo . Estudiar la velocidad en lugar de la posición tiene más sentido para un fluido, aunque para fines de visualización se pueden calcular varias trayectorias . En particular, las líneas de corriente de un campo vectorial, interpretadas como velocidad de flujo, son las trayectorias por las que viajaría una partícula de fluido sin masa. Estos caminos son las curvas integrales cuya derivada en cada punto es igual al campo vectorial y pueden representar visualmente el comportamiento del campo vectorial en un punto en el tiempo.
Ecuaciones continuas generales
La ecuación de momento de Navier-Stokes se puede derivar como una forma particular de la ecuación de momento de Cauchy , cuya forma convectiva general es
Al establecer el tensor de tensión de Cauchy σ como la suma de un término de viscosidad τ (la tensión desviadora ) y un término de presión - p I (tensión volumétrica) llegamos a
dónde
- D/Dtes el derivado material , definido como∂/∂ t+ u ⋅ ∇ ,
- ρ es la densidad,
- u es la velocidad del flujo,
- ∇ ⋅ es la divergencia ,
- p es la presión ,
- t es el tiempo ,
- τ es el tensor de tensión desviador , que tiene orden 2,
- g representa las aceleraciones del cuerpo que actúan sobre el continuo, por ejemplo, la gravedad , las aceleraciones inerciales , las aceleraciones electrostáticas , etc.
De esta forma, es evidente que en el supuesto de un fluido no viscoso, sin tensión desviadora, las ecuaciones de Cauchy se reducen a las ecuaciones de Euler .
Suponiendo la conservación de la masa , podemos usar la ecuación de continuidad de masa (o simplemente la ecuación de continuidad),
para llegar a la forma de conservación de las ecuaciones de movimiento. Esto se escribe a menudo: [4]
donde ⊗ es el producto exterior :
El lado izquierdo de la ecuación describe la aceleración y puede estar compuesto por componentes convectivos y dependientes del tiempo (también los efectos de las coordenadas no inerciales, si están presentes). El lado derecho de la ecuación es, en efecto, una suma de los efectos hidrostáticos, la divergencia de la tensión desviadora y las fuerzas corporales (como la gravedad).
Todas las ecuaciones de equilibrio no relativistas, como las ecuaciones de Navier-Stokes, pueden derivarse comenzando con las ecuaciones de Cauchy y especificando el tensor de tensión a través de una relación constitutiva . Al expresar el tensor de esfuerzo desviador (cortante) en términos de viscosidad y gradiente de velocidad del fluido , y asumiendo una viscosidad constante, las ecuaciones de Cauchy anteriores conducirán a las ecuaciones de Navier-Stokes que se muestran a continuación.
Aceleración convectiva
Una característica importante de la ecuación de Cauchy y, en consecuencia, de todas las demás ecuaciones continuas (incluidas Euler y Navier-Stokes) es la presencia de aceleración convectiva: el efecto de la aceleración de un flujo con respecto al espacio. Si bien las partículas de fluido individuales experimentan una aceleración dependiente del tiempo, la aceleración convectiva del campo de flujo es un efecto espacial, un ejemplo es el fluido que se acelera en una boquilla.
Flujo compresible
Observación: aquí, el tensor de tensión de Cauchy se denota σ (en lugar de τ como estaba en las ecuaciones continuas generales y en la sección de flujo incompresible ).
La ecuación de Navier-Stokes del momento compresible resulta de los siguientes supuestos sobre el tensor de tensión de Cauchy: [5]
- la tensión es invariante de Galileo : no depende directamente de la velocidad del flujo, sino solo de las derivadas espaciales de la velocidad del flujo. Entonces, la variable de tensión es el gradiente tensorial ∇ u .
- la tensión es lineal en esta variable: σ (∇ u ) = C : (∇ u ) , donde C es el tensor de cuarto orden que representa la constante de proporcionalidad, llamado tensor de viscosidad o elasticidad , y: es el producto de doble punto .
- se supone que el fluido es isótropo , como ocurre con los gases y los líquidos simples, y por tanto V es un tensor isótropo; además, dado que el tensor de tensiones es simétrico, por descomposición de Helmholtz se puede expresar en términos de dos parámetros escalares de Lamé , la viscosidad aparente λ y la viscosidad dinámica μ , como es habitual en la elasticidad lineal :
- donde I es el tensor de identidad, ε (∇ u ) ≡ 1/2∇ u + 1/2(∇ u ) T es el tensor de tasa de deformación y ∇ · u es la tasa de expansión del flujo. Entonces esta descomposición se puede definir explícitamente como:
Dado que la traza del tensor de velocidad de deformación en tres dimensiones es:
La traza del tensor de tensión en tres dimensiones se convierte en:
Entonces, al descomponer alternativamente el tensor de tensión en partes isotrópicas y desviadoras , como es habitual en la dinámica de fluidos: [6]
Introduciendo la segunda viscosidad ζ ,
llegamos a la ecuación constitutiva lineal en la forma generalmente empleada en hidráulica térmica : [5]
Tanto la segunda viscosidad ζ como la viscosidad dinámica μ no necesitan ser constantes; en general, dependen de la densidad, entre sí (la viscosidad se expresa en presión) y en los flujos comprimibles también de la temperatura. Cualquier ecuación que explique [ revise la ortografía ] uno de estos coeficientes de transporte en las variables de conservación se llama ecuación de estado . [7]
La más general de las ecuaciones de Navier-Stokes se convierte en
En la mayoría de los casos, se puede suponer que la segunda viscosidad ζ es constante. El efecto de la viscosidad volumétrica ζ es que la presión mecánica no es equivalente a la presión termodinámica : [8] Dado que
se suele introducir presión modificada
para eliminar el término correspondiente a la segunda viscosidad. Esta diferencia generalmente se pasa por alto, a veces asumiendo explícitamente ζ = 0 , pero podría tener un impacto en la absorción y atenuación del sonido y las ondas de choque. [9] Con esta simplificación, las ecuaciones de Navier-Stokes se convierten en
Si también se supone que la viscosidad dinámica μ es constante, las ecuaciones se pueden simplificar aún más. Calculando la divergencia del tensor de tensiones, dado que la divergencia del tensor ∇ u es ∇ 2 u y la divergencia del tensor (∇ u ) T es ∇ (∇ · u ) , finalmente se llega al compresible (el más general) Navier– Ecuación de la cantidad de movimiento de Stokes: [10]
dónde D/Dtes el derivado material . El lado izquierdo cambia en la forma de conservación de la ecuación de momento de Navier-Stokes:
Se asume que la viscosidad a granel es constante, de lo contrario no debe sacarse de la última derivada. El término de aceleración convectiva también se puede escribir como
- ,
donde el vector (∇ × u ) × u se conoce como vector Lamb .
Para el caso especial de un flujo incompresible , la presión restringe el flujo de modo que el volumen de los elementos del fluido sea constante: flujo isocórico que da como resultado un campo de velocidad solenoidal con ∇ · u = 0. [11]
Flujo incompresible
La ecuación de Navier-Stokes del momento incompresible resulta de los siguientes supuestos sobre el tensor de tensión de Cauchy: [5]
- la tensión es invariante de Galileo : no depende directamente de la velocidad del flujo, sino solo de las derivadas espaciales de la velocidad del flujo. Entonces, la variable de tensión es el gradiente tensorial ∇ u .
- se supone que el fluido es isótropo , como ocurre con los gases y los líquidos simples, y por tanto τ es un tensor isótropo; además, dado que el tensor de tensión desviador se puede expresar en términos de la viscosidad dinámica μ :
- dónde
- es el tensor de velocidad de deformación . Entonces, esta descomposición se puede explicar como: [5]
La viscosidad dinámica μ no tiene por qué ser constante; en flujos incompresibles puede depender de la densidad y de la presión. Cualquier ecuación que explique [ revise la ortografía ] uno de estos coeficientes de transporte en las variables conservadoras se llama ecuación de estado . [7]
La divergencia de la tensión desviadora viene dada por:
porque ∇ ⋅ u = 0 para un fluido incompresible.
La incompatibilidad descarta las ondas de densidad y presión como el sonido o las ondas de choque , por lo que esta simplificación no es útil si estos fenómenos son de interés. La suposición de flujo incompresible generalmente se mantiene bien con todos los fluidos en números de Mach bajos (digamos hasta aproximadamente Mach 0,3), como para modelar vientos de aire a temperaturas normales. [12] Para flujos incompresibles (densidad uniforme ρ 0 ) se cumple la siguiente identidad:
donde w es el trabajo termodinámico específico (con el sentido de por unidad de masa ) , el término fuente interna. Entonces, las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes se visualizan mejor dividiendo por la densidad:
donde 𝜈 = μ/ρ 0se llama viscosidad cinemática .
Perfil de velocidad (flujo laminar):
para la dirección y , simplifique la ecuación de Navier-Stokes:
Integre dos veces para encontrar el perfil de velocidad con condiciones de contorno y = h , u = 0 , y = - h , u = 0 :
A partir de esta ecuación, sustituya las dos condiciones de contorno para obtener dos ecuaciones:
Suma y resuelve para B :
Sustituye y resuelve para A :
Finalmente, esto da el perfil de velocidad:
Vale la pena observar el significado de cada término (compárelo con la ecuación de impulso de Cauchy ):
El término de orden superior, a saber, la divergencia del esfuerzo cortante ∇ · τ , simplemente se ha reducido al vector término laplaciano μ ∇ 2 u . [13] Este término laplaciano puede interpretarse como la diferencia entre la velocidad en un punto y la velocidad media en un pequeño volumen circundante. Esto implica que, para un fluido newtoniano, la viscosidad opera como una difusión de la cantidad de movimiento , de manera muy similar a la conducción de calor . De hecho, ignorando el término de convección, las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles conducen a una ecuación de difusión vectorial (es decir, ecuaciones de Stokes ), pero en general el término de convección está presente, por lo que las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles pertenecen a la clase de ecuaciones de convección-difusión .
En el caso habitual de que un campo externo sea un campo conservador :
definiendo la cabeza hidráulica :
finalmente se puede condensar toda la fuente en un término, llegando a la ecuación incompresible de Navier-Stokes con un campo externo conservador:
Las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes con campo externo conservador es la ecuación fundamental de la hidráulica . El dominio de estas ecuaciones es comúnmente un espacio euclidiano de 3 o menos , para el cual un marco de referencia de coordenadas ortogonales generalmente se establece para explícito el sistema de ecuaciones diferenciales parciales escalares que se resolverán. En los sistemas de coordenadas ortogonales tridimensionales son 3: cartesiano , cilíndrico y esférico . Expresar la ecuación vectorial de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas es bastante sencillo y no está muy influenciado por el número de dimensiones del espacio euclidiano empleado, y este es el caso también para los términos de primer orden (como los de variación y convección) también en sistemas de coordenadas ortogonales no cartesianas. Pero para los términos de orden superior (los dos provenientes de la divergencia de la tensión desviadora que distingue las ecuaciones de Navier-Stokes de las ecuaciones de Euler) se requiere algún cálculo tensorial para deducir una expresión en sistemas de coordenadas ortogonales no cartesianos.
La ecuación incompresible de Navier-Stokes es compuesta, la suma de dos ecuaciones ortogonales,
donde Π S y Π I son operadores de proyección solenoidal e irrotacional que satisfacen Π S + Π I = 1 y f S y f I son las partes no conservadoras y conservadoras de la fuerza del cuerpo. Este resultado se deriva del teorema de Helmholtz (también conocido como el teorema fundamental del cálculo vectorial). La primera ecuación es una ecuación gobernante sin presión para la velocidad, mientras que la segunda ecuación para la presión es una función de la velocidad y está relacionada con la ecuación de Poisson de presión.
La forma funcional explícita del operador de proyección en 3D se encuentra en el Teorema de Helmholtz:
con una estructura similar en 2D. Por tanto, la ecuación gobernante es una ecuación integro-diferencial similar a la ley de Coulomb y Biot-Savart , no conveniente para el cálculo numérico.
Una forma equivalente débil o variacional de la ecuación, que demostró producir la misma solución de velocidad que la ecuación de Navier-Stokes, [14] está dada por,
para funciones de prueba libres de divergencia w que satisfagan las condiciones de contorno adecuadas. Aquí, las proyecciones se logran mediante la ortogonalidad de los espacios funcionales solenoide e irrotacional. La forma discreta de esto es eminentemente adecuada para el cálculo de elementos finitos de flujo libre de divergencia, como veremos en la siguiente sección. Allí se podrá abordar la pregunta "¿Cómo se pueden especificar los problemas impulsados por la presión (Poiseuille) con una ecuación de gobierno sin presión?".
La ausencia de fuerzas de presión de la ecuación de velocidad gobernante demuestra que la ecuación no es dinámica, sino más bien una ecuación cinemática donde la condición libre de divergencia cumple el papel de una ecuación de conservación. Todo esto parecería refutar las frecuentes afirmaciones de que la presión incompresible impone la condición libre de divergencia.
Forma fuerte
Considere las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes para un fluido newtoniano de densidad constante ρ en un dominio
con límite
siendo Γ D y Γ N porciones del límite donde se aplica respectivamente una condición de límite de Dirichlet y una de Neumann ( Γ D ∩ Γ N = ∅ ): [15]
u es la velocidad del fluido, p la presión del fluido, f un término de forzamiento dado, n̂ el vector normal unitario dirigido hacia afuera aΓ N , y σ ( u , p )eltensor de tensión viscosodefinido como: [15]
Sea μ la viscosidad dinámica del fluido, I el tensor de identidad de segundo orden y ε ( u ) el tensor de velocidad de deformación definido como: [15]
Las funciones g y h se dan Dirichlet y Neumann datos límite, mientras que u 0 es la condición inicial . La primera ecuación es la ecuación de equilibrio del momento, mientras que la segunda representa la conservación de masa , es decir, la ecuación de continuidad . Suponiendo una viscosidad dinámica constante, utilizando la identidad vectorial
y aprovechando la conservación de la masa, la divergencia del tensor de tensión total en la ecuación del momento también se puede expresar como: [15]
Además, tenga en cuenta que las condiciones de frontera de Neumann se pueden reorganizar como: [15]
Forma debil
Para encontrar una forma variacional de las ecuaciones de Navier-Stokes, en primer lugar, considere la ecuación de la cantidad de movimiento [15]
multiplíquelo para una función de prueba v , definida en un espacio adecuado V , e integre ambos miembros con respecto al dominio Ω : [15]
Contraintegrando por partes los términos difusivo y de presión y usando el teorema de Gauss: [15]
Usando estas relaciones, se obtiene: [15]
De la misma manera, la ecuación de continuidad se multiplica para una función de prueba q perteneciente a un espacio Q e integrada en el dominio Ω : [15]
Las funciones espaciales se eligen de la siguiente manera:
Considerando que la función de prueba v desaparece en el límite de Dirichlet y considerando la condición de Neumann, la integral en el límite se puede reorganizar como: [15]
Teniendo esto en cuenta, la formulación débil de las ecuaciones de Navier-Stokes se expresa como: [15]
Velocidad discreta
Con la partición del dominio del problema y la definición de funciones base en el dominio particionado, la forma discreta de la ecuación gobernante es
Es deseable elegir funciones de base que reflejen la característica esencial del flujo incompresible; los elementos deben estar libres de divergencia. Si bien la velocidad es la variable de interés, el teorema de Helmholtz requiere la existencia de la función de flujo o potencial vectorial. Además, para determinar el flujo de fluido en ausencia de un gradiente de presión, se puede especificar la diferencia de los valores de la función de la corriente a través de un canal 2D, o la línea integral de la componente tangencial del potencial vectorial alrededor del canal en 3D, dando el flujo por el teorema de Stokes . La discusión se limitará a 2D en lo siguiente.
Restringimos aún más la discusión a los elementos finitos continuos de Hermite que tienen al menos grados de libertad de primera derivada. Con esto, se puede dibujar una gran cantidad de elementos candidatos triangulares y rectangulares de la literatura sobre doblado de placas . Estos elementos tienen derivadas como componentes del gradiente. En 2D, el gradiente y la curvatura de un escalar son claramente ortogonales, dados por las expresiones,
La adopción de elementos de flexión de placa continuos, el intercambio de los grados de libertad derivados y el cambio del signo del correspondiente dan muchas familias de elementos de función de flujo.
Al tomar el rizo de los elementos de la función de flujo escalar, se obtienen elementos de velocidad libres de divergencia. [16] [17] El requisito de que los elementos de la función de flujo sean continuos asegura que el componente normal de la velocidad sea continuo a través de las interfaces de los elementos, todo lo que es necesario para desaparecer la divergencia en estas interfaces.
Las condiciones de contorno son fáciles de aplicar. La función de la corriente es constante en superficies sin flujo, con condiciones de velocidad sin deslizamiento en las superficies. Las diferencias en la función de las corrientes en los canales abiertos determinan el flujo. No se necesitan condiciones de contorno en los límites abiertos, aunque se pueden usar valores consistentes con algunos problemas. Estas son todas las condiciones de Dirichlet.
Las ecuaciones algebraicas que se van a resolver son sencillas de configurar, pero por supuesto no son lineales y requieren la iteración de las ecuaciones linealizadas.
Se aplican consideraciones similares a las tres dimensiones, pero la extensión desde 2D no es inmediata debido a la naturaleza vectorial del potencial, y no existe una relación simple entre el gradiente y el rizo como fue el caso en 2D.
Recuperación de presión
Recuperar la presión del campo de velocidad es fácil. La ecuación débil discreta para el gradiente de presión es,
donde las funciones de prueba / peso son irrotacionales. Puede usarse cualquier elemento escalar finito conforme. Sin embargo, el campo del gradiente de presión también puede ser de interés. En este caso, se pueden utilizar elementos escalares de Hermite para la presión. Para las funciones de prueba / peso g i se elegirían los elementos del vector irrotacional obtenidos del gradiente del elemento de presión.
Marco de referencia no inercial
El marco de referencia rotatorio introduce algunas pseudo-fuerzas interesantes en las ecuaciones a través del término derivado material . Considere un marco de referencia inercial estacionario K y un marco de referencia no inercial K ′ , que se traslada con velocidad U ( t ) y gira con velocidad angular Ω ( t ) con respecto al marco estacionario. La ecuación de Navier-Stokes observada desde el marco no inercial se convierte en
Aquí x y u se miden en el marco no inercial. El primer término entre paréntesis representa la aceleración de Coriolis , el segundo término se debe a la aceleración centrífuga , el tercero se debe a la aceleración lineal de K ′ con respecto a K y el cuarto término se debe a la aceleración angular de K ′ con respecto a K .
Otras ecuaciones
Las ecuaciones de Navier-Stokes son estrictamente una declaración del equilibrio de la cantidad de movimiento. Para describir completamente el flujo de fluidos, se necesita más información, dependiendo de las suposiciones hechas. Esta información adicional puede incluir datos de límites ( no deslizamiento , superficie capilar , etc.), conservación de masa, balance de energía y / o una ecuación de estado .
Ecuación de continuidad para fluido incompresible
Independientemente de los supuestos de flujo, generalmente es necesaria una declaración de la conservación de la masa . Esto se logra mediante la ecuación de continuidad de masa , dada en su forma más general como:
o, utilizando la derivada sustantiva :
Para un fluido incompresible, la densidad a lo largo de la línea de flujo permanece constante a lo largo del tiempo,
Por lo tanto, la divergencia de velocidad es siempre cero:
Función de flujo para fluido 2D incompresible
Tomar el rizo de la incompresible ecuación de Navier-Stokes da como resultado la eliminación de la presión. Esto es especialmente fácil de ver si se asume un flujo cartesiano 2D (como en el caso 3D degenerado con u z = 0 y sin dependencia de nada en z ), donde las ecuaciones se reducen a:
Diferenciar el primero con respecto ay , el segundo con respecto ax y restar las ecuaciones resultantes eliminará la presión y cualquier fuerza conservadora . Para flujo incompresible, la definición de la función de flujo ψ mediante
da como resultado que la continuidad de la masa se satisfaga incondicionalmente (dado que la función de la corriente es continua), y luego el momento bidimensional newtoniano incompresible y la conservación de la masa se condensan en una ecuación:
donde ∇ 4 es el operador biharmónico 2D y ν es la viscosidad cinemática , ν = μ/ρ. También podemos expresar esto de manera compacta usando el determinante jacobiano :
Esta única ecuación, junto con las condiciones de contorno adecuadas, describe el flujo de fluido 2D, tomando solo la viscosidad cinemática como parámetro. Tenga en cuenta que la ecuación para el flujo progresivo resulta cuando se asume que el lado izquierdo es cero.
En el flujo axisimétrico , se puede usar otra formulación de función de flujo, llamada función de flujo de Stokes , para describir los componentes de velocidad de un flujo incompresible con una función escalar .
La ecuación incompresible de Navier-Stokes es una ecuación algebraica diferencial , que tiene la inconveniente característica de que no existe un mecanismo explícito para hacer avanzar la presión en el tiempo. En consecuencia, se ha realizado un gran esfuerzo para eliminar la presión de todo o parte del proceso computacional. La formulación de la función de flujo elimina la presión pero solo en dos dimensiones y a expensas de introducir derivadas más altas y eliminar la velocidad, que es la variable principal de interés.
Propiedades
No linealidad
Las ecuaciones de Navier-Stokes son ecuaciones diferenciales parciales no lineales en el caso general y, por lo tanto, permanecen en casi todas las situaciones reales. [18] [19] En algunos casos, como el flujo unidimensional y el flujo de Stokes (o flujo progresivo), las ecuaciones se pueden simplificar a ecuaciones lineales. La no linealidad hace que la mayoría de los problemas sean difíciles o imposibles de resolver y es el principal contribuyente a la turbulencia que modelan las ecuaciones.
La no linealidad se debe a la aceleración convectiva , que es una aceleración asociada con el cambio de velocidad sobre la posición. Por lo tanto, cualquier flujo convectivo, sea turbulento o no, implicará no linealidad. Un ejemplo de flujo convectivo pero laminar (no turbulento) sería el paso de un fluido viscoso (por ejemplo, aceite) a través de una pequeña boquilla convergente . Dichos flujos, sean exactamente solucionables o no, a menudo se pueden estudiar y comprender a fondo. [20]
Turbulencia
La turbulencia es el comportamiento caótico dependiente del tiempo que se observa en muchos flujos de fluidos. Generalmente se cree que se debe a la inercia del fluido en su conjunto: la culminación de la aceleración convectiva y dependiente del tiempo; por lo tanto, los flujos donde los efectos de inercia son pequeños tienden a ser laminares (el número de Reynolds cuantifica cuánto se ve afectado el flujo por la inercia). Se cree, aunque no se sabe con certeza, que las ecuaciones de Navier-Stokes describen la turbulencia correctamente. [21]
La solución numérica de las ecuaciones de Navier-Stokes para el flujo turbulento es extremadamente difícil, y debido a las escalas de longitud de mezcla significativamente diferentes que están involucradas en el flujo turbulento, la solución estable de esto requiere una resolución de malla tan fina que el tiempo de cálculo se vuelve significativamente inviable para cálculo o simulación numérica directa . Los intentos de resolver el flujo turbulento utilizando un solucionador laminar generalmente dan como resultado una solución inestable en el tiempo, que no converge adecuadamente. Para contrarrestar esto, las ecuaciones promediadas en el tiempo, como las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas de Reynolds (RANS), complementadas con modelos de turbulencia, se utilizan en aplicaciones prácticas de dinámica de fluidos computacional (CFD) al modelar flujos turbulentos. Algunos modelos incluyen los modelos de Spalart-Allmaras , k - ω , k - ε y SST , que agregan una variedad de ecuaciones adicionales para cerrar las ecuaciones de RANS. La simulación de remolinos grandes (LES) también se puede utilizar para resolver estas ecuaciones numéricamente. Este enfoque es computacionalmente más costoso, en tiempo y en memoria de computadora, que RANS, pero produce mejores resultados porque resuelve explícitamente las escalas turbulentas más grandes.
Aplicabilidad
Junto con ecuaciones suplementarias (por ejemplo, conservación de masa) y condiciones de contorno bien formuladas, las ecuaciones de Navier-Stokes parecen modelar con precisión el movimiento de los fluidos; incluso los flujos turbulentos parecen (en promedio) concordar con las observaciones del mundo real.
Las ecuaciones de Navier-Stokes asumen que el fluido que se está estudiando es un continuo (es infinitamente divisible y no está compuesto de partículas como átomos o moléculas) y no se mueve a velocidades relativistas . A escalas muy pequeñas o en condiciones extremas, los fluidos reales hechos de moléculas discretas producirán resultados diferentes de los fluidos continuos modelados por las ecuaciones de Navier-Stokes. Por ejemplo, la capilaridad de las capas internas en los fluidos aparece para flujos con gradientes altos. [22] Para un gran número de Knudsen del problema, la ecuación de Boltzmann puede ser un reemplazo adecuado. [23] De no ser así, es posible que se tenga que recurrir a la dinámica molecular o varios métodos híbridos. [24]
Otra limitación es simplemente la naturaleza complicada de las ecuaciones. Existen formulaciones probadas en el tiempo para familias de fluidos comunes, pero la aplicación de las ecuaciones de Navier-Stokes a familias menos comunes tiende a dar como resultado formulaciones muy complicadas y, a menudo, a problemas de investigación abiertos. Por esta razón, estas ecuaciones generalmente se escriben para fluidos newtonianos donde el modelo de viscosidad es lineal ; No existen modelos verdaderamente generales para el flujo de otros tipos de fluidos (como la sangre). [25]
Aplicación a problemas específicos
Las ecuaciones de Navier-Stokes, incluso cuando se escriben explícitamente para fluidos específicos, son de naturaleza bastante genérica y su aplicación adecuada a problemas específicos puede ser muy diversa. Esto se debe en parte a que existe una enorme variedad de problemas que pueden modelarse, que van desde tan simples como la distribución de la presión estática hasta tan complicados como el flujo multifásico impulsado por la tensión superficial .
Generalmente, la aplicación a problemas específicos comienza con algunos supuestos de flujo y la formulación de condiciones iniciales / de contorno, esto puede ir seguido de un análisis de escala para simplificar aún más el problema.
Flujo paralelo
Suponga un flujo impulsado por presión constante, paralelo, unidimensional, no convectivo entre placas paralelas, el problema de valor límite escalado (adimensional) resultante es:
La condición de límite es la condición de no deslizamiento . Este problema se resuelve fácilmente para el campo de flujo:
A partir de este punto, se pueden obtener fácilmente más cantidades de interés, como la fuerza de arrastre viscosa o el caudal neto.
Flujo radial
Pueden surgir dificultades cuando el problema se vuelve un poco más complicado. Un giro aparentemente modesto en el flujo paralelo anterior sería el flujo radial entre placas paralelas; esto implica convección y, por tanto, no linealidad. El campo de velocidad puede estar representado por una función f ( z ) que debe satisfacer:
Esta ecuación diferencial ordinaria es lo que se obtiene cuando se escriben las ecuaciones de Navier-Stokes y se aplican los supuestos de flujo (además, se resuelve el gradiente de presión). El término no lineal hace que este sea un problema muy difícil de resolver analíticamente ( se puede encontrar una larga solución implícita que involucra integrales elípticas y raíces de polinomios cúbicos ). Surgen problemas con la existencia real de soluciones para R > 1,41 (aproximadamente; esto no es √ 2 ), siendo el parámetro R el número de Reynolds con escalas elegidas apropiadamente. [26] Este es un ejemplo de supuestos de flujo que pierden su aplicabilidad y un ejemplo de la dificultad en los flujos de números de Reynolds "altos". [26]
Convección
Un tipo de convección natural que puede describirse mediante la ecuación de Navier-Stokes es la convección de Rayleigh-Bénard . Es uno de los fenómenos de convección más comúnmente estudiados debido a su accesibilidad analítica y experimental.
Existen algunas soluciones exactas para las ecuaciones de Navier-Stokes. Ejemplos de casos degenerados, con los términos no lineales en las ecuaciones de Navier-Stokes iguales a cero, son el flujo de Poiseuille , el flujo de Couette y la capa límite oscilatoria de Stokes . Pero también existen ejemplos más interesantes, soluciones para las ecuaciones no lineales completas, como el flujo de Jeffery-Hamel , el flujo de remolino de Von Kármán , el flujo de punto de estancamiento , el chorro de Landau-Squire y el vórtice de Taylor-Green . [27] [28] [29] Tenga en cuenta que la existencia de estas soluciones exactas no implica que sean estables: la turbulencia puede desarrollarse en números de Reynolds más altos.
Bajo supuestos adicionales, los componentes se pueden separar. [30]
Por ejemplo, en el caso de un dominio plano ilimitado con flujo bidimensional (incompresible y estacionario) en coordenadas polares ( r , φ ) , las componentes de la velocidad ( u r , u φ ) y la presión p son: [31]
donde A y B son constantes arbitrarias. Esta solución es válida en el dominio r ≥ 1 y para A <−2 ν .
En coordenadas cartesianas, cuando la viscosidad es cero ( ν = 0 ), esto es:
Por ejemplo, en el caso de un dominio euclidiano ilimitado con flujo radial tridimensional - incompresible, estacionario y con viscosidad cero ( ν = 0 ) - en coordenadas cartesianas ( x , y , z ) , el vector de velocidad vy la presión p son : [ cita requerida ]
Hay una singularidad en x = y = z = 0 .
Una solución tridimensional de vórtice en estado estacionario
Un ejemplo de estado estacionario sin singularidades proviene de considerar el flujo a lo largo de las líneas de una fibración de Hopf . Sea r un radio constante de la bobina interior. Un conjunto de soluciones viene dado por: [32]
para las constantes arbitrarias A y B . Se trata de una solución en un gas no viscoso (fluido compresible) cuya densidad, velocidades y presión llega a cero lejos del origen. (Tenga en cuenta que esta no es una solución al problema Clay Millennium porque se refiere a fluidos incompresibles donde ρ es una constante, y tampoco se ocupa de la singularidad de las ecuaciones de Navier-Stokes con respecto a las propiedades de turbulencia ). señalando que las componentes del vector velocidad son exactamente las de la parametrización cuádruple pitagórica . Son posibles otras opciones de densidad y presión con el mismo campo de velocidad:
Otra opción de presión y densidad con el mismo vector de velocidad anterior es una en la que la presión y la densidad caen a cero en el origen y son más altas en el bucle central en z = 0 , x 2 + y 2 = r 2 :
De hecho, en general, existen soluciones simples para cualquier función polinomial f donde la densidad es:
Diagramas de Wyld
Los diagramas de Wyld son gráficos contables que corresponden a las ecuaciones de Navier-Stokes mediante una expansión de perturbación de la mecánica fundamental del continuo . Al igual que los diagramas de Feynman en la teoría cuántica de campos , estos diagramas son una extensión de la técnica de Keldysh para los procesos de no equilibrio en la dinámica de fluidos. En otras palabras, estos diagramas asignan gráficos a los fenómenos (a menudo) turbulentos en fluidos turbulentos al permitir que las partículas de fluido correlacionadas e interactuantes obedezcan procesos estocásticos asociados a funciones pseudoaleatorias en distribuciones de probabilidad . [33]
Representaciones en 3D
De la forma general de Navier-Stokes, con el vector de velocidad expandido como u = ( u x , u y , u z ) , a veces llamado respectivamente u , v , w , podemos escribir la ecuación vectorial explícitamente,
Tenga en cuenta que la gravedad se ha contabilizado como una fuerza corporal, y los valores de g x , g y , g z dependerán de la orientación de la gravedad con respecto al conjunto de coordenadas elegido.
La ecuación de continuidad dice:
Cuando el flujo es incompresible, ρ no cambia para ninguna partícula de fluido y su derivado material desaparece:Dρ/Dt= 0 . La ecuación de continuidad se reduce a:
Por lo tanto, para la versión incompresible de la ecuación de Navier-Stokes, la segunda parte de los términos viscosos desaparece (ver Flujo incompresible ).
Este sistema de cuatro ecuaciones comprende la forma más utilizada y estudiada. Aunque comparativamente más compacto que otras representaciones, este sigue siendo un sistema no lineal de ecuaciones diferenciales parciales cuyas soluciones son difíciles de obtener.
Un cambio de las variables en las ecuaciones cartesianas rendirá [12] las siguientes ecuaciones de momento para r , φ , y z [34]
Los componentes de la gravedad generalmente no serán constantes; sin embargo, para la mayoría de las aplicaciones, las coordenadas se eligen de modo que los componentes de la gravedad sean constantes o se supone que la gravedad es contrarrestada por un campo de presión (por ejemplo, el flujo en una tubería horizontal se trata normalmente sin gravedad y sin gradiente de presión vertical). La ecuación de continuidad es:
Esta representación cilíndrica de las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles es la segunda más comúnmente vista (la primera es cartesiana arriba). Las coordenadas cilíndricas se eligen para aprovechar la simetría, de modo que un componente de velocidad pueda desaparecer. Un caso muy común es el flujo axisimétrico con el supuesto de que no hay velocidad tangencial ( u φ = 0 ), y las cantidades restantes son independientes de φ :
En coordenadas esféricas , las ecuaciones de momento r , φ y θ son [12] (observe la convención utilizada: θ es ángulo polar, o colatitud , [35] 0 ≤ θ ≤ π ):
La continuidad masiva dirá:
Estas ecuaciones podrían compactarse (ligeramente), por ejemplo, factorizando 1/r 2de los términos viscosos. Sin embargo, hacerlo alteraría indeseablemente la estructura de las cantidades laplacianas y otras.
Las ecuaciones de Navier-Stokes se utilizan ampliamente en los videojuegos para modelar una amplia variedad de fenómenos naturales. Las simulaciones de fluidos gaseosos a pequeña escala, como el fuego y el humo, a menudo se basan en el artículo seminal "Dinámica de fluidos en tiempo real para juegos" [36] de Jos Stam , que elabora uno de los métodos propuestos en el anterior y más famoso libro de Stam. artículo "Stable Fluids" [37] de 1999. Stam propone la simulación de fluidos estables utilizando un método de solución de Navier-Stokes de 1968, junto con un esquema de advección semilagrangiano incondicionalmente estable , como se propuso por primera vez en 1992.
Las implementaciones más recientes basadas en este trabajo se ejecutan en la unidad de procesamiento de gráficos (GPU) de los sistemas de juego en lugar de la unidad de procesamiento central (CPU) y logran un grado de rendimiento mucho mayor. [38] [39] Se han propuesto muchas mejoras al trabajo original de Stam, que sufre inherentemente de una alta disipación numérica tanto en velocidad como en masa.
Se puede encontrar una introducción a la simulación de fluidos interactiva en el curso 2007 ACM SIGGRAPH , Simulación de fluidos para animación por computadora. [40]
Ver también
- Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant
- Jerarquía de ecuaciones de Bogoliubov-Born-Green-Kirkwood-Yvon
- Ecuación de Boltzmann
- Ecuación de impulso de Cauchy
- Tensor de tensión de Cauchy
- Ecuación de convección-difusión
- Teoría de Chapman-Enskog
- Ecuación de Churchill-Bernstein
- Efecto coanda
- Dinámica de fluidos computacional
- Mecánica de Medios Continuos
- Ecuaciones de Euler
- Flujo de Hagen-Poiseuille de las ecuaciones de Navier-Stokes
- Derivación de las ecuaciones de Navier-Stokes
- Ecuación de Einstein-Stokes
- No dimensionalización y escalado de las ecuaciones de Navier-Stokes
- Método de corrección de presión
- Convección de Rayleigh-Bénard
- Ecuaciones de Stokes
- Teorema del transporte de Reynolds
- Ecuación de Vlasov
- Problemas del Premio del Milenio
Notas
- ^ "Comprensión de la aerodinámica: argumentando desde la física real" Doug McLean John Wiley & Sons, 2012 Capítulo 3.2 "Las principales relaciones que comprenden las ecuaciones NS son las leyes básicas de conservación de la masa, el momento y la energía. Para tener un conjunto completo de ecuaciones, también Necesito una ecuación de estado que relacione temperatura, presión y densidad ... " https://play.google.com/books/reader?id=_DJuEgpmdr8C&printsec=frontcover&source=gbs_vpt×&pg=GBS.PA191.w.0.0.0.151
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Referencias
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enlaces externos
- Derivación simplificada de las ecuaciones de Navier-Stokes
- Forma inestable tridimensional de las ecuaciones de Navier-Stokes Glenn Research Center, NASA